专题04 方程（组）与不等式（组）的应用（河南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 方程（组）与不等式（组）的应用 考点一、一元一次方程应用 一元一次不等式应用的综合 1．（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 考点二、解二元一次方程组 2．（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 考点三、二元一次方程组与不等式、一次函数的实际应用的综合 3．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 4．（2014·河南·中考真题）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 5．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 6．（2021·河南·中考真题）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率） 考点四、判断一元二次方程根的情况 7．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（2023·河南·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．（2022·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 考点五、已知一元二方程根的情况求参数 10．（2021·河南·中考真题）若方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 考点六、一元二次方程动态几何问题 12．（2021·河南·中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点七、分式方程与一次函数的综合 13．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 考点八、解不等式（组） 14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·河南·中考真题）不等式组的解集为 ． 专练一、解一元一次方程 16．（2025·河南周口·二模）若，则 （填“”“”或“”）． 17．（2025·河南南阳·二模）请任写一个解为非负数的一元一次方程： ． 18．（2025·河南·一模）按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（   ） A．0 B．1 C．6 D．1或6 专练二、与一元一次方程的实际有关的综合问题 19．（2025·河南·模拟预测）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为；用一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·河南商丘·模拟预测）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，若各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为 ． 0 1 3 21．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 22．（2025·河南驻马店·一模）根据图中情景，解答下列问题： (1)购买m斤A糖果需多少元？（请用含m的式子表示） (2)欣欣比亮亮多买2斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 23．（2025·河南·模拟预测）2025年中国电影市场迎来开门红，春节档总票房（含预售）破50亿，这一成绩不仅展现了中国电影市场的强劲复苏，也体现了观众对优质影片的高度热情．小麦与同学们约定周末去观看A，B两部电影，共购票12张．A电影每张票32元，B电影每张票40元，设购买了A电影x张票． (1)若小麦和同学们购买两种电影票共花费440元，那么他们购买A电影票和B电影票各多少张？ (2)设他们购买两种电影票总花费为y元，已知小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍，那么购买A电影票多少张时，可使他们花费最少，最少花费是多少？ 24．（2025·河南商丘·二模）2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． (1)求生产商每天单独生产，两类手办的个数； (2)两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 25．（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 26．（2025·河南信阳·模拟预测）为促进旅游业发展，今年某地多个景点联合推出旅游年票．具体购买方式如下． 方案 购票方式 方案一 各个景点每次收费20元． 方案二 A种年票，每张180元，各个景点不再收费． 方案三 B种年票，每张50元，各个景点每次收费10元． 小明预计今年在该地各个景点共旅游m次，所需费用为y元． (1)直接写出不同方案下y关于m的函数表达式． (2)若小明发现分别采用方案一、方案三旅游m次所需费用相同，求m的值． (3)小明决定购买年票，请你帮助小明分析购买哪种年票更划算． 27．（2025·河南南阳·模拟预测）五一劳动节期间，某超市推出如下两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中的一种． 活动一：所有商品按八折出售；活动二：购物金额每满100元减25元． 若某顾客的购物金额为x元，实付金额为y元． (1)当购物金额为160元时，选择活动一需付______元，选择活动二需付______元． (2)当时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． (3)若该顾客选择活动二后的实付金额为380元，则该顾客的购物金额为______元． 28．（2025·河南信阳·模拟预测）国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动． 平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． 平台B： 原总价 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． (1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买． (2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值． (3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案． 专练三、解二元一次方程组 29．（2025·河南安阳·模拟预测）对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 30．（2025·河南安阳·模拟预测）把方程改写成用含x的式子表示y的形式是 ． 31．（2025·河南驻马店·三模）已知与互为相反数，并且，则 ． 32．（2025·河南周口·二模）若与 互为相反数， 则 ． 33．（2025·河南安阳·模拟预测）若方程组的解为则 ． 34．（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 35．（2025·河南驻马店·三模）已知二元一次方程组，则的值是 ． 36．（2025·河南信阳·三模）（1）计算：； （2）解方程组： 专练四、与二元一次方程组有关的综合问题 37．（2025·河南安阳·三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．” 设有x个梨，y个孩童，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·河南驻马店·三模）奶茶店推出如下两款果茶，相关信息如下．已知销售A款共收入400元，B款共收入480元，其中每杯A款和B款的售价比为，B款比A款多卖20杯． A款配料 B款配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 (1)分别求、两款果茶每杯的售价； (2)现准备了茉莉清茶（）和芝士用于制作、两款果茶，要求茉莉清茶全部用完，不能剩余，芝士消耗量不少于，则最多可以制作B款果茶多少杯？ 39．（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 40．（2025·河南驻马店·三模）为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 41．（2025·河南驻马店·三模）为庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某商店计划购进，两种纪念币若干，已知购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元；购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元． (1)求枚种纪念币和枚种纪念币的进价各是多少元． (2)若该商店计划购进，两种纪念币共枚，种纪念币不超过种纪念币的，并将，两种纪念币分别以元枚和元枚的价格全部售出，请求该商店所获最大利润，并写出此时的进货方案． 42．（2025·河南漯河·二模）青少年是祖国的未来，是民族的希望，青少年的饮食搭配越来越受到社会各界的关注，为此某校餐厅开展了“用餐一小步，健康一大步”的主题活动．餐厅为学生们准备了A，B两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用两种品牌的酸奶各多少盒？ (2)已知A品牌酸奶的价格是4元／盒，B品牌酸奶的价格是3元／盒．某班级计划从餐厅购买两种酸奶共300盒，经与餐厅沟通，每盒A品牌酸奶售价不变，B品牌酸奶的售价打九折．若要求购买A品牌酸奶的数量不低于B品牌酸奶数量的2倍，则该班级应该如何设计购买方案，才能使购买酸奶的总费用最少？ 43．（2025·河南焦作·模拟预测）现有一架天平和的砝码，为了称出橡皮和钢笔的质量，数学小组进行了测量实验，并记录如下： 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4个橡皮个砝码 1个钢笔 平衡 记录2 9个橡皮 2个钢笔个砝码 平衡 已知橡皮和钢笔的规格分别相同． (1)分别求一个橡皮和一个钢笔的质量； (2)该小组准备设计一种书写套装，每套中橡皮和钢笔的总数量为30个，且橡皮数量不超过钢笔数量的，为了达到轻便最大化，方便批量运输，请你设计最优搭配方案． 44．（2025·河南驻马店·三模）《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是传统文化旺盛生命力的缩影．同时，影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进结界兽、哪吒魔童两种冰箱贴共60枚用于销售，已知购进一枚哪吒魔童冰箱贴比购进一枚结界兽冰箱贴多10元，购进2枚哪吒魔童冰箱贴和3枚结界兽冰箱贴共需220元． (1)求这两种冰箱贴购进时的单价分别为多少元． (2)设购进哪吒魔童冰箱贴枚（），购进两种冰箱贴共花费元，求与之间的函数关系式． (3)若哪吒魔童冰箱贴的售价为65元/枚，结界兽冰箱贴的售价为50元/枚，该商家计划购进这两种冰箱贴所花的总费用不超过2900元，要使这两种冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 专练五、解一元二次方程有关问题 45．（2025·河南信阳·三模）若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·河南平顶山·三模）已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 47．（2025·河南驻马店·三模）你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为，那么可得方程，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 48．（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 49．（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 50．（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 51．（2025·河南驻马店·三模）对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 52．（2025·河南驻马店·三模）（1）计算：． （2）解方程：． 专练六、一元二次方程的实际应用 53．（2025·河南周口·三模）为贯彻落实教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开展劳动教育课程，计划在果园多种一些果树．果园中原有樱桃树10棵，平均每棵树结1000颗樱桃，试验发现，如果每多种一棵，平均每棵樱桃树的产量就会减少5颗，如果要使产量增加，应多种多少棵樱桃树？设多种x棵樱桃树，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 54．（2025·河南驻马店·二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 55．（2025·河南焦作·一模）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（2025·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 57．