专题10 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题10 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 有理数的混合运算的实际应用 题型七 有理数的新定义问题 题型八 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是（    ） A．-406 B．-405 C．-2020 D．-2021 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·开学考试）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）写出点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；当时，则t的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，将等边放在数轴上，点与数轴上表示的点重合，点与数轴上表示2的点重合，将数轴上点右侧的数轴沿进行折叠.经过折叠后， (1)点与数轴上的数_______重合，点与数轴上的数_______重合； (2)若点为的中点，点表示，记为数轴拉直后点到点的距离，即，其中、代表线段长度．若动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，当动点运动到点时，、同时停止运动．已知动点在上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒；动点的运动速度为1单位/秒，设运动时间为（秒）． ①当为何值时，动点、表示同一个数； ②当为何值时，． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为创建国家级卫生城，某天“创城办”人员乘车沿东西公路巡回指导，早晨从A地出发，傍晚到达B地结束，若规定向西为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，问B地在A地的何方，相距多少千米？如果汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升？ 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 13．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)______． (2)表示数轴上有理数m所对应的点到和106所对应的两点距离相等，那么______． (3)类似地，表示数轴上有理数m所对应的点到和2所对应的两点距离之和，如，那么______． 14．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 16．（24-25七年级上·安徽池州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示， (1)用“”、“”或者“”填空： 0， 0， 0； (2)化简． 18．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）（1）已知是最大的负整数，是倒数等于它本身的数，的相反数和绝对值都是它本身．请你求：的值． （2）有理数在数轴上的位置如图所示，且．试化简代数式：． 19．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，其中，点A向左平移3个单位长度后得到点B，其中点O为原点；    (1)请直接写出：______，______． (2)已知点P在线段之间运动（不与点O、点A重合），其对应的数为x；点Q在线段之间运动（不与点O、点C重合），其对应的数为y； ①若点P与的距离为1，则______． ②请化简式子：（请写出化简过程） (3)动点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点F从B出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动若点F运动到点C停止，点E继续向右移动，当t为何值时，点F到点E和点O的距离相等？ 20．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【经典例题四 有理数的简便运算】 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 22．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 23．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）简便运算 (1) (2) (3) (4) 24．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 25．（24-25七年级上·安徽池州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)用乘法公式简便计算：． 26．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （ii）用简便方法计算：． 27．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 28．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【经典例题五 有理数的规律计算问题】 29．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 30．（24-25七年级上·安徽池州·期末）观察算式，，，，，，照此规律，计算 ． 31．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 32．（24-25七年级上·安徽六安·期中）观察下列各式： … … … … 探索以上式子的规律： (1)写出第6个等式； (2)试写出第n个等式（用含n的式子表示），并说明第n个等式成立； (3)简便运算： 33．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）寻找规律：连续的奇数相加，它们的和的情况如下表： (1)请猜想 ； (2)请用上述规律计算 (3)请用上述规律计算： 34．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式：_____； (2)根据以上规律填空：； (3)应用： ①若表示两个连续的正奇数，则的值可能为（   ） A．2022    B．2023    C．2024    D．2025 ②小聪发现：，利用这种方法可得出“当，是两个任意正奇数时，的值都是8的倍数”．请问的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由． 35．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列图形与等式的关系： 第1个图→ 第2个图→ 第3个图→ 第4个图→ … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第5个图中白色小正方形有多少个？ (2)第个图中白色小正方形有多少个？ (3)运用上述规律计算：． 【经典例题六 有理数的混合运算的实际应用】 36．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）在日常生活中，我们经常遇到需要合理安排工作和时间的问题．某地铁站甲、乙、丙、丁四台自动售票机出现故障停用需要维修，一名工人维修好甲、乙、丙、丁四台售票机所需的时间分别为18、21、14、27分钟．