专题25.3 解直角三角形（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题25.3 解直角三角形 教学目标 1. 学会解直角三角形； 2. 掌握直角三角形中长度、角度之间的转化 3. 会结合其他几何知识解直角三角形；。 教学重难点 1.重点 （1）根据已知条件解直角三角形； （2）掌握在直角三角形中边角互化； （3）学会一些常用的作辅助线的方法。 2.难点 （1）作辅助线构造直角三角形； （2）结合其他几何知识解直角三角形。 知识点1 解直角三角形 一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： ④，h为斜边上的高. 要点： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边(a，b) 由求∠A ∠B=90°-∠A 一直角边，斜边(a，c) 由求∠A ∠B=90°-∠A 一边一角 一直角边 和一锐角 一个锐角及其邻边(如∠A，b) ∠B=90°-∠A a=b·tanA 一个锐角及其对边(如∠A，a) ∠B=90°-∠A ； 一个锐角、斜边(如∠A，c) ∠B=90°-∠A a=c·sinA b=c·cosA 要点： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算； 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 【即学即练】 1．在中，，，，则 ． 2．在中，，，，则 ． 3．在中，，，，则 ． 4．在中，∠B=90°，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 5．在中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则的值为 7．已知为锐角，若则的值为 ． 8．如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 题型01 根据条件直接解直角三角形 【典例1】．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】．在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 【变式2】．如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据条件直接解直角三角形（文字语言） 【典例1】．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB=10，那么BC的长为（　　） A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50° 【变式2】．已知，AB＝m，∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 解一图多直角三角形 【典例1】．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于(   ) A． B．+1 C．-1 D． 【变式1】．如图，在中，，，，那么 ． 【变式2】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B＝α，∠ADC＝β，则为（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）    A． B． C． D． 【变式4】．如图，已知，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型04 在特殊平行四边形中解直角三角形 【典例1】．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，．若，则的长为 ． 【变式1】．如图，菱形中，是边的中点，为边上一点，过点作于点，交于点．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式2】．如图，在正方形中，连接，点在上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．若，点是的中点，则的长度为（    ） A．8 B．10 C． D． 题型05 解直角三角形与其他三角形的性质 【典例1】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C．10 D．8 【变式1】．如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求： (1)线段DC的长； (2)tan∠EDC的值． 题型06 解单个非直角三角形 【典例1】．如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式1】．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式2】．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【变式3】．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 题型07 解一图多个非直角三角形 【典例1】．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【变式1】．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ． 题型08 网格问题 【典例1】．如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（    ） A．是直角三角形 B． C． D． 【变式1】．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【变式2】．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为 ． 题型09 在平面直角坐标系中解直角三角形 【典例1】．如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式2】．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 题型10 四边形中构造直角三角形 【典例1】．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【变式1】．如图，在四边形 中，平分，，， 于点．若 ，则点 到 的距离为 ． 【变式2】．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 题型11 新定义、动态几何问题 【典例1】．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 【变式1】．在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是 ． 【变式2】．如图所示，在梯形中，，，，，，点为上一点，过点作交边于点，将沿直线翻折得到，当过点时，的长为 ． 一、单选题 1．已知中，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．在中，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（  ） A． B． C． D． 5．在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （    ） A． B． C． D． 7．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（  ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，垂足为，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 10．如图，点E为边上一点，若，，则（   ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题 11．Rt△ABC中，，，AB=，则AC= ． 12．在中，，已知和b，那么 ． 13．如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝ . 14．如图，在中，，垂足为，若，，，则的值为 ． 15．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 16．如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为 ． 17．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 18．在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时 ． 三、解答题 19．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 20．在中，． (1)已知，，求的值； (2)已知，，求、的值． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 23．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 24．如图，已知在四边形中，，，，． (1)的长； (2)如果点E为的中点，连接，求的正切值． 25．已知：直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)若点在轴负半轴上，，求点的坐标； (3)在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 26．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结． (1)求证：； (2)如果． ①当，求的长； ②当时，求的正弦值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25.3 解直角三角形 教学目标 1. 学会解直角三角形； 2. 