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 58．（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 59．（2025·河南驻马店·三模）排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 60．（2025·河南·模拟预测）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？ 61．（2025·河南开封·一模）某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏；当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． (1)若每盏台灯的售价为元，则每周可售出___________盏台灯． (2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销．当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ 专练七、一元二次方程与函数的综合问题 62．（2025·河南郑州·模拟预测）法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每个进价元，因考虑到成本问题，销售的单价不能低于元，但物价部门规定获利不得高于在试营销期间发现，销售单价定为元时，每天可以销售个，单价每上涨元，每天销量减少个． (1)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到元？ (2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 63．（2025·河南商丘·二模）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 64．（2025·河南安阳·模拟预测）直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示： (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 65．（2025·河南三门峡·一模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是_______元； ②实际的销售量是_______个； (2)为了赚得10000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ (3)瓷盘售价定为_______元时，商家可获得最大利润？ 66．（2025·河南周口·一模）为迎接2026年米兰一科尔蒂纳丹佩佐冬奥会，某市扩建了一座国际标准室内滑雪训练场，该滑雪场采用最新造雪技术，整个赛道长180米，可模拟高山滑雪环境，国家队运动员小明为备战冬奥会，在此进行技术训练．如图，他从赛道顶端处开始下滑，滑行3秒后，教练操控一台无人机从处沿赛道方向保持安全高度跟拍训练过程（安全高度可忽略不计）．训练中心记录了小明离处的滑行距离（单位：以及无人机离处的距离（单位：）随滑行时间（单位：）的变化数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 6 滑行距离 0 4 10 18 28 40 54 无人机离处的距离 0 0 0 0 12 24 36 经探究发现，与之间成二次函数关系，与之间成一次函数关系．    (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)小明滑完整个训练赛道需要耗时多久？ (3)分析在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，求出相遇时间；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 67．（2025·河南周口·二模）五一期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随检票时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示（开始检票时，已经有200人在排队），y可视为x的二次函数，且顶点坐标为，其中．景区检票口每分钟可检票50人． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？ (3)检票到第5分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客500人，为了减少排队等候时间，决定临时增设两个检票口．已知临时新增检票口每个每分钟可检票30人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？请直接写出结果． 68．（2025·河南洛阳·一模）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽； (3)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 专练八、解分式方程 69．（2025·河南平顶山·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 70．（2025·河南周口·三模）已知是方程的解，那么实数的值为 ． 专练九、分式方程实际应用的综合问题 71．（2025·河南周口·一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 72．（2025·河南驻马店·一模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（   ） A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元 73．（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 74．（2025·河南信阳·三模）小明家注重早餐营养，计划在超市选购燕麦脆，目前看中了A款酸奶水果燕麦脆和B款每日坚果燕麦脆，两款燕麦脆的相关信息如下表： 属性与类别 A款酸奶水果燕麦脆 B款每日坚果燕麦脆 每袋碳水化合物含量（g） 160 135 每袋脂肪含量（g） 60 70 产品特点与优势 水果干丰富，口感清甜 坚果含量高，富含优质脂肪 (1)已知每袋A款燕麦脆的价格是每袋B款燕麦脆的价格的1.25倍，用100元（刚好用完）购买A款燕麦脆的袋数比购买B款燕麦脆的袋数少1袋．求A、B两款燕麦脆的单价； (2)小明家准备购买两款燕麦脆共10袋．若要求购买的10袋燕麦脆中碳水化合物总含量不低于脂肪总含量的2.5倍，且总费用最低，请确定A、B两款燕麦脆的购买数量． 75．（2025·河南周口·三模）2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 76．（2025·河南郑州·三模）洛阳龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 4000 2 B款 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A，B两款文创产品的数量相同．” 请你解决下列问题 (1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 77．（2025·河南平顶山·二模）网络直播是新兴的高互动性视频娱乐，如今的直播平台已经进入了“随走、随看、随播”的3.0移动视频直播时代，越来越多的人们愿意参与其中，直播并分享自己的生活，全民直播渐成趋势．某公司准备购进一批直播设备进行销售，有两种设备可供选择，每套种直播设备的进价比种直播设备的进价多100元，用60000元购进种直播设备与用80000元购进种直播设备的数量相同． (1)求两种直播设备每套的进价． (2)该公司计划购进两种直播设备共50套进行销售，其中种直播设备的数量不少于种直播设备数量的3倍，种直播设备每套售价为350元，种直播设备每套售价为480元，怎样安排进货才能使售完这批直播设备所获利润最大？最大利润是多少元？ 78．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 79．（2025·河南驻马店·三模）某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． (1)求这款笔记本的单价． (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． (3)根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 80．（2025·河南周口·二模）综合与实践 问题情境：春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用120元购买的草莓数量比乙用180元购买的草莓数量少． 问题解决：请按要求完成下列任务： (1)求这种草莓的单价； (2)甲、乙两人第二次再去购买该草莓时，单价比上次单价少5元，甲购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，求甲、乙两次购买这种草莓的平均单价； (3)生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”） 专练十、解不等式（组） 81．（2025·河南驻马店·三模）已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是，则另一个不等式可能是（   ） A． B． C． D． 82．（2025·河南驻马店·三模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 83．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直线与相交于点，则下列关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 84．（2025·河南信阳·三模）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 85．（2025·河南驻马店·三模）写出一个不等式，使其与组成的一元一次不等式组无解，则这个不等式可以为 ． 86．（2025·河南安阳·三模）写出满足不等式组的一个整数解： ． 87．（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 88．（2025·河南驻马店·三模）计算及解不等式组 (1) (2) 89．（2025·河南周口·三模）计算 (1)； (2)解不等式组： 专练十一、一元一次不等式（组）的综合应用问题 90．（2025·河南安阳·三模）洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 91．（2024·山东青岛·一模）随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 92．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 93．（2025·河南濮阳·一模）垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． (1)小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ (2)小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 94．（2025·河南鹤壁·一模）鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 (1)求的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 95．（2025·河南平顶山·一模）2024年1月7日9时5分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，造成重大人员伤亡．时间就是生命，某地教育局对口支援定日县，两所学校，现从本地运送152箱救援物资到两所学校，该教育局调用15辆大小货车，其中大货车能装载救援物资12箱，小货车能装载救援物资8箱，且恰好将这批物资运送完，运费如下表： 校（元/辆） 校（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)求本次运送动用大小货车各多少辆？ (2)若安排10辆货车前往校，设其中大货车为辆，运费总额为元； ①求与的函数表达式； ②若运往校的救援物资不少于100箱，要想运费最少，请你设计出最佳运送方案，并求出最少运费． 96．（2025·河南安阳·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 洛阳某纪念品商店购进若干洛阳牡丹扇面纸扇和唐宫夜宴冰箱贴．已知纸扇的进价为5元/把，冰箱贴的进价为13元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 纸扇/把 冰箱贴/个 销售收入/元 第一周 6 2 120 第二周 4 6 220 （进价、售价均保持不变．利润=销售收入-进货成本） 素材2 该纪念品商店准备用不超过532元的金额再采购纸扇和冰箱贴共50个． 问题解决 任务1 请尝试求出纸扇和冰箱贴的销售单价 任务2 该商店至少采购纸扇多少把？ 任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案．在这些采购方案中，那种方案商店获利最高？ 试卷第2页，共87页 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 方程（组）与不等式（组）的应用 考点一、一元一次方程应用 一元一次不等式应用的综合 1．