如果每台售票机停用1分钟造成经济损失12元，修复好后即可正常使用，为了使经济损失最少，这名修理工的维修顺序应该是（    ） A．丁→丙→甲→乙 B．丙→丁→甲→乙 C．丁→乙→甲→丙 D．丙→甲→乙→丁 37．（2025·安徽阜阳·模拟预测）某校七年级上有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 38．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）应用题 (1)为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ (2)典典打算每天跳绳600下，一天，前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 40．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 41．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）西苑社区公园要铺设一条人行通道，通道长120米，宽1.6米．现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（下图是铺设的局部图示） (1)铺设这条人行通道一共需要多少块地砖？（不计损耗） (2)铺设这条人行通道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗） 42．（24-25七年级上·安徽六安·期中）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【经典例题七 有理数的新定义问题】 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“”；当时，；当时， ，例如；，若有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为（      ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）若定义一种新运算：，则 ． 45．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． 46．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 47．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 48．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）学习情境·新定义观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且求的值； (3)若是“共生有理数对”，则是“共生有理数对”吗？请说明理由． 49．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【经典例题八 新考向—材料阅读型问题】 50．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 51．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 52．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 53．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【新考向】在数学活动课上，李老师设计了一个游戏，四张卡片上分别写有一种运算，四张卡片的顺序可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，学生分成甲、乙两队，老师说一个数字，甲、乙两队分别任意排列四张卡片的顺序，然后按卡片的运算顺序进行运算，最终哪个队的运算结果大，哪个队获胜． 下面是四张卡片： 若老师说的数字是，甲队按照的顺序计算，乙队按照的顺序计算，请你判断哪个队获胜? 54．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 55．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如下图所示为王阿姨手机中记账软件显示的一周（2024．9．16至2024．9．22）收支信息，阅读信息并解决问题．（手机软件中用“”表示收入，用“”表示支出） (1)王阿姨本周买了一件衣服但因为尺寸不合适又马上退款了，这件衣服的价格可能是 元． (2)2024年9月17日为我国传统佳节——中秋节，当天王阿姨收到了一些红包，也发出了一些红包．王阿姨当天收发红包是赚了还是亏了？具体多少金额？ (3)本周支出一共有五项，只要手机向下滑动就能看到最后一项的具体金额．那么聪明的你能否通过目前显示的信息也得出最后一项的具体金额呢？ 56．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 有理数的混合运算的实际应用 题型七 有理数的新定义问题 题型八 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是（    ） A．-406 B．-405 C．-2020 D．-2021 【答案】B 【分析】根据每向左运动3秒就向右运动2秒，也就是每经过3+2秒就向左移动1个单位，解答即可． 【详解】解: ∵每向左运动3秒就向右运动2秒，即每经过3+2秒就向左移动1个单位， ∴2021÷5=404……1，即经过404个5秒后，又经过1秒的左移， ∴404+1=405个单位， ∴动点运动到第2021秒时所对应的数是-405， 故选B． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是根据题目给出的条件，找出规律． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·开学考试）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点． （1）写出点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；当时，则t的值为 ． 【答案】 4 或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点的距离、一元一次方程的几何应用，运用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接利用数轴求解即可； （2）先用t表示出点P、Q，再根据数轴上两点距离公式列方程，然后解方程即可． 【详解】解：（1）由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4， 故答案为：4； （2）由题意，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：1或． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点A表示的数点B表示的数线段的长，即可求出点A表示的数； （2）根据，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设点D表示的数为y，则点表示的数是，根据，可列出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B表示的数是1，点A在点B的左侧，且， ∴点A表示的数是； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：x的值为6； （3）解：设点D表示的数为y，则点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：点D表示的数为或． