第4章 3.1 对数函数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§3　对数函数 3．1　对数函数的概念 课程标准 素养解读 1.了解对数函数的概念 2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数 3．会求对数函数的定义域 1.通过对对数函数的理解培养数学直观素养 2．通过求对数函数的定义域提升数学运算素养 [情境引入] 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 提示：由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数解析式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)． [知识梳理] [知识点一]　对数函数的概念　 1．一般地，函数y＝　logax(a>0，且a≠1)　叫做对数函数，其中　x　是自变量，函数的定义域是　(0，＋∞)　. 2．对数函数概念的注意点 ①形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数． ②定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)． ③底数：对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1. 1.对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)? 提示：ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0. 2．对数函数的解析式有何特征？ 提示：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数． [知识点二]　常用对数函数与自然对数函数　 1．以10为底的对数函数为　常用对数函数　，记为y＝lg x. 2．以无理数e为底的对数函数为　自然对数函数　，记为y＝ln x，其中e≈2.718. [知识点三]　反函数　 指数函数　y＝ax　(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝　logax(a＞0，且a≠1)　互为反函数． 3.指数函数y＝ax的定义域和值域与对数函数y＝logax的定义域和值域有什么关系？ 提示：对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，对数函数y＝logax的值域是指数函数y＝ax的定义域． [预习自测] 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝logx2　　　　　 B．y＝log3x C．y＝2log3x D．y＝log3x＋1 答案：B 2．设函数f(x)＝log2(3－x)，则函数f(x)的定义域是(　　) A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x＜3} D．{x|x＞2} 解析：C　[因为f(x)＝log2(3－x)，所以根据对数真数大于零可知3－x＞0，x＜3，故函数的定义域为{x|x＜3}．] 3．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝　________　. 解析：由对数函数的定义可知， 解得a＝5. 答案：5 　　　对数函数的概念 [例1] 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga(a＞0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [思路点拨]　利用对数函数的定义判断． [解]　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数． (2)中对数式后加2，∴不是对数函数． (3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数． (4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数． (5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. [变式训练] 1．指出下列函数中哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解：只有(5)为对数函数． (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． 　　　对数函数式与求值 [例2] (1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝　________　. (2)已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f()＝　________　. [思路点拨]　根据对数函数的形式方程求解． [解析]　(1)由对数函数的定义，可得解得m＝2或m＝1(舍去)． (2)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 则loga＝－2， [答案]　(1)2　(2) 求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值：设出对数函数解析式，代入已知点求解． (2)求解析式：利用已知条件如函数经过的点或单调性求解． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：A　[因为f(x)＝ f(a)＝－3， 所以或 解得a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2(－1－1)－2＝－.] 　 求函数的反函数 [例3] 求下列函数的反函数： (4)y＝log2 x. [思路点拨]　当a＞0且a≠1时，y＝ax的反函数为y＝logax，y＝logax的反函数为y＝ax. [解]　(1)由y＝10x，得x＝lg y，所以其反函数为y＝lg x. (4)由y＝log2x，得x＝2y，所以其反函数为y＝2x. 反函数的求法 (1)由y＝ax(或y＝logax)，解得x＝logay(或x＝ay)． (2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)． [变式训练] 3．(1)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(　　) A．9 B. C. D．log32 解析：A　[由已知y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，∴g(x)＝3x，则g(2)＝32＝9.] (2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　) 解：B　[由已知y＝f(x)＝logax， 　　　对数函数在实际问题中的应用 [例4]　单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：v＝v0·ln.其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量．v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10 km/s.则火箭发动机的喷气速度约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4) A．15 km/s B．25 km/s C．35 km/s D．45 km/s [思路点拨]　根据题意，代入所给对数式计算，即可得到结果． [解析]　由题意可得，10＝v0ln， 其中m1＝2m2，则10＝v0ln＝v0(ln 3－ln 2)＝0.4v0 ， 解得v0＝25(km/s)． [答案]　B 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指、对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． [变式训练] 4．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：D　[设至少需要过n次，则n＝. 所以nlg ≤－lg 20. 即n≥≈≈10.42. 又n∈N，所以n≥11.] 1．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 解析：C　[A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}．] 2．(多选)下列给出的函数，其中是对数函数的是(　　) A．y＝logax2(a>0且a≠1) C．y＝logx(x>0且x≠1) 解析：BD　[根据对数函数的定义可知B、D为对数函数．] 3．若函数y＝f(x)是函数y＝5x的反函数，则f(f(5))＝　________　. 解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数， 所以f(x)＝log5x，所以f(f(5))＝f(log55)＝f(1)＝log51＝0. 答案：0 4．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域为　________　. 解析：要使函数有意义，必须满足x2－1>0，即x>1或x<－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)的值． 解：因为f(x)是对数函数，故 解得m＝2，所以f(x)＝log3x，f(27)＝log327＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$