（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)活动一更合算 (2)400元 (3)当或时，活动二更合算 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元，活动二需付款：元， ∴活动一更合算； （2）设这种健身器材的原价是元， 则， 解得， 答：这种健身器材的原价是400元， （3）这种健身器材的原价为a元， 则活动一所需付款为：元， 活动二当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， ③当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， 综上：当或时，活动二更合算． 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． 考点二、解二元一次方程组 2．（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 由得，，解得， 把代入①中得，解得， 故原方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键． 考点三、二元一次方程组与不等式、一次函数的实际应用的综合 3．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 4．（2014·河南·中考真题）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； (2)①；②商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大； (3)商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用等知识，掌握相关知识 是解题的关键． （1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意列了方程组，求解即可； （2）①根据购买数量及价格之间的关系，即可得到函数解析式； ②根据题意，得到，解得的值，根据函数的增减性，即可求解； （3）根据题意，可得到与的解析式，再根据的取值范围，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意得 ， 解得： ， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元． （2）解：①据题意得，，即， ②据题意得，， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值， ∴， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）解：据题意得，， ∴，， ①当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，最大利润， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②时，，， 即商店购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大利润， 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大， 综上所述，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 5．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 6．（2021·河南·中考真题）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率） 【答案】（1）款20个，款10个；（2）款10个，款20个，最大利润是460元；（3）第二次更合算．理由见解析 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可； （3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算． 【详解】（1）设，两款玩偶分别为个，根据题意得： 解得： 答：两款玩偶，款购进20个，款购进10个． （2）设购进款玩偶a个，则购进款个,设利润为y元 则 （元） 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半 ，又 且为整数， 当时，y有最大值 （元） 款个，款个，最大利润是元． （3）第一次利润（元） 第一次利润率为： 第二次利润率为： 第二次的利润率大，即第二次更划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键． 考点四、判断一元二次方程根的情况 7．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8．（2023·河南·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 9．（2022·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 考点五、已知一元二方程根的情况求参数 10．（2021·河南·中考真题）若方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可． 【详解】解：由题可知：“△＜0”， ∴, ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握． 11．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 考点六、一元二次方程动态几何问题 12．（2021·河南·中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 考点七、分式方程与一次函数的综合 13．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)20元 (2)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 考点八、解不等式（组） 14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 15．（2022·河南·中考真题）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 专练一、解一元一次方程 16．（2025·河南周口·二模）若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17．（2025·河南南阳·二模）请任写一个解为非负数的一元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查的是一元一次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 写出满足一个解为非负数的一元一次方程． 【详解】解：解为非负数， ， 解为非负数的一元一次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2025·河南·一模）按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（   ） A．0 B．1 C．6 D．1或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 根据最后输出的结果，对题中的程序框图逆向运算确定出满足题意的x的值即可． 【详解】解：若，则， 若，则， 所以满足条件的x的值是1或6， 故选：D 专练二、与一元一次方程的实际有关的综合问题 19．（2025·河南·模拟预测）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为；用一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，先根据一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺，得到绳子的长，再将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可知绳长为尺，则将绳子对折后的长度为尺， ∴可列方程为． 故选：A． 20．（2025·河南商丘·模拟预测）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，若各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为 ． 0 1 3 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的解法是解答此题的关键； 根据幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， 解得：， 故答案为：． 21．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 22．（2025·河南驻马店·一模）根据图中情景，解答下列问题： (1)购买m斤A糖果需多少元？（请用含m的式子表示） (2)欣欣比亮亮多买2斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 【答案】(1)当时，购买m斤A糖果需元，当时，购买m斤A糖果需元； (2)有可能，欣欣购买了斤，亮亮买了斤． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据分段收费的方式列代数式即可； （2）设亮亮买了斤，则欣欣买了斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，则，而，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当时， 购买m斤A糖果需元， 当时，（元）； （2）解：这种情况有可能，理由如下： 设亮亮买了斤，则欣欣买了斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，则，而，则 ， 解得：， ∴欣欣购买了斤，亮亮买了斤． 23．（2025·河南·模拟预测）2025年中国电影市场迎来开门红，春节档总票房（含预售）破50亿，这一成绩不仅展现了中国电影市场的强劲复苏，也体现了观众对优质影片的高度热情．小麦与同学们约定周末去观看A，B两部电影，共购票12张．A电影每张票32元，B电影每张票40元，设购买了A电影x张票． (1)若小麦和同学们购买两种电影票共花费440元，那么他们购买A电影票和B电影票各多少张？ (2)设他们购买两种电影票总花费为y元，已知小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍，那么购买A电影票多少张时，可使他们花费最少，最少花费是多少？ 【答案】(1)他们购买了A电影票5张，B电影票7张 (2)购买A电影票4张时，花费最少，最少花费是448元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设购买了A电影x张票，则购买B电影张票，根据购买两种电影票共花费440元建立方程求解即可； （2）根据题意可求出y关于x的一次函数关系式，再根据小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买了A电影x张票，则购买B电影张票． 由题意得，， 解得， 则． 答：他们购买了A电影票5张，B电影票7张； （2）解：由题意，得， ∵小麦和同学们想看B电影的人数不少于想看A电影人数的2倍， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值为448元； 答：购买A电影票4张时，花费最少，最少花费是448元． 24．（2025·河南商丘·二模）2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． (1)求生产商每天单独生产，两类手办的个数； (2)两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 【答案】(1)生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个 (2)购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个，再列出一元一次方程，即可作答． （2）设购进类手办个，则购进类手办个，得，解得，设获利为元，则，结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个， 根据题意，得， 解得，（个）. 答：生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个. （2）解：设购进类手办个，则购进类手办个， 根据题意，得， 解得， 设获利为元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时值最大，， 则（个） 答：购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元． 25．（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1)购进毛笔30件，购进砚台10件 (2)应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元 【分析】本题考查了一元一次方程，不等式的应用，一次函数的应用，熟练利用题意得到不等关系或等量关系是解题的关键． （1）设购进毛笔件，则购进砚台件，根据进货价为1300元列方程即可解答； （2）设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元，表示出第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得销售利润，再利用最多用5600元再次购进毛笔、砚台列不等式求得自变量的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设购进毛笔件，则购进砚台件， 根据题意可得， 解得， 件， 答：购进毛笔30件，购进砚台10件； （2）解：设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元， 根据题意可得， 最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件， ， 解得， 的最小值为40， ， 随的增大而减小， 则取最小值40时，最大利润为元， 件， 答：应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元． 