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 5．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)不变，值为，理由见解析． 【分析】本题考查了数轴，绝对值非负性，整式的加减，有理数的分类，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，，又是最小的正整数，则，从而求解； （）根据折叠的性质进行解答即可得； （）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示，，，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕与数轴的交点所表示的数为，点与数对应的点重合， 故答案为：，； （3）解：不变，值为， 由题意可得秒钟后点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点所表示的数． （1）由，得，，解，得，即表示的数为； （2）设运动时间为秒，根据点，之间的距离恰好等于，得，即可解得答案； （3）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ，分三种情况列方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，即表示的数为， 故答案为：；；； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 点，之间的距离恰好等于， ， 即或， 解得或， 经过秒或秒时，点，之间的距离恰好等于； （3）根据题意，点的运动速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ， 若为的中点，则， 解得 若为的中点，则， 解得(舍去) 若为的中点，则， 解得(此时点的速度为，不符合题意，舍去)； 综上所述，的值为 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，将等边放在数轴上，点与数轴上表示的点重合，点与数轴上表示2的点重合，将数轴上点右侧的数轴沿进行折叠.经过折叠后， (1)点与数轴上的数_______重合，点与数轴上的数_______重合； (2)若点为的中点，点表示，记为数轴拉直后点到点的距离，即，其中、代表线段长度．若动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，当动点运动到点时，、同时停止运动．已知动点在上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒；动点的运动速度为1单位/秒，设运动时间为（秒）． ①当为何值时，动点、表示同一个数； ②当为何值时，． 【答案】(1)10，18 (2)①当时，动点、表示同一个数；②当，，，时， 【分析】（1）根据两点之间的距离得到，根据等边三角形的性质得到，由此即可求解； （2）①根据数轴上两点之间距离的计算，行程的数量关系列式求解即可；②数学结合，分类讨论，分别表示出的值，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点与数轴上表示的点重合，点与数轴上表示2的点重合， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点与数轴上的数为，点与数轴上的数为， 故答案为：，； （2）解：①点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，沿方向运动，运动速度为1单位/秒， ∴的时间为， ∴点表示的数为， 由（1）得点表示的数为，点为的中点， ∴点表示的数为， ∵动点从点出发，沿方向运动，动点在上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒， ∴的时间为，的时间为， ∵动点运动到点时，、同时停止运动， ∴点表示相同数时，点在点之间， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴当动点、表示同一个数时，， 解得，， ∴当时，动点、表示同一个数； ②当时，，， ∵， ∴， 解得，； 当时，，， ∵， ∴， 解得，； 当时，，，， ∵， ∴， 解得，或； 综上所述，当，，，时，． 【点睛】本题主要考查数轴于折叠的特点，数轴上两点之间距离的计算，行程问题，一元一次方程的运用等知识的综合，掌握数轴的特点，行程中数量关系，两点之间距离的计算方法，一元一次方程解行程问题的方法是解题的关键． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）规定：，如，下列结论中正确的是 （   ） A．若则的值为8或2 B．若则 C．若取得最小值时，则的取值范围为 D．若则 【答案】B 【分析】本题考查绝对值方程，代数式求值；根据绝对值的性质计算可得x的值，可对A选项进行判断；根据绝对值的性质去绝对值计算可对B选项进行判断；根据绝对值的几何意义可对C选项进行判断；利用绝对值的非负数性质可求出x，y的值，可对D选项进行判断；综上即可得答案． 【详解】解：A、若，则， ∴或，故本选项错误； B、， 当时，，故本选项正确； C、， ∵当时，由最小值， ∴取得最小值时，y的取值范围是，故本选项错误； D、若，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故本选项错误． 故选：B 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可； （2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）， 由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和， ∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：； 故答案为：1． 10．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）为创建国家级卫生城，某天“创城办”人员乘车沿东西公路巡回指导，早晨从A地出发，傍晚到达B地结束，若规定向西为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，问B地在A地的何方，相距多少千米？如果汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升？ 【答案】B地在A地的东方，相距7千米 ；升 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得相应的位置，根据行车就耗油，可得耗油量．有理数的加法是解题关键，注意求耗油量时，要算绝对值． 【详解】解：（千米）， 答：地在地的东方，相距7千米； （升）， 答：该天共耗油升． 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 【答案】(1)5 (2)或3 (3) 【分析】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，直接计算即可； （2）根据绝对值的意义，得到数轴上数和之间的距离为4，进而得到数即可； （3）根据绝对值的意义，得到当在和2之间时，，进而确定整数的值，求和即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解：表示数轴上数和之间的距离为4， ∴或； 故答案为：或3． （3）解：表示数轴上数到2和之间的距离之和等于7， ∵2和之间的距离为7， ∴当在和2之间时，， ∵为整数， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 13．