精品解析：山东省威海市环翠区2024-2025学年下学期八年级数学期末考试

2024—2025学年度第二学期期末质量检测八年级数学试卷 一、选择题 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，逐一分析各选项是否正确即可． 【详解】解：A、，但和在实数范围内无意义，选项错误； B、和不是同类二次根式，不能合并，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确， 故选：D． 2. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个正方形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 3. 若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 【详解】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c取值范围是， 故选A． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据给定的比例关系，设然，后将这些表达式代入所求的​ 中。最后化简表达式，得到具体数值，并匹配选项得解。 【详解】解：由，设，（为非零常数）， 将和代入，得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式的化简方法，关键是利用比例设参数法​（即引入比例常数 k），将比例关系转化为代数表达式，再代入目标式化简求值． 5. 某种商品两次降价，每件售价从100元降到64元．则平均每次降价（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设平均每次降价，根据题意列一元二次方程求解即可． 详解】解：设平均每次降价， 则， 解得：，（舍）， 即平均每次降价， 故选：A． 6. 下列根式和是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．先根据二次根式的性质化简个选项根式，再根据含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式判断即可． 【详解】解：A、，和不是同类二次根式，不符合题意； B、，和不是同类二次根式，不符合题意； C、，和是同类二次根式，符合题意； D、，和不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点E， ∵点B坐标，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∵以点O为位似中心，作与位似，点C坐标， 且即点C的坐标， ∴相似比为， ∴点D的坐标为，即 故选D． 8. 如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，解题的关键是掌握对角线相等的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．据此逐个判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． A.∵四边形是菱形，∴，故A选项不能判定菱形成为正方形； B.∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴， ∴B选项能判定菱形成为正方形； C.由得，故C选项不能判定菱形成为正方形； D.由四边形菱形，得，故D选项不能判定菱形成为正方形； 故选：B． 【点睛】 9. 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，根据一元二次方程的得出的值，进而即可求解，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∴，，， ∴该一元二次方程为， 故选：． 10. 如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据选项正确三角形相似，由此进行判断即可 详解】解：A.∵，， ∴， ∴；故A选项正确，不符合题意； B.∵， ∴， ∴， ∴故选项B正确，不符合题意； C.∵，， ∴ ∴，故选项C错误，符合题意； D.∵，， ∴ ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题 11. 如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 故答案为：． 12. 二次根式有意义，则m的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知，四边形是正方形，是等边三角形，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，分点E在上方和点E在下方两种情况，根据等边三角形的性质和正方形的性质证明，且求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，当点E在上方时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点E在下方时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 14. 已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 先由根与系数的关系得到，则化为，再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为3，， ∴，， ∴ ∴化为， 即， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作BE的平行线交AC于点G，由平行线分线段成比例可得，再根据D为BC中点，即可推出G为CE中点．再根据E为AC中点，即可推出，最后再次利用平行线分线段成比例可得． 【详解】如图，过点D作BE的平行线交AC于点G， ∵， ∴． ∵D为BC中点， ∴G为CE中点，即CG=EG． ∵E为AC中点， ∴AE=CE， ∴，即． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键． 16. 如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，，求． 【答案】（1） （2） （3）21 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减法； （2）由完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）先求出的值，再由完全平方公式将变形为，在代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴． 18. 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）定义：，解方程（根用i表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （3）求出判别式的值，再根据，结合公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 19. 已知直线，点E，F分别在直线，上，连接． （1）请用直尺和圆规作矩形，要求：点M在左侧，点N在右侧；（不写步骤，保留作图痕迹） （2）证明：四边形为矩形．（要求：依据作图方法写出已知并证明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交线段于O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交于M，连接并延长交于N，连接，则四边形即为所求； （2）已知：，点O为的中点，，可证明，得到，则可证明与相等且互相平分，据此可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线，交线段于O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交于M，连接并延长交于N，连接，则四边形即为所求； 【小问2详解】 已知：，点O为的中点，， 证明：∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形为矩形． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【小问1详解】 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． 【小问2详解】 解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 21. 如图，在四边形中，，，点E为边上一点，且，．过点E作，交于点F，连接交于点G，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． 如图，连接，延长交于点H，根据，得出，根据，得出，结合，得出，证出，结合，得出，根据，证出，即可得，即可证明． 【详解】证明：如图，连接，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. （1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 23. 如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度． 【答案】或或 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论． 在中，，，，勾股定理求出，设两点的运动时间是，根据题意，分为当时，当时和当时求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设两点的运动时间是， 根据题意得，，，，， 当时， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时， 则，， ∵， ∴． ∴， ∴，， 解得：， ∴； 综上，或或． 24. 数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． （1）如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； （2）如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； （3）如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量检测八年级数学试卷 一、选择题 1. 下列各式计算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 下列图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个正方形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个菱形 3. 若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 某种商品两次降价，每件售价从100元降到64元．则平均每次降价（ ） A. B. C. D. 6. 下列根式和是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点B坐标．以点O为位似中心，作与位似，点C坐标，则点D坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题 11. 如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则______． 12. 二次根式有意义，则m的取值范围________． 13. 已知，四边形是正方形，是等边三角形，则________． 14. 已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为________． 15. 如图，点D、E分别是△ABC边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则等于____． 16. 如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________． 三、解答题 17. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，，求． 18. 用适当方法解方程： （1）； （2）； （3）定义：，解方程（根用i表示）． 19. 已知直线，点E，F分别在直线，上，连接． （1）请用直尺和圆规作矩形，要求：点M在左侧，点N在右侧；（不写步骤，保留作图痕迹） （2）证明：四边形为矩形．（要求：依据作图方法写出已知并证明） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，，，点E为边上一点，且，．过点E作，交于点F，连接交于点G，求证：． 22. （1）如图，点E是矩形边上点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 23. 如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度． 24. 数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． （1）如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； （2）如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； （3）如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$