26．（2025·河南信阳·模拟预测）为促进旅游业发展，今年某地多个景点联合推出旅游年票．具体购买方式如下． 方案 购票方式 方案一 各个景点每次收费20元． 方案二 A种年票，每张180元，各个景点不再收费． 方案三 B种年票，每张50元，各个景点每次收费10元． 小明预计今年在该地各个景点共旅游m次，所需费用为y元． (1)直接写出不同方案下y关于m的函数表达式． (2)若小明发现分别采用方案一、方案三旅游m次所需费用相同，求m的值． (3)小明决定购买年票，请你帮助小明分析购买哪种年票更划算． 【答案】(1)方案一：．方案二：；方案三： (2)5 (3)当时，购买A种年票更划算；当时，购买A，B两种年票所需费用相同；当时，购买B种年票更划算 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，写出函数解析式． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）根据方案一、方案三旅游m次所需费用相同，列出方程，解方程即可； （3）先分别令，解得：，令，解得：，然后进行分析解答即可． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； 方案三：． （2）解：由题意可知， 解得：； （3）解：令，解得：， 令，解得：， 故当时，购买A种年票更划算；当时，购买A，B两种年票所需费用相同；当时，购买B种年票更划算． 27．（2025·河南南阳·模拟预测）五一劳动节期间，某超市推出如下两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中的一种． 活动一：所有商品按八折出售；活动二：购物金额每满100元减25元． 若某顾客的购物金额为x元，实付金额为y元． (1)当购物金额为160元时，选择活动一需付______元，选择活动二需付______元． (2)当时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额y(元)与购物金额x(元)之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． (3)若该顾客选择活动二后的实付金额为380元，则该顾客的购物金额为______元． 【答案】(1)， ． (2)当时，选择活动一的实付金额；选择活动二的实付金额；当时，选择活动一更省钱． 当时，选择活动一和活动二一样省钱． 当时，选择活动二更省钱． (3)或． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列函数关系式，根据题意列式是解题的关键； （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）根据活动情况列出代数式即可； （3）分两种情况列方程解得即可． 【详解】（1）当购物金额为元时，选择活动一需付(元)，选择活动二需付(元)． 故答案为：，． （2）当时，选择活动一实付金额与购物金额之间的函数表达式为， 选择活动二实付金额与购物金额之间的函数表达式为， （3）解：该顾客选择活动二后的实付金额为元， 该顾客所购商品在元以上， 当时，， ； 当时，， ， 该顾客的购物金额为或元． ∴该顾客的购物金额为或．元． 故答案为：或．． 28．（2025·河南信阳·模拟预测）国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动． 平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． 平台B： 原总价 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． (1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买． (2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值． (3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案． 【答案】(1) (2) (3)当时，在平台上购买；当时，在平台上购买；当时，在两个平台上购买价格一样 【分析】（1）分别求出小李在两个平台购买的付款数量，再进行比较即可； （2）分别求出平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元，再根据“在两个平台上优惠后价格一样”列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元，当时，得，，然后分三种情况：若；若；若，分别求解即可． 【详解】（1）解：小李要买一件元的该品牌服装， 若选择平台购买，应付款：（元）， 若选择平台购买，应付款：（元）， ∵， ∴他应选择平台购买， 故答案为：； （2）平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴的值为． （3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元， 当时， ，， 若，则，解得：； 若，则，解得：； 若，则，解得：； 当时， ， ， ∴， 综上所述，当时，在平台上购买；当时，在平台上购买，当时，在两个平台上购买价格一样． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程及一元一次不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 专练三、解二元一次方程组 29．（2025·河南安阳·模拟预测）对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的解法（代入消元法等）是解题的关键．根据新运算的定义，将不同、值代入运算式，得到关于、的二元一次方程组，再求解方程组得出、的值 ． 【详解】解：由题意可得 ． 由，可变形为 （通过移项，用含的式子表示，为代入消元做准备 ）． 把代入中，得到 （代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程 ）． 展开括号： ． 合并同类项： ． 移项可得：，即 ． 解得 ． 把代入，得 ． 故选：A 30．（2025·河南安阳·模拟预测）把方程改写成用含x的式子表示y的形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 31．（2025·河南驻马店·三模）已知与互为相反数，并且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据与互为相反数，得到，跟组成方程组，解方程组求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立，解得：， ∴； 故答案为：． 32．（2025·河南周口·二模）若与 互为相反数， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，相反数，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用相反数的性质和非负数的性质列出方程求出和，再进行计算求解． 【详解】解：与 互为相反数， , ，， ， 解得， ． 故答案为：． 33．（2025·河南安阳·模拟预测）若方程组的解为则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，把代入原方程组中的两个方程中求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，结合所求、明确方程组中两个方程中未知数的系数的特征是解题关键； 方程组中的两个方程相加并整理可得，进而可得答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相加，可得：， 即， ∴； 故答案：9. 35．（2025·河南驻马店·三模）已知二元一次方程组，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据所求式子的特点灵活求解是关键； 方程组中的两个方程相减即可得出答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相减，得， 故答案为：4. 36．（2025·河南信阳·三模）（1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，二元一次方程组的求解，涉及零指数幂，二次根式的性质化简，特殊角三角函数值，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角三角函数值，绝对值的意义化简各项，再合并同类项即可； （2）根据加减消元法求解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解：得：， 解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为． 专练四、与二元一次方程组有关的综合问题 37．（2025·河南安阳·三模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．” 设有x个梨，y个孩童，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据“每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”列方程组即可． 【详解】解：设有x个梨，y个孩童，根据题意得： ． 故选：A． 38．（2025·河南驻马店·三模）奶茶店推出如下两款果茶，相关信息如下．已知销售A款共收入400元，B款共收入480元，其中每杯A款和B款的售价比为，B款比A款多卖20杯． A款配料 B款配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 (1)分别求、两款果茶每杯的售价； (2)现准备了茉莉清茶（）和芝士用于制作、两款果茶，要求茉莉清茶全部用完，不能剩余，芝士消耗量不少于，则最多可以制作B款果茶多少杯？ 【答案】(1)每杯A款的售价是元，每杯B款的售价是元 (2)7杯 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每杯B款的售价是元，则每杯A款的售价是元，根据B款比A款多卖20杯建立方程求解即可； （2）设制作A款果茶杯，B款果茶杯，根据茉莉清茶的消耗量可得方程 解得，再根据芝士的消耗量列出不等式求出m的取值范围，进而求出n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设每杯B款的售价是元，则每杯A款的售价是元， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：每杯A款的售价是元，每杯B款的售价是元； （2）解：设制作A款果茶杯，B款果茶杯， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， ∴ 解得， ∴n的最大值为7 答：最多可以制作B款果茶7杯． 39．（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元 (2)①10 ②最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价为y万元，根据“A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据两种方案的最终费用相同，可列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设购买a台A型充电桩，台B型充电桩，总费用为w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元， 根据题意得， 解得： 答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元； （2）解：① ， 解得：， 答：的值为10； ②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元， 购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的， ， 解得． 的取值范围为，且为正整数， 根据题意，可得， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时． 答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 40．（2025·河南驻马店·三模）为了让学生体验农耕劳动，某校计划购买A，B两种型号的劳动工具，已知购买20个A型劳动工具，40个B型劳动工具共需要1100元；B型劳动工具的单价比A型劳动工具多5元． (1)分别求A、B两种型号劳动工具的单价； (2)在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折．设购买x（）个B型劳动工具需要花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)在（2）的前提下，若该校计划购买A、B两种型号的劳动工具共100个，且B型劳动工具不少于A型劳动工具的1.2倍．请你求出最省钱的购买方案及所需费用． 