专题01 分式与分式的计算8大题型（专项训练）数学鲁教版五四制八年级上册

专题01 分式与分式的计算 题型一、分式的意义探究 1．（24-25八年级上·海南海口·期中）要使分式有意义，则应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时，；分式的值不可能为0．你写的分式是 ． 题型二、分式求值问题 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 8．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 11．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围． 题型三、分式性质的应用 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 16．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 17．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若，则“？”所代表的分子是 ． 题型四、最简分式与分式的约分 18．（24-25八年级上·海南海口·期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·山西运城·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 21．（2025·湖南·中考真题）约分： ； 22．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）先约分，再求值，其中， 24．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 题型五、分式的乘除法运算 25．（24-25八年级下·吉林长春·期中）计算的结果是（   ） A． B．4 C．2 D． 26．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·河南周口·期中）化简的结果为 ． 29．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 30．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 31．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 32．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）试说明分式的值与的取值无关． 33．（24-25八年级下·陕西安康·期中）甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 34．（24-25八年级下·四川眉山·期中）计算： (1) (2)． 题型六、分式的加减法运算 35．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 36．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 37．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列三个分式的最简公分母是 ． 38．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）若，则的值为 ． 39．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 40．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 41．（2024八年级上·全国·专题练习）化简：． 42．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值． 43．（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 44．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 45．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 46．（24-25九年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中 题型七、分式的化简求值 47．（24-25八年级下·河南开封·期中）计算． (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 48．（24-25八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 49．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 50．（24-25八年级下·四川成都·期中）先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 51．（23-24八年级上·广西桂林·期中）先化简，然后从的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值． 题型八、分式加减法的应用 52．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·广东佛山·期中）列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 54．（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 55．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 56．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 57．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如： 第一次 菜价3元/千克 质量 金额 甲 2千克 6元 乙 2千克 6元 第二次 菜价2元/千克 质量 金额 甲 2千克 ______元 乙 ______千克 6元 (1)完成上表； (2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价总金额总质量） (3)数学思考：设甲每次买质量为2千克的菜，乙每次买金额为6元的菜，两次的单价分别是元/千克、元/千克，用含有的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，并比较、的大小． 菜价2元/千克 质量 金额 甲 2千克 2元 乙 3千克 6元 58．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 59．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值． 60．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 61．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 63．（24-25九年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 64．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 65．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 66．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）当时，分式无意义，则一次函数的图象不经过第 象限． 67．（24-25八年级下·重庆·期中）一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为 ；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为 ． 68．（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 69．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 70．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 71．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 72．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 73．（24-25八年级下·北京·期中）对于任意正实数，，，，只有当时，等号成立．结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题． (1)正实数，则的最小值为______； (2)正实数满足，则的最小值为______； (3)如图，已知，，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于、两点，长方形的面积始终为48，求四边形面积的最小值为______，此时点的坐标为______． 74．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 试卷第56页，共56页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式与分式的计算 题型一、分式的意义探究 1．（24-25八年级上·海南海口·期中）要使分式有意义，则应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为零，直接列式求解即可． 【分析】解：依题意，， 解得:． 故选：D． 2．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义，分式的值为零的条件，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项B、D，然后把代入A、C选项计算即可判断． 【详解】解：当时，，则分式，无意义；，，则分式，有意义，故排除选项B、D， 当时，，，故选项C符合题意，选项A不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时，；分式的值不可能为0．你写的分式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，根据分式的性质进行求解即可． 【详解】解：分式值不等于，则分式的分子不等于． 取值范围要，则分式分母满足时，分母． 可得， 故答案为：． 题型二、分式求值问题 6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 8．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． （1）根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零，解答即可； （2）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：∵分式的值是， ∴且， ∴， ∴当时分式的值是零． （2）解：∵分式的值为正数， ∴或 不等式组①无解， 解不等式组②得：， ∴的取值范围是． 11．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，运用转化思想是解决本题的关键． （1）由，将转化为解即可； （2）由，将其转化为或，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴时，， 解得：； （2）解：由得：或， 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得：该不等式组无解集， ∴当时，． 题型三、分式性质的应用 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 13．（24-25八年级下·四川眉山·期中）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式化简的法则依次判断即可求解． 【详解】解：A、，所以正确，符合题意； B、当时，，所以不正确，不符合题意； C、，所以原式不正确，不符合题意； D、，所以原式不正确，不符合题意； 故选：A ． 14．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列分式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 15．