6.1　平行四边形的性质 暑假巩固练习 2024--2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 6.1　平行四边形的性质 暑假巩固 一、求边长或坐标 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于点E，AB=8，BC=6，则EC等于（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 2.如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 3.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（-2，-2），（2，-2），则顶点D的坐标是（　　） A.（-4，-1） B.（4，-2） C.（4，1） D.（2，1） 4.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 5.如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 6.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 7.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 二、求周长或面积 1.小明为了计算▱ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱ABCD的高的是（　　） A.BF B.GH C.DE D.BD 2.如图，点E是▱ABCD的边AB上的任意一点（不与点A、B重合），若△DCE的面积为S，△ADE的面积为S1，△BCE面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A.S1=S2 B.S=S1+S2 C.S＜S1+S2 D.S＞S1+S2 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(　　) A.m＋n B.mn C.2(m＋n) D.2(n－m) 4.平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________． 5.平行四边形的周长为24 cm，相邻两边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较短的边长为________ cm. 6.如图，在▭ABCD中，P是CD边上一点，且AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，若AD=2.5，AP=4，求▱ABCD的面积. 7.如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积. 三、平行四边形的对角相等 1.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于(　　) A.36° B.108° C.72° D.60° 2.在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A.135° B.120° C.115° D.100° 3.如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A.105° B.15° C.30° D.25° 4.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度． 5.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F.求证：AF＝CE. 7.如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 四、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　) A.10 B.15 C.25 D.30 2.如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm 3.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，则BD的长为(　　) A.6 B.2 C. D.3 4.在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm. 5.▱ABCD的周长为40 cm，对角线AC,BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm. 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3.求四边形BCFE的周长． 7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的任意一条直线与边AD相交于点E，与边BC相交于点F，求证：OE＝OF. 北师大版八年级下册 6.1　平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、求边长或坐标 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于点E，AB=8，BC=6，则EC等于（　　） A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB=8，AD=BC=6．CD∥AB， ∴∠AED=∠BAE， ∵∠DAB的平分线AE交CD于E， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠DAE=∠AED． ∴ED=AD=6， ∴EC=CD-ED=8-6=2． 故选：C． 2.如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， ∴∠F＝∠DCF， ∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF， ∴∠F＝∠FCB， ∴BF＝BC＝8， 同理DE＝CD＝6， ∴AF＝BF－AB＝2，AE＝AD－DE＝2， ∴AE＋AF＝4；故选C. 3.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（-2，-2），（2，-2），则顶点D的坐标是（　　） A.（-4，-1） B.（4，-2） C.（4，1） D.（2，1） 【答案】C 【解析】∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（-2，-2），（2，-2）， ∴AD=BC=2-（-2）=4， ∵BC∥x轴，AD∥BC， ∴AD∥x轴， ∴D（4，1）. 故选：C． 4.如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为________． 【答案】8 【解析】连接EF，AE与BF交于点O， 如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE，∴∠1＝∠3， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AB＝EB，而BO⊥AE， ∴AO＝OE， 在Rt△AOB中，AO＝＝4， ∴AE＝2AO＝8. 5.如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴AD－DE＝BC－BF， ∴AE＝CF， ∵AE＝3， ∴CF＝3. 6.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∵AF⊥BE， ∴BE=2BF， ∴BF=12， ∴AB===13， ∴AE=AB=13， ∴BC=AD=AE+DE=13+5=18. 7.如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF. (1)求证：DE＝CF； (2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵F是AD的中点， ∴FD＝AD.∵CE＝BC， ∴FD＝CE. 又∵FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形． ∴DE＝CF. (2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6. ∴∠DCE＝∠B＝60°. 在Rt△CDG中，∠DGC＝90°， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝2. 由勾股定理得DG＝＝2. ∵CE＝BC＝3， ∴GE＝1. 在Rt△DEG中，∠DGE＝90°， ∴DE＝＝. ∴AF∥CE. 二、求周长或面积 1.小明为了计算▱ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱ABCD的高的是（　　） A.BF B.GH C.DE D.BD 【答案】D 【解析】∵从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高， 由图可知，BD并不垂直于B点的对边CD， ∴BD不能表示▱ABCD的高， 故选：D． 2.如图，点E是▱ABCD的边AB上的任意一点（不与点A、B重合），若△DCE的面积为S，△ADE的面积为S1，△BCE面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A.S1=S2 B.S=S1+S2 C.S＜S1+S2 D.S＞S1+S2 【答案】B 【解析】设CD边上的高为h,CD的长为a, 则S平行四边形ABCD=ah,S=ah, ∴S=S平行四边形ABCD=S1+S2， 故选B． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(　　) A.m＋n B.mn C.2(m＋n) D.2(n－m) 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝m，AD＝BC＝n， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE＝CE， ∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝m＋n， 故选A. 4.