【答案】(1)A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元 (2)当时，，当时， (3)最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元，再根据题意列出方程组，再解出，即可作答． （2）结合在实际购买时，A型劳动工具的价格不变；B型劳动工具享受优惠；若超过40个，则超出部分可享8折，得出当时，；当时，，即可作答． （3）由题意可得：，得出a的最小值为55，设所需费用为w元，，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设A型劳动工具的单价为m元，B型劳动工具的单价为n元， 根据题意得：， 解得， 答：A型劳动工具的单价为15元，B型劳动工具的单价为20元． （2）解：依题意，当时，； 当时，． （3）解：设购买B型劳动工具a个，则购买A型劳动工具个， 由题意可得：， 解得：， a为整数， ∴a的最小值为55， 设所需费用为w元，， ∵ ∴随着的增大而增大 当时，w最小，最小值为（元） ∴最省钱的购买方案是购买B型劳动工具55个，A型劳动工具45个，此方案共需花费1715元． 41．（2025·河南驻马店·三模）为庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某商店计划购进，两种纪念币若干，已知购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元；购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元． (1)求枚种纪念币和枚种纪念币的进价各是多少元． (2)若该商店计划购进，两种纪念币共枚，种纪念币不超过种纪念币的，并将，两种纪念币分别以元枚和元枚的价格全部售出，请求该商店所获最大利润，并写出此时的进货方案． 【答案】(1)枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元； (2)该商店所获最大利润为元，此时的进货方案为：购进种纪念币枚，购进种纪念币枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （）设枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚，设商店所获利润为元，根据题意得，求出的范围，根据题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元； （2）解：设购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚， 根据题意，得， ∴， 设商店所获利润为元， 根据题意，得， ∵， ∴的值随的增大而增大， ∴当时，取最大值，此时（元）， ∴（枚）， 答：该商店所获最大利润为元，此时的进货方案为：购进种纪念币枚，购进种纪念币枚． 42．（2025·河南漯河·二模）青少年是祖国的未来，是民族的希望，青少年的饮食搭配越来越受到社会各界的关注，为此某校餐厅开展了“用餐一小步，健康一大步”的主题活动．餐厅为学生们准备了A，B两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用两种品牌的酸奶各多少盒？ (2)已知A品牌酸奶的价格是4元／盒，B品牌酸奶的价格是3元／盒．某班级计划从餐厅购买两种酸奶共300盒，经与餐厅沟通，每盒A品牌酸奶售价不变，B品牌酸奶的售价打九折．若要求购买A品牌酸奶的数量不低于B品牌酸奶数量的2倍，则该班级应该如何设计购买方案，才能使购买酸奶的总费用最少？ 【答案】(1)应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒 (2)购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用。解题关键在于准确分析题目中的数量关系，合理设未知数，根据等量关系或不等关系列出相应方程、不等式，构建函数模型，并运用函数性质解决最值问题。 （1）以学生摄取能量和蛋白质的量为切入点，设饮用A、B品牌酸奶的盒数分别为、，依据A、B品牌酸奶每盒的能量值和蛋白质含量，结合已知摄取量列出二元一次方程组，求解得出饮用两种品牌酸奶的盒数。 （2）从班级购买酸奶的数量和费用关系入手，设购买A品牌酸奶盒，得出购买B品牌酸奶盒。先根据“A品牌酸奶数量不低于B品牌酸奶数量的2倍”列出一元一次不等式确定的取值范围，再根据单价和购买数量构建总费用关于的一次函数，利用一次函数性质求出费用最小时的值及对应的购买方案。 【详解】（1）解：设饮用A品牌酸奶盒，饮用B品牌酸奶盒． 依题意，可得方程组 解得 答：应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒． （2）解：设购买A品牌酸奶盒，则购买B品牌酸奶盒． 依题意，可得不等式， 解得． 设购买这两种品牌酸奶的总费用为元， 依题意，可得． 随的増大而増大． 当时，有最小值，此时， 故购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少． 43．（2025·河南焦作·模拟预测）现有一架天平和的砝码，为了称出橡皮和钢笔的质量，数学小组进行了测量实验，并记录如下： 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4个橡皮个砝码 1个钢笔 平衡 记录2 9个橡皮 2个钢笔个砝码 平衡 已知橡皮和钢笔的规格分别相同． (1)分别求一个橡皮和一个钢笔的质量； (2)该小组准备设计一种书写套装，每套中橡皮和钢笔的总数量为30个，且橡皮数量不超过钢笔数量的，为了达到轻便最大化，方便批量运输，请你设计最优搭配方案． 【答案】(1)一个橡皮，一个钢笔 (2)最优搭配方案是：该书写套装里面有10个橡皮，20个钢笔 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设一个橡皮，一个钢笔，根据表格中天平平衡时的条件建立方程组求解即可； （2）设该书写套装里面橡皮有m个，则钢笔有个，根据橡皮数量不超过钢笔数量的，列出不等式求出m的取值范围，再列出总质量关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一个橡皮，一个钢笔， 由题意得，， 解得：， 答：一个橡皮，一个钢笔； （2）解：设该书写套装里面橡皮有m个，则钢笔有个． 由题意得，， 解得：， 设总质量为，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， 当时，w最小，此时， ∴最优搭配方案是：该书写套装里面有10个橡皮，20个钢笔． 44．（2025·河南驻马店·三模）《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是传统文化旺盛生命力的缩影．同时，影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进结界兽、哪吒魔童两种冰箱贴共60枚用于销售，已知购进一枚哪吒魔童冰箱贴比购进一枚结界兽冰箱贴多10元，购进2枚哪吒魔童冰箱贴和3枚结界兽冰箱贴共需220元． (1)求这两种冰箱贴购进时的单价分别为多少元． (2)设购进哪吒魔童冰箱贴枚（），购进两种冰箱贴共花费元，求与之间的函数关系式． (3)若哪吒魔童冰箱贴的售价为65元/枚，结界兽冰箱贴的售价为50元/枚，该商家计划购进这两种冰箱贴所花的总费用不超过2900元，要使这两种冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)哪吒魔童冰箱贴的单价为50元，结界兽冰箱贴的单价为40元 (2)（） (3)商家购进哪吒魔童冰箱贴50枚，结界兽冰箱贴10枚时，所获利润最大，最大利润为850元 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）设哪吒魔童冰箱贴的单价为元，结界兽冰箱贴的单价为元，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）设购进哪吒魔童冰箱贴枚（），购进结界兽冰箱贴枚，总费用元为两种冰箱贴费用的和列出一次函数即可； （3）设销售两种冰箱贴获得的利润为元，则利润为，根据，随的增大而增大，，且为非负整数可得当时，取最大值． 【详解】（1）解：设哪吒魔童冰箱贴的单价为元，结界兽冰箱贴的单价为元， 根据题意，得， 解得 则哪吒魔童冰箱贴的单价为50元，结界兽冰箱贴的单价为40元． （2）解：购进哪吒魔童冰箱贴枚（）， 购进结界兽冰箱贴枚． 根据题意，得， 即． 与之间的函数关系式为（）． （3）解：设销售两种冰箱贴获得的利润为元， 根据题意，得，即， ， 随的增大而增大， 该商家计划购进两种冰箱贴所花的总费用不超过2900元， ，即， 解得， 为非负整数， 当时， 取得最大值，（元），此时（枚）， 即商家购进哪吒魔童冰箱贴50枚，结界兽冰箱贴10枚时，所获利润最大，最大利润为850元． 专练五、解一元二次方程有关问题 45．（2025·河南信阳·三模）若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别． 【详解】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 46．（2025·河南平顶山·三模）已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 47．（2025·河南驻马店·三模）你能找到三个连续整数，使得前两个数的平方和等于第三个数的平方吗？如果将这三个连续整数中最小的数设为，那么可得方程，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握根的判别式是解题的关键．将方程整理为标准二次方程后，计算判别式判断根的情况． 【详解】解：， ， 即 ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 48．（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 49．（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 50．（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，依据题意，利用配方法把原式化为的形式即可判断得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 51．（2025·河南驻马店·三模）对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 52．（2025·河南驻马店·三模）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）0；（2） ， 【分析】本题考查解一元二次方程、实数的运算，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先变形，然后移项，再根据提公因式法可以解答此方程． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴， 或， 解得，． 专练六、一元二次方程的实际应用 53．（2025·河南周口·三模）为贯彻落实教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开展劳动教育课程，计划在果园多种一些果树．果园中原有樱桃树10棵，平均每棵树结1000颗樱桃，试验发现，如果每多种一棵，平均每棵樱桃树的产量就会减少5颗，如果要使产量增加，应多种多少棵樱桃树？设多种x棵樱桃树，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设多种x棵樱桃树，则总棵数为棵，每棵产量为颗，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设多种x棵樱桃树，则总棵数为棵，每棵产量为颗，根据题意得： ． 故选：A 54．（2025·河南驻马店·二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设该小组有人，每两个同学都相互赠送一张卡片，即一个人送出张，依题意列方程，计算即可． 【详解】解：设该兴趣小组的人数为人，则每个同学需送出张卡片， 依题意，得：． 解得或（舍去）， 即该小组一共有18名成员， 故选：C． 55．（2025·河南焦作·一模）技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 56．（2025·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程无实数根，得，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 57．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 58．（2025·河南郑州·一模）河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质是解题的关键． （）设每箱石榴降价元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于列出方程，求出解即可； （）设利润为，即可得出关于的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（）设每箱石榴降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或； （）设利润为， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润有最大值，为元， 故答案为：． 59．