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)______． (2)表示数轴上有理数m所对应的点到和106所对应的两点距离相等，那么______． (3)类似地，表示数轴上有理数m所对应的点到和2所对应的两点距离之和，如，那么______． 【答案】(1)7； (2)； (3)或3 【分析】本题考查数轴，有理数，绝对值，解答本题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）画出数轴，结合数轴根据绝对值的几何意义即可解答． 【详解】（1）解：∵数轴上表示5的点与表示的点的距离是7个单位长度， ∴， 故答案为：7； （2）解：根据题意得：有理数m所对应的点到和106所对应的两点距离相等，则该点为和106连成线段的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵理解为在数轴上，某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为9， 如图，点A表示，点B表示2，点C表示，点D表示3， 由数轴可知，，， 即点C到点A与点B的距离之和为9，点D到点A与点B的距离之和为9， ∴满足的m为或3． 14．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 15．（2025·安徽合肥·模拟预测）对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴对、5、9进行“非负差值运算”的结果是24，故①正确； ②当时，、、6的“非负差值运算”结果为，故②错误； ③∵x、y、z的“非负差值运算”结果为， ∴时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 同理，时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； ∴x、y、z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③错误； ∴正确的有1个． 故选：B． 16．（24-25七年级上·安徽池州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，正负数，绝对值，判断出，，是解题的关键． 根据数轴得到，，进一步判断出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，， ， 故答案为： 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示， (1)用“”、“”或者“”填空： 0， 0， 0； (2)化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据有理数在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为： ，，； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴． 18．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）（1）已知是最大的负整数，是倒数等于它本身的数，的相反数和绝对值都是它本身．请你求：的值． （2）有理数在数轴上的位置如图所示，且．试化简代数式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的定义，根据数轴判定式子正负． （1）根据题意得到，，，代入计算即可； （2）由数轴可知，可得，，，，代入化简即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是倒数等于它本身的数，的相反数和绝对值都是它本身， ∴，， ∴ ∴； （2）解：由数轴可知， ∴，，，， ∴ 19．（24-25七年级上·安徽池州·期末）已知数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c，其中，点A向左平移3个单位长度后得到点B，其中点O为原点；    (1)请直接写出：______，______． (2)已知点P在线段之间运动（不与点O、点A重合），其对应的数为x；点Q在线段之间运动（不与点O、点C重合），其对应的数为y； ①若点P与的距离为1，则______． ②请化简式子：（请写出化简过程） (3)动点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，动点F从B出发，以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动若点F运动到点C停止，点E继续向右移动，当t为何值时，点F到点E和点O的距离相等？ 【答案】(1)，； (2)①或；②，过程见解析； (3)秒或秒或秒 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，确定、的值，再根据平移方式确定的值； （2）①由题意可知，根据数轴上两点之间的距离公式列方程，列方程，求出的值即可；②由题意可知，，，，，从而判断式子正负，再去绝对值符号计算即可； （3）由题意可知，点E表示的数为，点F表示的数为，分三种情况讨论：当点F和点E在原点左侧，且点F在点E和点O之间时；当点E和点O重合时；当点F和点E在原点右侧，且点F停止运动，点E继续向右移动时，根据数轴上两点之间的距离公式分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A向左平移3个单位长度后得到点B， ， 故答案为：，； （2）解：①点P在线段之间运动（不与点O、点A重合），其对应的数为x， ， 点P与的距离为1， ， 或， 或， 故答案为：或； ②由题意可知，，，，， ，，，， ∵, 原式； （3）解：由题意可知，点E表示的数为，点F表示的数为， 当点F和点E在原点左侧，且点F在点E和点O之间时， 则， 解得：， 当点E和点O重合时， 则， 解得：； 当点F和点E在原点右侧，且点F停止运动，点E继续向右移动时， 则， 解得：， 综上可知，当t为秒或秒或秒时，点F到点E和点O的距离相等 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离公式列方程，一元一次方程的应用，整式的加减等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 20．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 【经典例题四 有理数的简便运算】 21．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解； 【详解】甲：原式 乙：原式 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律是解题的关键 22．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，由新定义得，进行裂项运算，即可求解；理解新定义，会用裂项法进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案为：． 23．