专题01 对数的概念（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题01 对数的概念 教学目标 1.理解对数的定义，明确对数与指数的相互关系，能进行指数式与对数式的互化。 2.学会指数式与对数式的互化、求值等对数的性质的应用。 教学重难点 重点： (1)对数的定义（含底数、真数范围）； (2)对数与指数的互化。 难点： (1) 理解对数是指数运算的逆运算； (2)正确运用互化关系解决问题，避免混淆底数、真数限制。 知识点01 对数的概念（重点） 1.对数的定义 如果ax＝N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.几种特殊的对数 (1)常用对数：以10为底，记作lg_N； (2)自然对数：以e为底，记作ln_N． 3.指数与对数的互化 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔logaN＝x． 用图表示为： 【知识剖析】 为什么规定底数a>0,且 a≠1? (1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要． (2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充． (3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要． 【即学即练】 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，. 故选：A. 2.在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【解析】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选:D. 知识点02 对数的性质（难点） (1)零和负数没有对数； (2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)； (3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1). (4)对数恒等式:＝ N ＝ x . (a>0，且a≠1，N>0). 【即学即练】 1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据真数大于零解得或，再将1转化为，即可解得，都使得方程有意义，即可知正确选项. 【解析】由题意，，解得或， 由，得，则，解得，所以方程的解集为. 故选：D. 2.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，那么=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数的定义，先求出，进而求出x. 【解析】因为，所以，则x=2. 故选：B. 题型一　对数概念的理解 【典例1-1】（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【解析】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④， 故选：C. 【典例1-2】（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【解析】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 对数式成立的条件 在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1． 【变式1-1】（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解析】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为　　 A． 且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】根据对数成立的条件，建立不等式即可得到结论． 【解析】要使对数有意义，则，解得， 故选：B． 题型二　指数式与对数式的互化（重点） 【典例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式: （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 【解析】（1）因为，则. （2）因为，则. （3）因为，则. （4）因为，则. （5）因为，则. （6）因为，则. （7）解：因为，则. （8）因为，则. 指数式、对数式互化的技巧 指数式ab＝N与对数式logaN＝b的互化规则是“底数不变，左右交换”，即：①两式均以a为底；②b，N两个字母在等号左右互换其位置．幂值相等的指数式问题，求解时一般设相等的指数式为同一个常数，然后取对数求解. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式. （1） ； （2）； （3）． 【分析】直接利用指数和对数的关系实现对指互化. 【解析】（1）由可得； （2）由得； （3）由可得． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【分析】利用指数和对数互化求解. 【解析】（1）解：因为，, 所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． （4）因为，所以． 题型三　利用对数性质求值 【典例3】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 利用对数性质求值的两注意 利用对数性质求值时，一是要注意底数与真数之间的关系，以免用错性质；二是要注意结合对数的定义. 【变式3-1】（24-25高一上·贵阳·期末）求下列各式的值: (1)lo2;　 (2)log7. 【解析】(1)设lo2=x,则=2,即2-4x=2, ∴-4x=1,x=-,即lo2=-. (2)设log7=x,则7x=. ∴x=,即log7. 【变式3-2】（24-25高一上·福建·期中）①； ②； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（    ） A． ①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项. 【解析】解：对于①，，故①正确； 对于②，，故②正确； 对于③，若，则，故③不正确； 对于④，若，则，故④不正确． 故选：C. 题型四　利用指数、对数式互化求值 【典例4】（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以，所以，因为且，所以； （3）因为，所以，所以； （4）因为，所以，即，所以，所以 利用指数、对数式互化求值 利用指数、对数式互化求值时，要注意方程思想的应用，即通过解方程及指对互化的策略，求得相应未知量的值. 