（2025·河南驻马店·三模）排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 【答案】(1)合合的说法不正确，理由见解析； (2)采纳销售员乙的意见，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个，根据“售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）解：合合的说法不正确，理由如下： 设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个， 依题意得，， 解得， 降价后每个的售价为（元）， 进价为每个16元，， 平均每月的销售量能达到500个时会亏本， 合合的说法不正确． （2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 降价1元或3元都能达到销售利润为2860元的目标； 降低售价可以增加销售量，从而减少库存， 应采纳销售员乙的意见． 60．（2025·河南·模拟预测）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？ 【答案】(1)每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元 (2)元 【分析】（）设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元，根据题意列出方程求出进而即可求解； （）售出个书签的利润为元，降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元； （2）解：售出个书签的利润为元， 降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， ∵降价幅度不超过，，即， ∴不合，舍去， ∴， 元， 答：文化衫的售价应定为每件元. 61．（2025·河南开封·一模）某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏；当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． (1)若每盏台灯的售价为元，则每周可售出___________盏台灯． (2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销．当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ 【答案】(1) (2)当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）根据当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏，可求出结论； （2）设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，根据总利润每盏台灯的利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：（盏）， 故答案为：； （2）设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元． 专练七、一元二次方程与函数的综合问题 62．（2025·河南郑州·模拟预测）法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每个进价元，因考虑到成本问题，销售的单价不能低于元，但物价部门规定获利不得高于在试营销期间发现，销售单价定为元时，每天可以销售个，单价每上涨元，每天销量减少个． (1)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到元？ (2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到元； (2)当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可； （2）设销售单价定为元，销售利润为元，根据润（售价进价）销售量列出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到元， 由题意可得：， 解得，， 物价部门规定获利不得高于． 售价不能高于（元）， 当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到元； （2）解：设销售单价定为元，销售利润为元， 由题意可得：， 由（1）知：， 当时，取得最大值，此时， 答：当销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 63．（2025·河南商丘·二模）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． (1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． (2)投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 【答案】(1) (2)该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用一次函数和不等式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出一次函数和不等式是解题的关键． （1）依题意，设每年增长率为，根据前年成本为15万元，今年成本达到了万，列式，再解出的值，即可作答． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套，分别求出方案①花费钱数；方案②花费钱数，比较不同的求值范围，比较销售的总价格大小，即可得出结论. 【详解】（1）解：设每年增长率为，由题意可得： ，即， 解得，（舍去）． 答：每年生产成本的增长率为． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套， 则方案①花费钱数，即； 方案②花费钱数分两种情况， 当时，； 当时，，即， 当时，，选第①种方式更优惠； 当时，若，解得， ∴当时，选第①②两种方式都可以． 若，解得，选第②种方式更优惠； 若，解得，选第①种方式更优惠． 答：该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 64．（2025·河南安阳·模拟预测）直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示： (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能达到2550元；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的关系式为， 结合图象过点，，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意，销售额，假设销售额能达到2550元， 则， 整理得， ∴ ， ∴该方程没有实数解，即该主播日带货销售额不能达到2550元． 65．（2025·河南三门峡·一模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是_______元； ②实际的销售量是_______个； (2)为了赚得10000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ (3)瓷盘售价定为_______元时，商家可获得最大利润？ 【答案】(1)①； (2)元 (3)65 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）根据售价进价利润，销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； （3）利用二次函数最值求法进而得出答案． 【详解】（1）解：①每个磁盘的实际利润是：（元）； ②实际的销售量是：元； 故答案为：；； （2）设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； （3）设售价定为元，总利润为元，则 ， ， 函数有最大值，当时，最大， 故答案为：65． 66．（2025·河南周口·一模）为迎接2026年米兰一科尔蒂纳丹佩佐冬奥会，某市扩建了一座国际标准室内滑雪训练场，该滑雪场采用最新造雪技术，整个赛道长180米，可模拟高山滑雪环境，国家队运动员小明为备战冬奥会，在此进行技术训练．如图，他从赛道顶端处开始下滑，滑行3秒后，教练操控一台无人机从处沿赛道方向保持安全高度跟拍训练过程（安全高度可忽略不计）．训练中心记录了小明离处的滑行距离（单位：以及无人机离处的距离（单位：）随滑行时间（单位：）的变化数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 5 6 滑行距离 0 4 10 18 28 40 54 无人机离处的距离 0 0 0 0 12 24 36 经探究发现，与之间成二次函数关系，与之间成一次函数关系．    (1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)小明滑完整个训练赛道需要耗时多久？ (3)分析在小明到达终点前，无人机能否追上小明，若能，求出相遇时间；若不能，求出无人机与小明的最小距离． 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； (2)小明滑完整个赛道需要耗时； (3)无人机不能追上小明，无人机与小明的最小距离为． 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法可得；同理求得关于的函数解析式为； （2）在中，令可解得小明滑完整个赛道需要耗时； （3）由可得到解无人机不能追上小明，再利用配方法可求得无人机与小明的最小距离． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将，，代入得： ， 解得， ； 设关于的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴， ∴关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：在中，令得： ， 解得或（舍去）， 小明滑完整个赛道需要耗时； （3）解：联立得， 整理得， ∵， ∴无人机不能追上小明， 由题意得， ∵， ∴无人机与小明的最小距离为． 67．（2025·河南周口·二模）五一期间，某景区游客排队接受检票，景区统计了游客排队情况，发现游客到景区检票口的累计人数y（单位：人）随检票时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示（开始检票时，已经有200人在排队），y可视为x的二次函数，且顶点坐标为，其中．景区检票口每分钟可检票50人． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？ (3)检票到第5分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客500人，为了减少排队等候时间，决定临时增设两个检票口．已知临时新增检票口每个每分钟可检票30人，增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？请直接写出结果． 【答案】(1) (2)425 (3)增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再把代入解析式中计算求解即可； （2）第x分钟等待检票的人数为w人，根据，列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，根据检票m分钟时间后等待检票的游客数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 把代入到中得：，解得， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：设第x分钟等待检票的人数为w人， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为425， 答：景区检票口排队等待检票的游客最多时有425人； （3）解：设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况． 68．（2025·河南洛阳·一模）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为平方米，车棚的宽度为米，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若车棚面积需达到108平方米，求此时自行车车棚的长和宽； (3)学校在规划自行车车棚时，考虑到体育馆旁的空间利用以及未来的使用便捷性，经过测量与讨论，发现当车棚的宽度为8米时，既能最大程度契合现有的场地条件，又能满足预期的停车及充电区域划分需求．已知此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，停车区和充电区的面积各是多少？ 【答案】(1)S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围 (2)自行车车棚的长为，宽为． (3)停车区面积为，充电区的面积是． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左中右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，再检验即可； （3）根据车棚的宽度为8米，求解，再根据停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， ． 答：自行车车棚的长为，宽为． （3）解：∵车棚的宽度为， ∴， ∵此时停车区的宽度（）是充电区宽度（）的倍， ∴，， ∴停车区面积为，充电区的面积是． 专练八、解分式方程 69．（2025·河南平顶山·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，把代入原方程即可求出k的值再进行检验即可． 【详解】解：将代入， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， 故答案为：3． 70．（2025·河南周口·三模）已知是方程的解，那么实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次方程，理解方程的解的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．