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）简便运算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数的四则运算． （1）根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可； （3）将变形为，再运用乘法分配律逆运算进行计算即可； （4）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数计算，加法交换律和结合律，分配律，将分数拆项计算是解题的关键． （1）先提取公因数，再对各分数拆项后相加即可； （2）对分母提取公因数4，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（24-25七年级上·安徽池州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)用乘法公式简便计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，负整数指数幂公式，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据负整数指数幂公式，有理数的混合运算求解即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （3）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （4）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （5）乘法公式简便计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解：． 26．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （ii）用简便方法计算：． 【答案】（i）平方差公式；（ii） 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （i）根据公式变形可知其满足平方差公式； （ii）将变形成符合平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：（i）由可知其符合平方差公式， 故答案为：平方差公式； （ii） ． 27．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 28．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 【经典例题五 有理数的规律计算问题】 29．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ 故选∶C． 30．（24-25七年级上·安徽池州·期末）观察算式，，，，，，照此规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律，由已知等式可得，据此解答即可求解，由已知等式找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 【答案】(1) (2)210 【分析】本题考查找规律，有理数的混合运算，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键． （1）观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子； （2）直接用算式的规律计算出算式的结果即可． 【详解】（1）解： ， 所以用含有字母n的式子表示规律：， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·安徽六安·期中）观察下列各式： … … … … 探索以上式子的规律： (1)写出第6个等式； (2)试写出第n个等式（用含n的式子表示），并说明第n个等式成立； (3)简便运算： 【答案】(1) (2)，说明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及列代数式，能根据所给等式发现是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）结合上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，因为， ， ， …， 所以第n个等式可表示为： 当时， 第6个等式为： （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为： 理由如下： 左边右边， 所以此等式成立． （3）解：原式 33．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）寻找规律：连续的奇数相加，它们的和的情况如下表： (1)请猜想 ； (2)请用上述规律计算 (3)请用上述规律计算： 【答案】(1) (2)900 (3)4550 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意找到计算规律是解题的关键． （1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，最后一个数为，即可得出结果； （2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，最后一个数为，即可得出结果； （3）把变形为，然后利用（1）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴依此类推：第个所代表的算式为：， 当，即时，， 故答案为：． （2）解：由（1）得：第个所代表的算式为：， ∴当，即时，． （3）解：∵ ， 由（1）得：第个所代表的算式为：， ∴当，即时，， ∴原式． 34．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式：_____； (2)根据以上规律填空：； (3)应用： ①若表示两个连续的正奇数，则的值可能为（   ） A．2022    B．2023    C．2024    D．2025 ②小聪发现：，利用这种方法可得出“当，是两个任意正奇数时，的值都是8的倍数”．请问的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①C；②99倍，理由见详解 【分析】本题主要考查了数字规律探索、有理数混合运算等知识，结合题意确定等式变化规律是解题关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，即可获得答案； （3）①结合（2）可知，若表示两个连续的正奇数，则的值为8的倍数，然后逐项分析判断即可；②根据题意，可知，整理即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题目中的规律，可写出第⑤个等式为． 故答案为：； （2）根据以上规律，可得． 故答案为：； （3）①结合（2）可知，若表示两个连续的正奇数，则的值为8的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为2024． 故答案为：C； ②根据题意，可知 ， 所以，的值是8的99倍． 35．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列图形与等式的关系： 第1个图→ 第2个图→ 第3个图→ 第4个图→ … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第5个图中白色小正方形有多少个？ (2)第个图中白色小正方形有多少个？ (3)运用上述规律计算：． 【答案】(1)11 (2) (3)2025 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点，能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键． （1）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出规律，即可得解； （2）根据题图找出的规律计算即可得解； 【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为； （2）解：由题图知， 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是； …， 所以图n空白部分小正方形的个数是：； （3）解：由（2）问规律可计算得， ． 