掌握直角三角形中长度、角度之间的转化 3. 会结合其他几何知识解直角三角形；。 教学重难点 1.重点 （1）根据已知条件解直角三角形； （2）掌握在直角三角形中边角互化； （3）学会一些常用的作辅助线的方法。 2.难点 （1）作辅助线构造直角三角形； （2）结合其他几何知识解直角三角形。 知识点1 解直角三角形 一、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： ④，h为斜边上的高. 要点： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两边 两直角边(a，b) 由求∠A ∠B=90°-∠A 一直角边，斜边(a，c) 由求∠A ∠B=90°-∠A 一边一角 一直角边 和一锐角 一个锐角及其邻边(如∠A，b) ∠B=90°-∠A a=b·tanA 一个锐角及其对边(如∠A，a) ∠B=90°-∠A ； 一个锐角、斜边(如∠A，c) ∠B=90°-∠A a=c·sinA b=c·cosA 要点： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算； 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 【即学即练】 1．在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，正确的理解锐角三角函数是解题的关键． 根据，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：10． 2．在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，灵活运用所学知识是解题的关键．设，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 3．在中，，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知为的一个直角边， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 4．在中，∠B=90°，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图，   ， 在中，， ． 故选：D． 5．在中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算方法求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，， ∴设， ∴， ∴， 故选：C ． 6．在中，，，，则的值为 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】如图 ∵中，，，， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键． 7．已知为锐角，若则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知60度角的余弦值为是解题的关键．先求解，再求解即可． 【详解】解：∵α为锐角，且， ∴， ∴； 故答案为：． 8．如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，也考查了等腰三角形的性质．过A作于D点，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，而，在中，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过A作于D点，如图， ， ， ∴． 在中， ， 故答案为：．    题型01 根据条件直接解直角三角形 【典例1】．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：在中，，， 设，则，故， 则． 故选：C 【变式1】．在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 【答案】C 【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键． 【变式2】．如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，先根据勾股定理求出，然后根据正弦、正切、余弦的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，，． 故选：D． 【变式3】．如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义． 根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故选：C 题型02 根据条件直接解直角三角形（文字语言） 【典例1】．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA＝即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴cotA＝＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单． 【变式1】．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB=10，那么BC的长为（　　） A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°， ∴cosB＝． ∵∠B＝50°，AB=10， ∴BC＝AB•cosB＝10•cos50°． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握该知识点是解题关键． 【变式2】．已知，AB＝m，∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，求得，即可判定． 【详解】解：在中，∠ACB＝90°，由三角函数的定义可得： ，，， 又∵ ∴ 故选D 【点睛】此题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 题型03 解一图多直角三角形 【典例1】．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于(   ) A． B．+1 C．-1 D． 【答案】B 【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD. 【详解】解：设BC=x ∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°, ∴AC=BC=x 在Rt△BCD中，CD= ∵AC－CD=AD，AD=1 ∴ 解得： 即BC= 在Rt△BCD中，BD= 故选：B. 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 【变式1】．如图，在中，，，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．证明，推出，可得，求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B＝α，∠ADC＝β，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形分别用AC表示出AB，AD即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中，∵AB＝， 在Rt△ADC中，∴AD＝， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3】．如图，在中，，D是上一点，连结，若，则的长可表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出的长进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ， 故， 则， 故， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握三角函数是解题关键． 【变式4】．如图，已知，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数比． 利用等腰直角三角形求出，再利用求出长度即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， ， ， ， 故选：A． 题型04 在特殊平行四边形中解直角三角形 【典例1】．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形和矩形性质， 设，根据可得，再进而求出，再利用已知列方程求解即可. 【详解】解：设， ∵在矩形中，， ∴， ∵，． ∴， 解得：， ∴. 【变式1】．如图，菱形中，是边的中点，为边上一点，过点作于点，交于点．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．延长，交于，可证明，得到，再证明，则可利用勾股定理得到，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于， 四边形是菱形， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】．如图，在正方形中，连接，点在上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．若，点是的中点，则的长度为（    ） A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点Q，作于点H，证明四边形是正方形，再证明，，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点E作于点Q，作于点H， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，对等角相等，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 题型05 解直角三角形与其他三角形的性质 【典例1】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（   ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【分析】设BC＝4x，BD＝5x，则CD＝3x，由BC＝4即可求x，进而求出BC． 