将代入分式方程，得到关于m的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 专练九、分式方程实际应用的综合问题 71．（2025·河南周口·一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 72．（2025·河南驻马店·一模）为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（   ） A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元） 答：原计划每间教室的建设费用是万元， 故选：C． 73．（2025·河南省直辖县级单位·一模）2025年3月10日，西昌卫星发射中心成功发射通信技术试验卫星十五号，标志着我国航天技术取得重大突破．作为青少年，自豪感油然而生，某学校为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，计划给科技社团购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“迎五一劳动节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型时，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据“用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的”列出方程求解即可； （2）设购买航空模型个，花费为元，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， 是原方程的解，且符合题意， ， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元． 由题意得，， 解得， ， ， 随增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 74．（2025·河南信阳·三模）小明家注重早餐营养，计划在超市选购燕麦脆，目前看中了A款酸奶水果燕麦脆和B款每日坚果燕麦脆，两款燕麦脆的相关信息如下表： 属性与类别 A款酸奶水果燕麦脆 B款每日坚果燕麦脆 每袋碳水化合物含量（g） 160 135 每袋脂肪含量（g） 60 70 产品特点与优势 水果干丰富，口感清甜 坚果含量高，富含优质脂肪 (1)已知每袋A款燕麦脆的价格是每袋B款燕麦脆的价格的1.25倍，用100元（刚好用完）购买A款燕麦脆的袋数比购买B款燕麦脆的袋数少1袋．求A、B两款燕麦脆的单价； (2)小明家准备购买两款燕麦脆共10袋．若要求购买的10袋燕麦脆中碳水化合物总含量不低于脂肪总含量的2.5倍，且总费用最低，请确定A、B两款燕麦脆的购买数量． 【答案】(1)A款燕麦脆的单价为25元，B款燕麦脆的单价为20元 (2)应购买8袋款燕麦脆，2袋款燕麦脆 【分析】该题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意． （1）设款燕麦脆的单价为元，则款燕麦脆的单价为元，根据题意列出分式方程解答即可． （2）设购买款燕麦脆袋，购买款燕麦脆袋，由题意列不等式求出，设购买的10袋燕麦脆的总费用为元，列出一次函数，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款燕麦脆的单价为元，则款燕麦脆的单价为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解． ． 答：A款燕麦脆的单价为25元，B款燕麦脆的单价为20元． （2）解∶设购买款燕麦脆袋，购买款燕麦脆袋， 由题意得：， 解得：． 设购买的10袋燕麦脆的总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 应购买8袋款燕麦脆，2袋款燕麦脆． 75．（2025·河南周口·三模）2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为 (2)甲数据中心至少需要工作 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少，列出方程，解方程即可； （2）设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据共用至少完成的数据迁移，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为； （2）解：设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据题意得： ， 解得：， 答：甲数据中心至少需要工作． 76．（2025·河南郑州·三模）洛阳龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 进货单 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 4000 2 B款 件 3250 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A，B两款文创产品的数量相同．” 请你解决下列问题 (1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)款文创产品的进货单价为80元，款文创产品的进货单价为65元 (2)购进A款文创产品60件，B款文创产品40件时，销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设款文创产品的进货单价为元，则款文创产品的进货单价为元．因为，两款文创产品的数量相同，再建立分式方程求解即可； （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件．由题意得，可得．设销售完这批货后获得的利润为元，可得，再利用一次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：设款文创产品的进货单价为元，则款文创产品的进货单价为元．因为，两款文创产品的数量相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意； 则元． 所以款文创产品的进货单价为80元，款文创产品的进货单价为65元． （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件． 由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得． 设销售完这批货后获得的利润为元，则 ． ∵，所以随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， 此时件． ∴购进A款文创产品60件，B款文创产品40件时，销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元． 77．（2025·河南平顶山·二模）网络直播是新兴的高互动性视频娱乐，如今的直播平台已经进入了“随走、随看、随播”的3.0移动视频直播时代，越来越多的人们愿意参与其中，直播并分享自己的生活，全民直播渐成趋势．某公司准备购进一批直播设备进行销售，有两种设备可供选择，每套种直播设备的进价比种直播设备的进价多100元，用60000元购进种直播设备与用80000元购进种直播设备的数量相同． (1)求两种直播设备每套的进价． (2)该公司计划购进两种直播设备共50套进行销售，其中种直播设备的数量不少于种直播设备数量的3倍，种直播设备每套售价为350元，种直播设备每套售价为480元，怎样安排进货才能使售完这批直播设备所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)300元，400元 (2)购进38套种直播设备，12套种直播设备所获利润最大．最大利润是2860元 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，利用一次函数解决最值问题，解题的关键是找准等量关系和掌握一次函数的性质． （1）设种直播设备每套的进价为元，则种直播设备每套的进价为元，找出等量关系列出分式方程求解即可； （2）设所获利润是元，购进套种直播设备，则购进（50-m）套种直播设备,列出 ，确定自变量的取值范围，利用一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设种直播设备每套的进价为元，则种直播设备每套的进价为元． 根据题意，得 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：种直播设备每套的进价为300元，种直播设备每套的进价为400元． （2）解：设所获利润是元，购进套种直播设备，则购进套种直播设备． 根据题意得． ∵种直播设备的数量不少于种直播设备数量的3倍， ∴， 解得 ∵为正整数， ∴的最小值为38． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，为． 答：购进38套种直播设备，12套种直播设备所获利润最大．最大利润是2860元． 78．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)学校购买这批仪器至少要花396元 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 79．（2025·河南驻马店·三模）某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． (1)求这款笔记本的单价． (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． (3)根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 【答案】(1)10元 (2)；当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元 (3)当或时，在甲、乙两家商店购买均可；当时，应在甲商店购买；当时，应在乙商店购买 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）设这款笔记本的单价是x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）根据优惠活动分别写出关于x的函数关系式，设，列关于x和y的二元一次方程组并求解，说明点M的实际意义即可； （3）根据图象和点M的坐标作答即可． 【详解】（1）解：设这款笔记本的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：这款笔记本的单价为10元． （2）解：当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 由图象可知，点M是函数和图象的交点， 故令，解得，此时， ∴点M的坐标为． 点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元． （3）解：由图象可知，当或时，， 当时，， 当时，， ∴当或时，在家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可；当时，应选择甲商店购买；当时，应选择乙商店购买． 80．（2025·河南周口·二模）综合与实践 问题情境：春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用120元购买的草莓数量比乙用180元购买的草莓数量少． 问题解决：请按要求完成下列任务： (1)求这种草莓的单价； (2)甲、乙两人第二次再去购买该草莓时，单价比上次单价少5元，甲购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，求甲、乙两次购买这种草莓的平均单价； (3)生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”） 【答案】(1)20元 (2)甲两次购买这种草莓的平均单价是元，乙两次购买这种草莓的平均单价是元 (3)金额 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，有理数的大小比较的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设这种草莓的单价为x元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可； （3）比较得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：设这种草莓的单价为x元． 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． 答：这种草莓的单价为20元； （2）解：第二次购买该草莓时的单价为（元）， 甲第二次购买该草莓的数量为， 乙第二次购买该草莓的总价为（元）， ∴甲两次购买这种草莓的平均单价为（元）， 乙两次购买这种草莓的平均单价为元）． 答：甲两次购买这种草莓的平均单价是元，乙两次购买这种草莓的平均单价是元； （3）解： ∴按相同金额购买更合算． 专练十、解不等式（组） 81．（2025·河南驻马店·三模）已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是，则另一个不等式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，由已知不等式到解集，需确定另一个不等式使得两不等式解集的交集仅含一个整数解．可逐一分析选项，判断其解集与的交集是否满足条件即可． 【详解】解：解已知不等式：，解得：，即． A：解不等式得，与的交集为，整数解为（两个），不符合条件； B：解不等式得，与的交集为空集，无解，不符合条件； C：解不等式 得：，即，即，与的交集为，无整数解，不符合条件； D：解不等式解得：，即，与的交集为，整数解为（仅一个），符合条件， 故选：D． 