（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 16．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 17．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若，则“？”所代表的分子是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、最简分式与分式的约分 18．（24-25八年级上·海南海口·期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的概念，分子分母没有公因式是解题的关键．化简结果中分子分母中没有公因式，这样的分式称为最简分式，根据概念，即可得到答案． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；     C． 是最简分式，故该选项正确，符合题意；     D． ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 19．（24-25八年级下·吉林长春·期中）下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A. ，不是最简分式； B. ，是最简分式； C. ，不是最简分式； D. ，不是最简分式； 故选：B． 20．（24-25八年级下·山西运城·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化成最简分式． 找出分子分母的最大公因式即可． 【详解】解：分式存在最大公因式， ∴应将其分子分母同时约去的公因式为， 故选：C． 21．（2025·湖南·中考真题）约分： ； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·山西晋中·期末）若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 23．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）先约分，再求值，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，再进行约分，最后将数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 24．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型五、分式的乘除法运算 25．（24-25八年级下·吉林长春·期中）计算的结果是（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加法，根据同分母分式的加法运算，然后化简解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 26．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D ． 27．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 28．（24-25八年级下·河南周口·期中）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把第一个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分即可即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 29．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若等于它的倒数，则分式的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式的除法运算及倒数，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分式除法法则化简得出最简结果，根据等于它的倒数得出，代入求值即可得答案． 【详解】解： ， ∵等于它的倒数， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 30．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方及乘法运算，原式先计算乘方，再进行约分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 31．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 32．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）试说明分式的值与的取值无关． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式的除法．根据分式的除法法则计算，即可求解． 【详解】解： ， 所以分式的值与的取值无关． 33．（24-25八年级下·陕西安康·期中）甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 【答案】甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 【分析】本题考查了分式除法的应用，由题意得甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，则，然后根据分式运算法则进行求解即可，读懂题意，列出分式进行计算是解题的关键． 【详解】解：甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为， 故甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 34．（24-25八年级下·四川眉山·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简， ，，，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算分式的乘方，然后再进行分式的乘除法运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六、分式的加减法运算 35．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 36．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 37．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）下列三个分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查分式的求值，将条件式转化为，进而得到，整体代数法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 39．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 40．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则计算即可． （2）根据分式的加减法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 41．（2024八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 42．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 43．（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 44．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式．例如：． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______； (2)当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由； (3)将一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好是这个两位数的整数倍，求这个两位数． 【答案】(1)①真；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）①根据真分式的定义求解即可； ②根据分式的减法写成一个整式与一个真分式的和的形式． （2）根据当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于，即可求解． （3）这个两位数为，是整数，，根据题意得出，为整数， 求得的式子，化为一个整式与一个真分式的和的形式，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①分式是真分式， 故答案为：真； ② 故答案为：． （2）解：∵ ∵当时，随着x的增大，分式的值无限趋近于， ∴当时，随着x的增大，的值无限趋近于 （3）解：设这个两位数为，是整数，，根据题意得， ，为整数， ∴ ∴是正数， ∵， ∴ 当时，，为两位数，不合题意， 当时，，则无解， 当时，，则 ∴时，，符合题意， 当时，，而，无解 综上所述，这个两位数为： 45．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将原式的括号内通分，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 46．（24-25九年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型七、分式的化简求值 47．（24-25八年级下·河南开封·期中）计算． (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了幂的混合运算，分式的化简求值掌握相关运算法则是解题关键， （1）先逐个计算负整数指数幂、零次幂、再计算除法，最后计算加减即可 （2）根据分式的混合运算法则化简，再将x的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 把代入原式． 48．（24-25八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，且x为正整数 ∴当时，原式． 49．（24-25八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简得，再化简，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 则， 把代入， 得． 50．（24-25八年级下·四川成都·期中）先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 51．（23-24八年级上·广西桂林·期中）先化简，然后从的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 且且， 且且， ∵ 在的范围内可以取整数2， 当时，原式． 题型八、分式加减法的应用 52．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 53．（24-25八年级下·广东佛山·期中）列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解； （2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可； （3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果． 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ， 解得， 故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：， 则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 54．（24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送效率更高． 55．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 56．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 57．