【详解】∵∠C＝90°， 设BC＝4x，BD＝5x， ∴CD＝3x， ∵ ∴x=1，故BD＝5，CD=3 ∵的垂直平分线交于点， ∴AD＝BD＝5， ∴AC＝AD+CD=8， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式1】．如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形．若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解得到，再在中，由勾股定理得． 【详解】解：在中，， 在中， 由勾股定理得， 故选：A． 【变式2】．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求： (1)线段DC的长； (2)tan∠EDC的值． 【答案】(1)5； (2)． 【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答； （2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解． 【详解】（1）解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC． ∴． ∵AD＝12， ∴． 在Rt△ABD中，∵， ∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5． （2）解：在Rt△ADC中，E是AC的中点， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C． ∴＝＝． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质． 题型06 解单个非直角三角形 【典例1】．如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式1】．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式2】．如图，在△中，，,.则边的长为 . 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 【变式3】．如图，在等腰中，．若，，则底边(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可. 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形， ∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 题型07 解一图多个非直角三角形 【典例1】．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式1】．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可． 【详解】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， AD=DB， ∴BE=CE+AC， ∴ME=EB， 又AD=DB， ∴DE=AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC•sin∠ACN=， ∴AM=， ∴DE=， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键． 题型08 网格问题 【典例1】．如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（    ） A．是直角三角形 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形．根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， ∴是直角三角形，， ∴，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【变式1】．如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形．将点与图中的格点连接，再连接，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 因为， 所以， 所以． 故答案为：3． 【变式2】．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 题型09 在平面直角坐标系中解直角三角形 【典例1】．如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可， 【详解】解：∵直线与坐标轴交于点、， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 解得， ∴， 故选：A． 【变式1】．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 【变式2】．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标． 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 题型10 四边形中构造直角三角形 【典例1】．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式1】．如图，在四边形 中，平分，，， 于点．若 ，则点 到 的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质；过点作交的延长线于点，则的长为点到 的距离，进而解，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，则的长为点到 的距离 ∵平分， 于点． ∴， ∵，，， ∴， 即点 到 的距离为， 故答案为：． 【变式2】．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 题型11 新定义、动态几何问题 【典例1】．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形的面积是； 故答案为：或． 【变式1】．在中，，（如图）．点在边上，，为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、分别与点、对应，，射线与边交于点．如果，那么的长是 ． 【答案】4或4.8 【分析】先过点A作交与点F，利用等腰三角形的性质以及余弦的定义得出，然后分两种情况，当P在的延长线上时和当P在线段上时想，证明四边形为平行四边形，根据设出， ，有旋转的性质得出，得出，最后根据余弦的定义求出x，进而可得出答案． 【详解】解：过点A作交与点F， ∵， ∴，， ∴， 分两种情况：当P在的延长线上时，如下图： 由旋转的性质得出， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴设，则， 则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则； 当P在线段上时，如下图： 同理可设，则， 则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则， 综上：的值为4或4.8， 故答案为：4或4.8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形的计算，平行四边形的判定和性质，旋转的性质等知识，学会分类思考是解题的关键． 【变式2】．如图所示，在梯形中，，，，，，点为上一点，过点作交边于点，将沿直线翻折得到，当过点时，的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，，根据轴对称的性质得到，求得，得到，作于点，求得，根据矩形的性质得到，，求得，根据勾股定理得，设，求得，，求得，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：作于点，设与交于点， ， ，， 与关于对称， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 设， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当过点时，的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、解直角三角形等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 一、单选题 1．已知中，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选B． 2．在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：在中， ， ． ， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 3．在中，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 故选C．    4．在中，，当已知和a时，求c，应选择的关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质求解即可． 【详解】在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解． 5．在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【详解】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 6．