【变式4-1】（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值： (1) x＝； (2)x＝log9； (3)logx8＝－3； (4)logx＝4. 【解析】(1)由x＝，得＝4， 所以＝22，－＝2，x＝－4. (2)由x＝log9，可得9x＝，即32x＝所以2x＝，x＝. (3)由已知得x－3＝8，即＝23，＝2，x＝. (4)由已知得x＝＝. 【变式4-2】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）求x的值： ＝ 【答案】x＝ 【分析】先化简为，再通过对指互化即得解. 【解析】由题得. 题型五　指数、对数性质的综合应用 【典例5】（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式： (1)log2(log93); (2) ++2log31-3log77+2ln 1； (3) [解析](1)设log93=x,则 9x=3,即32x=3,∴x=. 设log2=y,则2y==2-1, ∴y=-1.∴log2(log93)=-1. (2)+2log31-3lg 10+3ln 1=3+0-3+0=0. (3) ＝＝＝2. 指数、对数性质的综合应用策略 对于指数、对数性质的综合应用问题，要注意利用指数幂的性质（含运算性质），将所求代数式分割成多个对数式的运算，而对于每一个对数式，则可以考虑对数的性质求得其值. 【变式5-1】（24-25高一上·乌鲁木齐·阶段练习）计算下列各式： (1)lg 1-ln e2+; (2) 【解析】(1) 原式=0-2+2×=-2+2×3=4. (2) ＝＝. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算性质求出，再代入计算即可. 【解析】由条件知，所以，即， 所以． 故选：C. 题型六　利用对数解指数型方程 【典例6】（24-25高一上·天津·期末）已知2×9x－28＝，则x＝(　　) A．log37－log32　　 B．log　　 C．log34　　 D．log37 【答案】C 【解析】选C.2×9x－28＝， 所以2×(3x)2－28－3x＝0，即(3x－4)(2·3x＋7)＝0，解得3x＝4，则x＝log34.故选C. 解与指数有关的方程的策略 利用对数解与指数有关的方程的策略有二：一是将方程转化为某个具体数的x次方为一具体数的形式，再转化为对数式求得x的值；二是将方程左右两边都化为同底的指数式或对数式，再利用指数相等或真数相等列方程求解. 【变式6-1】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程=的解是　　　　.   【答案】. 【解析】 ∵==3-3,∴log2x=-3,∴x=2-3=. 【变式6-2】（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程的解为 . 【答案】2 【分析】将对数式转为指数式即可求出解. 【解析】由题意得lg(2x－3)＝0，得2x－3＝1，解得x＝2. 练基础 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的定义判断． 【解析】化为对数式为， 故选：B． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【解析】因为，所以，. 故选：A. 3．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据指、对数运算求解即可. 【解析】由题意可得：原式. 故选：C. 4．（多选）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【解析】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 5．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（多选题）下列说法等式正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 6．（24-25高一上·江苏南通·课后作业）（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可. 【解析】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 7．（24-25高一上·山东淄博·随堂练习）通常我们将 的对数叫做常用对数，并把记为. 【答案】以10为底 8．（24-25高一上·江苏无锡·课堂作业）在对数式中，实数的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】由对数式可知：,解之得：且 9．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）计算： . 【答案】3 【解析】. 10．（24-25高一上·广州湛江·随堂练习）计算： ． 【答案】4 【分析】根据对数的定义和指数幂运算求解. 【解析】由题意可知：. 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【解析】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 练提升 12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【解析】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 13．（24-25高一上·江苏南通·期末）= . 【答案】2 【解析】 14．（24-25高一上·江苏南京·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 练创新 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则 ; 【答案】 【解析】因为函数， 所以， 故答案为:. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 对数的概念 教学目标 1.理解对数的定义，明确对数与指数的相互关系，能进行指数式与对数式的互化。 2.学会指数式与对数式的互化、求值等对数的性质的应用。 教学重难点 重点： (1)对数的定义（含底数、真数范围）； (2)对数与指数的互化。 难点： (1) 理解对数是指数运算的逆运算； (2)正确运用互化关系解决问题，避免混淆底数、真数限制。 知识点01 对数的概念（重点） 1.对数的定义 如果ax＝N，那么数x叫做 ，记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.几种特殊的对数 (1)常用对数：以10为底，记作 ； (2)自然对数：以e为底，记作 ． 3.