【经典例题六 有理数的混合运算的实际应用】 36．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）在日常生活中，我们经常遇到需要合理安排工作和时间的问题．某地铁站甲、乙、丙、丁四台自动售票机出现故障停用需要维修，一名工人维修好甲、乙、丙、丁四台售票机所需的时间分别为18、21、14、27分钟．如果每台售票机停用1分钟造成经济损失12元，修复好后即可正常使用，为了使经济损失最少，这名修理工的维修顺序应该是（    ） A．丁→丙→甲→乙 B．丙→丁→甲→乙 C．丁→乙→甲→丙 D．丙→甲→乙→丁 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，主要结合有理数的混合运算，理解经济损失与修复时间长短有关是解题的关键．要使经济损失最少，需总停用时间最短．总停用时间为各机器维修完成时间的总和，维修顺序应按照维修时间由短到长排列，以最小化后续机器的等待时间． 【详解】解：四台机器的维修时间分别为：丙14分钟、甲18分钟、乙21分钟、丁27分钟．按时间从小到大排序为丙→甲→乙→丁．此时总停用时间为： 丙：14分钟 甲：（分钟） 乙：（分钟） 丁：（分钟） 总停用时间（分钟），经济损失为元． 其他顺序的总停用时间均大于179分钟， 因此最优顺序为丙→甲→乙→丁． 故选：D． 37．（2025·安徽阜阳·模拟预测）某校七年级上有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解． 【详解】解：依题意得(元)； 设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 则，即， 整理得 ∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低， ∵a，b，c都是正整数， ∴， ∴， 此时最低费用为（元） 故答案为：，． 38．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）应用题 (1)为迎接亚冬会，某工程队修一条道路，原计划每天修120米，8天可以修完；实际每天多修40米，可以提前几天修完？ (2)典典打算每天跳绳600下，一天，前2分钟跳了240下，照这样计算，还要跳多少分钟才能完成任务？ 【答案】(1)可以提前2天修完 (2)还要跳3分钟才能完成任务 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系式来解答． （1）根据工作总量工作效率工作时间，来进行解答； （2）根据跳绳的总数每分钟跳的数量所要的时间，来进行解答． 【详解】（1）解： （天， （天， 答：可以提前2天修完． （2）解： （分钟）， 答：还要跳3分钟才能完成任务． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 40．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)该商店本周一共销售了1450条 (2)该商场本周共盈利667元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）用7天的标准销量加上7天销量的出入数量即可； （2）用盈利的金额减去亏损的金额即可． 【详解】（1）解：由题意可知 （条） 答：该商店本周一共销售了1450条． （2）解：由题意可知 ＝667（元） 答：该商场本周共盈利667元． 41．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）西苑社区公园要铺设一条人行通道，通道长120米，宽1.6米．现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（下图是铺设的局部图示） (1)铺设这条人行通道一共需要多少块地砖？（不计损耗） (2)铺设这条人行通道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗） 【答案】(1)1200块 (2)300块 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）用道路总面积除以每块地砖的面积即可得到地砖的块数； （2）先找到图中铺设规律：根据红色地砖的铺设规律可得每4列为一个周期，每一个周期里有4块红色地砖，进而列式计算即可． 【详解】（1）解： （块）， 答：一共需要1200块地砖； （2）解：（米）， ， （块）， 答：一共需要300块红色地砖． 42．（24-25七年级上·安徽六安·期中）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【答案】(1)38.5元 (2)最高价格39.5元，最低价格31元 (3)877.4元 【分析】此题考查正数和负数的实际意义，有理数的加减法的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）用原价加上表格中前三个数据，求和即可； （2）分别求出每天的价格即可得到答案； （3）分别求出卖出的价格与买入的价格，两者相减即可得到答案． 【详解】（1）解：（元） 答：星期三收盘时，每股是38.5元； （2）周一价格：（元） 周二价格：（元） 周三价格：（元） 周四价格：（元） 周五价格：（元）； 答：最高价格：39.5元，最低价格31元； （3）卖出价格为：（元） 买入价格为：（元） ∴收益（元） 答：收益877.5元． 【经典例题七 有理数的新定义问题】 43．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）设、都表示有理数，规定一种新运算“”；当时，；当时， ，例如；，若有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据数轴，得出，再根据运算顺序：先算括号里面的，再算括号外面的，结合新运算的运算法则，计算即可． 【详解】解：根据数轴，可得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴的值为． 故选：A 【点睛】本题考查了有理数的新运算、数轴，解本题的关键在理解新运算的运算法则． 44．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）若定义一种新运算：，则 ． 【答案】198 【分析】根据新定义运算的意义，把算式转化成有理数混合运算，正确计算即可． 【详解】解：根据题意，， ， 故答案为：198． 【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是理解新定义运算，能够把新定义运算转化成有理数混合运算． 45．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）定义一种新运算：对于任意有理数，都有，例如：． (1)直接写出的值； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算计算即可求解； （2）先根据新定义运算法则计算出的值，再根据新定义运算计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 所以，原式 46．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是，是的相反数，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查相反数，绝对值的非负性，有理数的混合运算． 根据新定义，把，的值代入，进行计算，即可得到结果； 根据题意，先得到x的值为或，再得到的值为，代入进行计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：点，点在数轴上表示的数分别为，，且，两点的距离是， 点表示的数为或， 或， 是的相反数， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，或． 