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如： 第一次 菜价3元/千克 质量 金额 甲 2千克 6元 乙 2千克 6元 第二次 菜价2元/千克 质量 金额 甲 2千克 ______元 乙 ______千克 6元 (1)完成上表； (2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价总金额总质量） (3)数学思考：设甲每次买质量为2千克的菜，乙每次买金额为6元的菜，两次的单价分别是元/千克、元/千克，用含有的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，并比较、的大小． 【答案】(1)表格见解析 (2)甲两次买菜的均价为2.5元/千克，乙两次买菜的均价为2.4元/千克 (3)，， 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，分式加减的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据单价×质量=金额计算即可； （2）根据均价=总金额÷总质量计算即可； （3）根据均价=总金额÷总质量计算即可． 【详解】（1）根据题意，（1）（元），（元/千克）． 填表如下； 菜价2元/千克 质量 金额 甲 2千克 2元 乙 3千克 6元 （2）甲两次买菜的均价为：（元/千克） 乙两次买菜的均价为：（元/千克） 甲两次买菜的均价为2.5元/千克，乙两次买菜的均价为2.4元/千克． （3），， ， ． 58．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 59．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)3 (3)18或12 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的加减运算，解题的关键是运用“分离常数法”对分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式，属于分式的综合运用． （1）根据题意，，，由此即可求解； （2）用分离常数法，分式得，由此即可求解． （3）先计算得到，由、均为非零整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①； ②． 故答案为：①；② （2）解：， ，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大， 当时，分母的值越大，分式的值越小， 当时，， 即当时，分式有最大值，最大值为3． （3）解：，，， ， 、均为非零整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的值为18或12． 60．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 61．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 老师：比较与的大小． 小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法”．解答如下 ∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？如： 若，，，，试比较与的大小． 素材2 甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米的品种、单价均相同，例如： 第一次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 元 乙 千克 元 第二次 大米单价元千克 质量 金额 甲 千克 ▲元 乙 ▲千克 元 素材3 设甲每次买质量为千克的大米，乙每次买金额为元的大米，两人每次买大米  的单价相同，两次的单价分别是元千克、元千克． 素材4 生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同 油量给汽车加油． 任务1 解答素材1中老师提出的第二个问题； 任务2 求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为____元/千克、______元/千克； 任务3 确定方案 根据素材3，若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、    乙两人中哪一种购买方案，并说明理由； 任务4 问题解决 结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同_____加 油更合算(填“金额”或“油量”)． 【答案】任务1：；任务2：、；任务3：选择乙购买方案，理由见解析；任务4：金额 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用作差法，找出两分式的大小是解题的关键． 任务1：二者作差后，可得出，根据得出； 任务2：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，即可求出结论； 任务3：利用两次买大米的均价=两次买大米的金额之和÷两次买大米的质量之和，用含a,b的代数式表示出甲、乙两人两次买大米的均价，作差后，即可求解； 任务4：由任务3的结论，即可得出结论． 【详解】解：任务1： ∵， ∴ ∴ ∴ 任务2：∵第二次甲购买大米的金额为（元），乙购买大米的质量为（千克）， ∴甲两次买大米的均价为（元/千克），乙两次买大米的均价为（元/千克） 故答案为：、． 任务3：选择乙购买方案 理由如下：∵甲均价元 乙均价元 ∴ ∴选择乙购买方案 任务4：根据任务3的结论，得：任务3的素材4中习惯的人按相同金额加油更合算． 故答案为：金额． 62．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 63．（24-25九年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 64．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 65．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式有可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式有可能是． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式的分子可能为， ∴分式有可能是， 故选：． 66．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）当时，分式无意义，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握分式的分母等于0时，分式没有意义，以及一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据分式的分母等于0时，分式没有意义，求出的值，进而判断出一次函数的图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限； 故答案为：三． 67．（24-25八年级下·重庆·期中）一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为 ；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，分式，整式的有关运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 设三位数为，根据定义可得：，则是的倍，从而求出，或，，然后根据题意即可求解；设一个“百数”为，则，，则，则必为偶数，又能被整除，然后分情况分析即可． 【详解】解：设三位数为，根据定义可得：， ∴是的倍， ∴时，，， ∴，或，； ∴对应的“百数”为或， ∴最小的“百数”为； 设一个“百数”为，则，， ∴，则必为偶数， ∴当时，， 若，时，， 则，符合题意，此时为， 若，时，， 则，不符合题意； 当时，， 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 当时，， 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，符合题意，此时为； 当时，， 若，时，， 则，不符合题意； 综上可知：满足条件的值为，， ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：，． 68．（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 69．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． (1)因式分解：________； (2)若，求的值； (3)若，求，之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 70．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 71．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 72．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 73．（24-25八年级下·北京·期中）对于任意正实数，，，，只有当时，等号成立．结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题． (1)正实数，则的最小值为______； (2)正实数满足，则的最小值为______； (3)如图，已知，，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于、两点，长方形的面积始终为48，求四边形面积的最小值为______，此时点的坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)96， 【分析】本题考查了坐标与平面，涉及完全平方公式，利用平方根解方程等知识点，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）根据题干所给方法得到，即可求解； （2）将化为，然后展开，再利用题干所给方法求解即可； （3）设，则，则，那么得到，化简得到，再由题干所给方法求解即可． 【详解】（1）解：∵正实数， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， 故答案为：； （2）解：∵正实数满足， ∴， 当且仅当时，即，时等号成立， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 设，则， ∴， ∴，， ，， 化简得：． ，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 四边形的面积有最小值， ∴此时． 74．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 【答案】(1)A、B (2)2 (3)①；② 【分析】（1）根据“奇妙分式”定义，判断每个选项能否化为整式与真分式和的形式，逐一分析选项． （2）先将变形为整式与真分式的和，再依据值为整数的条件，确定的取值，进而求出正整数． （3）①通过对分子进行变形，将拆分为整式与真分式的和；②先确定①中整式部分、真分式分母，代入式子化简，根据可化简为整式的条件求 ． 【详解】（1）解：A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式． D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式 ），不属于奇妙分式． E选项：（），是整式，不属于奇妙分式． 综上，答案为A、B． （2）解： 分式值为整数，是正整数， 是的因数． 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）； 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，（无实数解，舍去）． 正整数的值为． （3）解：① ②由①知，整式部分，真分式分母． 式子可化简为整式， 能被整除． ∴当时，， 即， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了分式的新定义（真分式、奇妙分式）应用，涉及分式的变形、拆分，以及根据分式值的条件求参数、整式化简等知识，熟练掌握分式的运算、新定义的理解与运用是解题的关键． 试卷第56页，共56页 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$