指数与对数的互化 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔ ． 用图表示为： 【知识剖析】 为什么规定底数a>0,且 a≠1? (1)当a＝0时，ax恒等于0，没有研究的必要． (2)当a<0时，对于某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充． (3)当a＝1时，则无论x取何值，ax恒等于1，没有研究的必要． 【即学即练】 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点02 对数的性质（难点） (1)零和负数 ； (2)1的对数为 ，即loga1＝ (a>0且a≠1)； (3)底数的对数为 ，即logaa＝ (a>0且a≠1). (4)对数恒等式:＝ ，＝ . (a>0，且a≠1，N>0). 【即学即练】 1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，那么=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型一　对数概念的理解 【典例1-1】（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对数式成立的条件 在对数式中，必须注意：真数大于0，底数大于0且不等于1． 【变式1-1】（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为　　 A． 且 B． C．且 D． 题型二　指数式与对数式的互化（重点） 【典例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式: （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 指数式、对数式互化的技巧 指数式ab＝N与对数式logaN＝b的互化规则是“底数不变，左右交换”，即：①两式均以a为底；②b，N两个字母在等号左右互换其位置．幂值相等的指数式问题，求解时一般设相等的指数式为同一个常数，然后取对数求解. 【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式. （1） ； （2）； （3）． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型三　利用对数性质求值 【典例3】（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 利用对数性质求值的两注意 利用对数性质求值时，一是要注意底数与真数之间的关系，以免用错性质；二是要注意结合对数的定义. 【变式3-1】（24-25高一上·贵阳·期末）求下列各式的值: (1)lo2;　 (2)log7. 【变式3-2】（24-25高一上·福建·期中）①； ②； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（    ） A． ①③ B．②④ C．①② D．③④ 题型四　利用指数、对数式互化求值 【典例4】（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 利用指数、对数式互化求值 利用指数、对数式互化求值时，要注意方程思想的应用，即通过解方程及指对互化的策略，求得相应未知量的值. 【变式4-1】（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值： (1) x＝； (2)x＝log9； (3)logx8＝－3； (4)logx＝4. 【变式4-2】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）求x的值： ＝ 题型五　指数、对数性质的综合应用 【典例5】（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式： (1)log2(log93); (2) ++2log31-3log77+2ln 1； (3) 指数、对数性质的综合应用策略 对于指数、对数性质的综合应用问题，要注意利用指数幂的性质（含运算性质），将所求代数式分割成多个对数式的运算，而对于每一个对数式，则可以考虑对数的性质求得其值. 【变式5-1】（24-25高一上·乌鲁木齐·阶段练习）计算下列各式： (1)lg 1-ln e2+; (2) 【变式5-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型六　利用对数解指数型方程 【典例6】（24-25高一上·天津·期末）已知2×9x－28＝，则x＝(　　) A．log37－log32　　 B．log　　 C．log34　　 D．log37 解与指数有关的方程的策略 利用对数解与指数有关的方程的策略有二：一是将方程转化为某个具体数的x次方为一具体数的形式，再转化为对数式求得x的值；二是将方程左右两边都化为同底的指数式或对数式，再利用指数相等或真数相等列方程求解. 【变式6-1】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程=的解是　　　　.   【变式6-2】（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程的解为 . 练基础 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 4．（多选）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（多选题）下列说法等式正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一上·江苏南通·课后作业）（多选）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东淄博·随堂练习）通常我们将 的对数叫做常用对数，并把记为. 8．（24-25高一上·江苏无锡·课堂作业）在对数式中，实数的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）计算： . 10．（24-25高一上·广州湛江·随堂练习）计算： ． 11．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 练提升 12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（24-25高一上·江苏南通·期末）= . 14．（24-25高一上·江苏南京·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 练创新 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则 ; 17．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$