平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________． 【答案】6 cm,12 cm 【解析】∵平行四边形的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝36÷2＝18(cm)， ∵AB∶BC＝1∶2， ∴AB＝6（cm），BC＝12(cm). 5.平行四边形的周长为24 cm，相邻两边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较短的边长为________ cm. 【答案】3 【解析】∵平行四边形的周长为24 cm， ∴AB＋BC＝24÷2＝12， ∵BC∶AB＝3∶1，∴AB＝3 cm. 6.如图，在▭ABCD中，P是CD边上一点，且AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA，若AD=2.5，AP=4，求▱ABCD的面积. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC，BC=AD=2.5， ∴∠DPA=∠BAP，∠CPB=∠ABP，∠DAB+∠CBA=180°， ∵AP，BP分别平分∠DAB，∠CBA， ∴∠DAP=∠BAP=∠DAB，∠CBP=∠ABP=∠CBA， ∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，∠BAP+∠ABP=（∠DAB+∠CBA）=90°， ∴PD=AD=2.5，PC=BC=2.5，∠APB=90°， ∴AB=DC=2.5+2.5=5， ∵AP=4， ∴BP===3， ∴S△ABP=AP•BP=×4×3=6， ∴S▱ABCD=2S△ABP=2×6=12， 7.如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积. 【答案】解：连接EF， ∵F是▱ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE， ∵BQ=FQ， ∴△EBQ≌△CFQ， ∴EQ=CQ， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴S△BEF＝2S△BQC＝16 cm2， ∵S△AED=S△AEF， ∴S△APD＝S△EPF＝2 cm2， ∴S阴影＝S△EPF+S△EBF＝18(cm2). 三、平行四边形的对角相等 1.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于(　　) A.36° B.108° C.72° D.60° 【答案】B 【解析】在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶2∶3， 设∠A=∠C=2x，则∠B=∠D=3x, 得到2x＋3x＋2x＋3x＝360°， 解得x＝36°， 则∠D＝108°. 故选B. 2.在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A.135° B.120° C.115° D.100° 【答案】C 【解析】由折叠可得∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE， ∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝130°， ∴∠FEC＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＋∠FEC＝180°， ∴∠DFE＝115°， ∴∠GFE＝115°， 故选C. 3.如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A.105° B.15° C.30° D.25° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°－∠B＝15°. 故选B. 4.如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠AED的度数是________度． 【答案】85 【解析】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD， ∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∴∠B＝∠EAD， 在△ABC和△EAD中，AB＝EA，∠ABC＝∠EAD，BC＝AD， ∴△ABC≌△EAD(SAS)， ∴∠AED＝∠BAC. ∵AE平分∠DAB， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝85°， ∴∠AED＝∠BAC＝85°. 5.如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 【答案】55° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C， 由折叠的性质，得∠D′AE＝∠C， ∴∠D′AE＝∠BAD， ∴∠D′AD＝∠BAE＝55°. 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F.求证：AF＝CE. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC. 又∵∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F， ∴∠ADF＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC， ∴∠ADF＝∠CBE. 在△ADF和△CBE中，∠A＝∠C，AD＝CB，∠ADF＝∠CBE， ∴△ADF≌△CBE(ASA)． ∴AF＝CE. 7.如图，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求▱ABCD的内角∠D，∠BAD的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD， ∵EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB， ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝∠AEB， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°. 四、平行四边形的对角线互相平分 1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，则AB＋AD的值是(　　) A.10 B.15 C.25 D.30 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥BD，∴BE＝DE， ∵△CDE的周长为10，即CD＋DE＋EC＝10， ∴AB＋AD＝BC＋CD＝BE＋EC＋CD＝DE＋EC＋CD＝10. 故选A. 2.如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝90°，AC＝6 cm，BD＝10 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A.(4＋8) cm B.(2＋4) cm C.32 cm D.28 cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝AC＝3(cm)，OB＝BD＝5 (cm)， ∵AC⊥AB， ∴∠BAO＝90°， ∴AB＝＝4(cm)， ∴BC＝＝2(cm)， ∴▱ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝(4＋8) cm， 故选A. 3.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，则BD的长为(　　) A.6 B.2 C. D.3 【答案】B 【解析】∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2， ∴AD∥BC，AO＝AC＝1，BD＝2BO， ∵∠DAC＝45°， ∴∠ACB＝∠DAC＝45°， ∴∠ABC＝180°－90°－45°＝45°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC＝2， 由勾股定理得BO＝＝， ∴BD＝2BO＝2， 故选B. 4.在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝________ cm. 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8 cm，OB＝OD，OA＝OC， ∵AC⊥BC， ∴AC＝＝＝6(cm)， ∴OC＝AC＝3(cm)， ∴OB＝＝＝(cm). 5.▱ABCD的周长为40 cm，对角线AC,BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm. 【答案】12；8 【解析】∵平行四边形的周长为40 cm， ∴BC＋AB＝20 (cm)； 又∵△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm， ∴AB－BC＝4 cm， 则AB＝12cm，BC＝8 cm. 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3.求四边形BCFE的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，DC∥AB， ∴∠FCO＝∠EAO， 在△OFC和△OEA中， ∵∠FCO＝∠EAO，CO＝AO，∠COF＝∠EOA， ∴△OFC≌△OEA(ASA)， ∴FO＝EO＝1.3，FC＝AE， ∴AE＋BE＝FC＋BE＝AB＝4， ∴四边形BCFE的周长为BC＋EF＋AB＝3＋4＋2.6＝9.6. 7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的任意一条直线与边AD相交于点E，与边BC相交于点F，求证：OE＝OF. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中， ∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC， ∴△AEO≌△CFO(AAS)， ∴OE＝OF. 学科网（北京）股份有限公司 $$