47．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 48．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）学习情境·新定义观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且求的值； (3)若是“共生有理数对”，则是“共生有理数对”吗？请说明理由． 【答案】(1)不是，是，见解析 (2) (3)不是，见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“共生有理数对”的定义即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“共生有理数对”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不是“共生有理数对”，是“共生有理数对”， 理由：因为， 所以不是“共生有理数对”；因为， 所以是“共生有理数对”； （2）解：因为是“共生有理数对”，且， 所以， 则， 所以； （3）解：不是“共生有理数对”， 理由：因为， 又是“共生有理数对”， 所以， 所以， 而不一定等于， 所以不是“共生有理数对”． 49．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，读懂新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据把全部转化为分数加减法，把互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： （3）∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，， ∴ ． 【经典例题八 新考向—材料阅读型问题】 50．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）阅读：如，表示与差的绝对值，也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为，那么下列说法中： ①的最小值为，且当式子取得最小时，的值为或； ②的最小值为（为大于的奇数）； ③当，的取值范围是； ④的最大值为，且当式子取得最大时，的取值范围是． 其中正确的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，读懂题意，理解绝对值的几何意义，是解答本题的关键． 表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，由此得到答案；同理，当时，取最小值，然后化简求出结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于，利用数轴可以得到结果；表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ①表示：数轴上表示的点，到表示的点和表示的点距离之和，当在与之间时，这个距离之和最小，最小值为，此时的取值范围为，故①不正确； ②当时，取最小值，（为大于的奇数）， 即 ， 故②正确； ③表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之和大于， 根据图像法，可得或， 故③不正确； ④表示的意义：数轴上表示的点，到表示和点的距离之差，当在左边取得最大值为，即， 故④正确， 综上正确的是②④， 故选：． 51．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 ；如果，那么为 ； （2）若点表示的数为，则当为 时，与的值相等； （3）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离；弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或， 故答案为：，或； （2），表示点到和的距离相等，即点为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等， 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得：， 的值为， 故答案为：． 52．（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，仿照例题计算原式的倒数，即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 53．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【新考向】在数学活动课上，李老师设计了一个游戏，四张卡片上分别写有一种运算，四张卡片的顺序可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，学生分成甲、乙两队，老师说一个数字，甲、乙两队分别任意排列四张卡片的顺序，然后按卡片的运算顺序进行运算，最终哪个队的运算结果大，哪个队获胜． 下面是四张卡片： 若老师说的数字是，甲队按照的顺序计算，乙队按照的顺序计算，请你判断哪个队获胜? 【答案】乙队获胜 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意列式并求解，再比较大小，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，甲队运算为， 乙队运算为， ∵， ∴乙队获胜． 54．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）阅读与应用 计算时，若把与分别各看成一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用； （1）根据例题的方法设为，为，进而根据分配律进行计算即可求解； （2）根据发现的规律将所求式子变形，同（1）的方法，利用分配律进行运算，即可求解． 【详解】（1）设为，为， 原式 ； （2）设为，为， 原式 . 55．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如下图所示为王阿姨手机中记账软件显示的一周（2024．9．16至2024．9．22）收支信息，阅读信息并解决问题．（手机软件中用“”表示收入，用“”表示支出） (1)王阿姨本周买了一件衣服但因为尺寸不合适又马上退款了，这件衣服的价格可能是 元． (2)2024年9月17日为我国传统佳节——中秋节，当天王阿姨收到了一些红包，也发出了一些红包．王阿姨当天收发红包是赚了还是亏了？具体多少金额？ (3)本周支出一共有五项，只要手机向下滑动就能看到最后一项的具体金额．那么聪明的你能否通过目前显示的信息也得出最后一项的具体金额呢？ 【答案】(1)68.00 (2)王阿姨中秋节当天亏了162.40元 (3)元 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，有理数混合运算的应用，理解正负数的实际应用是解题的关键． （1）根据收支信息即可解答； （2）将王阿姨收红包的收入减去发红包的支出，若为负数，则亏了，若为正数，则赚了，据此即可解答； （3）将本周收支变化量减去收入再减去前四项支出，即可解答． 【详解】（1）解：由信息可得，退款收入元， 所以这件衣服的价格可能是元． 故答案为： （2）解：本周王阿姨收红包收入：（元）， 发红包支出：（元） （元） 答：王阿姨当天收发红包是亏了元． （3）解： （元）， 所以最后一项支出为38.60元，即元． 56．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$