82．（2025·河南驻马店·三模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 分别求出两个不等式的解集，再求不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 故选：C． 83．（2025·河南·模拟预测）如图，已知直线与相交于点，则下列关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由一次函数图象解一元一次不等式，关于的不等式的解集是指直线在直线上方部分对应的的范围，由直线与相交于点，得到不等式解集，在数轴上表示关于的不等式的解集即可得到答案，熟练掌握由一次函数图象解一元一次不等式、在数轴上表示不等式解集的方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 关于的不等式的解集是指直线在直线上方部分对应的的范围， 直线与相交于点， 当时，， 在数轴上表示，如图所示： ， 故选：D． 84．（2025·河南信阳·三模）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 故选：． 85．（2025·河南驻马店·三模）写出一个不等式，使其与组成的一元一次不等式组无解，则这个不等式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的解集，掌握不等式的解是解题的关键． 根据题意可得，若一个不等式与组成的一元一次不等式组无解，则不等式的解集应满足即可． 【详解】解：， 则， 若一个不等式与组成的一元一次不等式组无解，则不等式的解集应满足即可， 故这个不等式可以为答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 86．（2025·河南安阳·三模）写出满足不等式组的一个整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由得：， 由得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）． 87．（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 先求得2个不等式的解集，然后根据“同小取小”和已知解集得到的取值范围． 【详解】解不等式得， 解不等式得， 关于的不等式组的解集是， ， 故答案为：． 88．（2025·河南驻马店·三模）计算及解不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则和不等式的求解方法。 分别计算算术平方根、零次幂和乘法，再进行加减运算； 分别解出两个不等式的解集，再求它们的公共部分。 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集为． 89．（2025·河南周口·三模）计算 (1)； (2)解不等式组： 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值等，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解为． 专练十一、一元一次不等式（组）的综合应用问题 90．（2025·河南安阳·三模）洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元 (2)购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元 【分析】（）设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进牡丹瓷件，则购进书签件，列出不等式求出的取值范围，设利润为元，求出与的一次函数函数关系，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元； （2）解：设购进牡丹瓷件，则购进书签件， 由题意得，， 解得， 设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，元， 此时， 答：购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元． 91．（2024·山东青岛·一模）随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元 (2)购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元， 由题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元． （2）设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需总费用为万元， 由题意得： ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少． 92．（2025·河南鹤壁·一模）如图，某小区物业对一块长、宽的矩形区域进行改造，欲在它的西南角种植一块矩形草坪，草坪围栏总长度为．点P 是区域内一棵大树所在的位置，大树与区域边界的距离如图中数据所示，要求大树周围内（不含边界）不种植草坪．设草坪的边的长为，草坪面积为． (1)求x 的取值范围． (2)如何种植才能使草坪的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的边时，草坪的面积最小，为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，则，再根据，大树周围内（不含边界）不种植草坪，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）先求出关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵，大树周围内（不含边界）不种植草坪， ∴， 解得：， ∴x 的取值范围为； （2）解：由题意可得：， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，的值最小，为， 故草坪的边时，草坪的面积最小，为． 93．（2025·河南濮阳·一模）垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． (1)小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ (2)小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 【答案】(1)小明家本周废纸和塑料瓶各6千克、4千克 (2)每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克．根据收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分，列出方程，求解即可． （2）设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元．根据总收益=可回收垃圾的收益+厨余垃圾的收益，列出函数关系式，再根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨，列出不等式组，求出x的范围，再根据一次函数的性质求出y的最大值即可． 【详解】（1）解：设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克． 由题意得： 解得： 塑料瓶：千克 答：小明家本周废纸和塑料瓶分别6千克、4千克． （2）解：设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元． 由题意得：， ， ， ， 随的增大而增大 当时，有最大值， 此时厨余垃圾：（吨）， 即：每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大． 94．（2025·河南鹤壁·一模）鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 (1)求的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【答案】(1)a的值为30，b的值为45 (2)①（，x取整数）；②当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133 套时，获利最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出y关于x的函数关系式，根据“购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可；②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 即的值为30，b的值为45； （2）解：①由题意得， ∵购进乒乓球拍的套数不超过120套 ∴， ∵购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半， ， 解得：， 则的取值范围为：， ∴关于的函数关系式为 （，取整数）； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， ∴当时，取最大值， 此时， 答：当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套时，获利最大． 95．（2025·河南平顶山·一模）2024年1月7日9时5分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，造成重大人员伤亡．时间就是生命，某地教育局对口支援定日县，两所学校，现从本地运送152箱救援物资到两所学校，该教育局调用15辆大小货车，其中大货车能装载救援物资12箱，小货车能装载救援物资8箱，且恰好将这批物资运送完，运费如下表： 校（元/辆） 校（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)求本次运送动用大小货车各多少辆？ (2)若安排10辆货车前往校，设其中大货车为辆，运费总额为元； ①求与的函数表达式； ②若运往校的救援物资不少于100箱，要想运费最少，请你设计出最佳运送方案，并求出最少运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用7辆 (2)①（，且为整数）； ②使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往校；3辆大货车、2辆小货车前往校．最少运费为9900元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设大货车用辆，小货车用辆，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）①根据总费用等于大货车和小货车的费用之和，列出函数关系式即可； ②根据题意，列出不等式，求出的范围，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设大货车用辆，小货车用辆， 根据题意得：，解得：， 大货车用8辆，小货车用7辆； （2）①设前往校的大货车为辆，则前往校的大货车为辆，前往校的小货车为辆，前往校的小货车为辆， 根据题意得：， ∵， ∴， 与的函数解析式为，（，且为整数）； ②由题意得：，解得：， 又， 且为整数， ，，随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往校；3辆大货车、2辆小货车前往校．最少运费为9900元． 96．（2025·河南安阳·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 洛阳某纪念品商店购进若干洛阳牡丹扇面纸扇和唐宫夜宴冰箱贴．已知纸扇的进价为5元/把，冰箱贴的进价为13元/个，如表是近两周的销售情况： 销售阶段 纸扇/把 冰箱贴/个 销售收入/元 第一周 6 2 120 第二周 4 6 220 （进价、售价均保持不变．利润=销售收入-进货成本） 素材2 该纪念品商店准备用不超过532元的金额再采购纸扇和冰箱贴共50个． 问题解决 任务1 请尝试求出纸扇和冰箱贴的销售单价 任务2 该商店至少采购纸扇多少把？ 任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于646元，请写出符合条件的采购方案．在这些采购方案中，那种方案商店获利最高？ 【答案】任务一：纸扇的销售单价为10元，冰箱贴的销售单价为30元；任务二：该商店至少采购纸扇15把；任务三：方案一：采购纸扇15把，采购冰箱贴35个；方案二：采购纸扇16把，采购冰箱贴34个；方案三：采购纸扇17把，采购冰箱贴33个；采购纸扇15把，采购冰箱贴35个商店获利最高 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，理解题意，理清数量关系是解题的关键． 任务一：设纸扇的销售单价为元，冰箱贴的销售单价为元，根据两周的销售收入列出方程组，求解即可； 任务二：设该商店采购纸扇m把，则采购冰箱贴个，根据采购金额不超过532元列出不等式，求解即可； 任务三：根据这50个纪念品利润不低于646元列出不等式，结合任务二中m的取值，得到各种方案，计算利润比较即可解答． 【详解】解：任务一：设纸扇的销售单价为元，冰箱贴的销售单价为元， 根据题意得 解得 答：纸扇的销售单价为10元，冰箱贴的销售单价为30元． 任务二：设该商店采购纸扇m把，则采购冰箱贴个， 则，解得， 所以该商店至少采购纸扇15把． 任务三：由题意知， 解得，所以， 则符合条件的整数m的值为15，16，17． 方案一：采购纸扇15把，采购冰箱贴35个，利润为（元）， 方案二：采购纸扇16把，采购冰箱贴34个，利润为（元）， 方案三：采购纸扇17把，采购冰箱贴33个，利润为（元）， 因为，所以采购纸扇15把，采购冰箱贴35个商店获利最高． 试卷第2页，共87页 2 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$