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA＝即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴cotA＝＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单． 7．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．    在Rt△ABD中，tan∠ABC＝， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，在中，，垂足为，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，勾股定理，先求出，利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， 根据勾股定理， 为的中点， ． 故选：A． 10．如图，点E为边上一点，若，，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，解一元二次方程，理解题意，作出辅助线，构造相似三角形是解题关键 过点A作交延长线于点G，作点D关于的对称点F，连接，根据题意得出，设，则，，利用相似三角形的判定和性质得出，代入求解计算即可 【详解】解：过点A作交延长线于点G，作点D关于的对称点F，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∵对称， ∴，，， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， 故选：D 二、填空题 11．Rt△ABC中，，，AB=，则AC= ． 【答案】1 【分析】根据的余弦进行计算即可． 【详解】解：Rt△ABC中，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握特殊角得三角函数值是解题的关键． 12．在中，，已知和b，那么 ． 【答案】 【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示． 【详解】解：， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值． 13．如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝ . 【答案】 【详解】试题分析：先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质得到CD2=BD•AD，求出CD=6，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA． 考点：解直角三角形 14．如图，在中，，垂足为，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形，先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 15．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ． 【答案】 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 16．如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．可以先求得的长，再计算的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， ，，， ， 故答案为：18． 17．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，延长与交于点．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，从而即可得解． 【详解】解：如图，延长与交于点． 在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 18．在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时 ． 【答案】 【分析】根据，，求得，再证出得到，，然后借助勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作交于点F，过点D作交于点E，连接， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质得， 由勾股定理得，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形. 【详解】 解：在中， ∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 20．在中，． (1)已知，，求的值； (2)已知，，求、的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查的是勾股定理，解直角三角形． （1）直接根据勾股定理即可得出的值； （2）根据锐角三角函数的定义即可得出、的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，，，， ，． 21．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 22．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 23．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)7 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． （2）解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 24．如图，已知在四边形中，，，，． (1)的长； (2)如果点E为的中点，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可． （2）首先证明，推出，由此即可解决问题； 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25．已知：直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)若点在轴负半轴上，，求点的坐标； (3)在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点； (3)旋转后直线的解析式为或． 【分析】（）将点的坐标代入得，即点，将点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解； （）证明得到即可求解； （）设，则，则，则，得到点，即可求解；当直线逆时针旋转时和上述直线夹角为，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法求出此时直线的表达式为，即可求解； 本题考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，勾股定理，掌握知识点的应用是题解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴ ，即点， ∴将点代入一次函数表达式得：，则； （2）解：由（）得，， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴点， 由点得，， ∵直线和轴负半轴的夹角为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴则， ∴点； （3）解：如图，设顺时针旋转交轴于点，过点作交于点， 设的表达式为，将点的坐标代入上式得，则， ∴直线的表达式为， 设交轴于点， 令，则， 则点，则， 由点的坐标得， ∵，， 设，则，则， 则， 解得：， 则，则点， 由（2）可知，， 由直线的表达式为，把，，代入解析式得， 解得：, 直线的表达式为， 由上可得点，，绕点逆时针旋转后如图，设直线与轴交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 综上，旋转后直线的解析式为或． 26．如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结． (1)求证：； (2)如果． ①当，求的长； ②当时，求的正弦值． 【答案】(1)见详解 (2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证； （2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBE， ∵， ∴∠BAE=∠BDA， ∵∠ABE=∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴， ∴； （2）解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵AD∥BC， ∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形， 当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示： ∴EN∥AM，，， ∴， ∴， ∵在Rt△ABM中，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴（负根舍去）， ∴， ∴； 当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示： ∴， 在△BAD和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC， ∴，   ∴， ∵DP∥AB， ∴， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴BC=AB=4， ∴， 由以上可知：， ∴， ∵AH⊥BC，EQ⊥BC， ∴AH∥EQ， ∴，   ∴， ∴， 在Rt△BEQ中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述：∠BAC的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$