专题02 与数轴有关的十七大压轴题型（举一反三专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以17类压轴题型为框架，构建"方法技巧+典例变式"的系统化训练体系，聚焦数轴核心概念与动态问题，培养数形结合与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|4题型（距离/中点/和差倍分/平移）|右减左法则、中点公式、分类讨论|从静态计算到动态平移，构建数轴基本运算体系| |运动问题|4题型（单点运动/相遇追及/和差倍分）|行程方程模型、绝对值表示距离|结合速度时间参数，实现从算术到代数的思维过渡| |综合应用|9题型（定值/参数/动线段/折叠等）|方程思想、参数分离法、新定义转化|整合分类讨论与动态分析，培养数学抽象与模型意识|

专题02 与数轴有关的十七大压轴题型（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 求数轴上的两点距离】 1 【题型2 借助数轴求两点中点】 4 【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】 8 【题型4 数轴上点的平移】 11 【题型5 数轴上点的运动】 14 【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】 20 【题型7 数轴上点的和差问题】 25 【题型8 数轴上点的倍分问题】 31 【题型9 数轴上距离定值问题】 37 【题型10 数轴上和差定值问题】 42 【题型11 数轴上比为定值问题】 48 【题型12 数轴上定值求参问题】 53 【题型13 数轴上动线段问题】 59 【题型14 数轴上挡板与往返问题】 68 【题型15 数轴上的折叠问题】 75 【题型16 数轴与有理数的多结论问题】 84 【题型17 数轴上的新定义问题】 88 方法技巧1：数轴上的两点距离 两点距离 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【题型1 求数轴上的两点距离】 【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 【答案】 3 或17 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴特点进行计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当原点在点B的左边时；当原点在点B的右边时；结合数轴上两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：（1）因为点为原点，且点到点的距离为3，点在点的右侧， 所以点表示的数为3； 故答案为：3； （2）由题意知，①当原点在点左侧时，点表示的数为4， 则点表示的数为1，点表示的数为12， 所以； ②当原点在点右侧时，点表示的数为， 则点表示的数为，点表示的数为4， 所以． 综上，的值为或17； 故答案为：或17． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）数轴上，点A到原点（表示数0的点）的距离为4，点B到原点的距离为6，那么A与B的距离为___． 【答案】10或2 【分析】本题考查数轴两点间的距离，根据两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，点表示的数为4或，点表示的数为或， ∴A与B的距离为或； 故答案为：10或2． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川南充·月考）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为____________________． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 【变式1-3】（25-26七年级上·河南安阳·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点、、，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点、、所对应的数的和是．若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的性质、有理数的加减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键； 根据题意分情况讨论：①当原点在点右侧时，分析计算可得，点、、所对应的数分别为，，，即可求得；②当原点在点左侧时，分析计算可得，点、、所对应的数分别为1，4，12，即可求得． 【详解】解：根据题意分情况讨论： 如图，当原点在点右侧时， ∵点到原点的距离为4， ∴点对应的数是， ∵点到点的距离为3，到点的距离为8， ∴点对应的数是,点对应的数是， ∴； 如图，当原点在点左侧时， ∵点到原点的距离为4， ∴点对应的数是， ∵点到点的距离为3，到点的距离为8， ∴点对应的数是,点对应的数是， ∴； 综上可知，或， 故答案为：或． 两点中点 中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫作这条线段的中点； 中点公式：若A：a，B：b，则AB的中点 【题型2 借助数轴求两点中点】 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点A、B表示的数分别为、5，点C为数轴上一动点，若A、B、C三点满足“中点关系”，则点C表示的数为_______． 【答案】2或或11 【分析】本题主要考查了表示数轴上的点，解题的关键是理解中点关系，注意分情况讨论． 先设点表示的数是，再以点，点，点分别为中点，求出答案即可． 【详解】解：设点表示的数是， 当点是点和点的中点时，，解得； 当点是点和点的中点时，，解得； 当点是点和点的中点时，． 所以点表示的数是2或或11． 故答案为：2或或11． 【变式2-1】如图，数轴上、两点表示的数分别为，，将长为的线段摆放在数轴上，使得点与中点重合，则点表示的数________．    【答案】1或 【分析】此题考查了数轴的应用，求得的中点表示的数，分两种情况，当在的左边或在的右边时，求出点P表示的数，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，的中点表示的数为， 即点P表示的数为， 当在的左边时，此时点Q表示的数为， 当在的右边时，此时点Q表示的数为， 故答案为：或 【变式2-2】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）已知如图，数轴上点A，B分别与刻度尺上2，18对齐，点A在数轴上表示的数为．第一次取的中点，第二次取的中点，第三次取的中点，按此规律依次取得中点，则点在数轴上表示的数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，有理数的加法和乘法，数轴上两点间的距离，正确理解题意是解题的关键．先求出点B在数轴上表示的数为，分别计算每一次对应的点表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B分别与刻度尺上2，18对齐， ∴, ∵点A在数轴上表示的数为， ∴点B在数轴上表示的数为：， 第一次取的中点，则， ∴点在数轴上表示的数为， 第二次取的中点，则， ∴点在数轴上表示的数为， 第三次取的中点，则， ∴点在数轴上表示的数为， 第四次取的中点，则， ∴点在数轴上表示的数为， 第五次取的中点，则， ∴点在数轴上表示的数为， 第六次取的中点，则， ∴点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点．如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)若数轴上点表示的数分别是，直接写出此时线段的长是_____________． (2)若四点从左到右依次在数轴上，，请结合数轴，求点表示的数． (3)若点均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点的计算，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据题意，由中点的计算可得点表示的数为，点表示的数为，由两点之间距离的计算即可求解； （2）如图所示，点表示的数为，设表示的数为，则，所以，，由此即可求解； （3）设表示的数为，则，点表示的数为，点表示的数为，所以即，根据绝对值的性质分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点表示的数为，设表示的数为， ∴， ∴，， 解得，， ∴点表示的数为； （3）解：设表示的数为， ∴， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，即， 当时，则（不符合题意，舍去）； 当时，则； ∴， ∴点在数轴上所表示的数为． 距离和差倍分 点P在A，B之间 点P在B右侧 点P的位置不确定 ；； ；； ；； 【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】 【例3】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）已知数轴上点在原点左边，到原点的距离为个单位长度，点在原点的右边，从点走到点，要经过个单位长度． (1)，两点分别表示的数为_______． (2)若点也是数轴上的点，点表示的数是正数，点到点的距离是点到原点的距离的倍，则点表示的数为_______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程的应用， （1）根据题意列出算式，即可得出结论； （2）根据题意并结合数轴上两点间距离列出方程，求解即可； 掌握分类讨论的思想以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知：点表示的数为， ∵从点走到点，要经过个单位长度 ∴表示的数为， 即，两点分别表示的数为，， 故答案为：，； （2）设表示的数为， 依题意，得：， ∴或， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴点表示的数为． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽六安·期中）1．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，5，点C是数轴上一动点．在点C移动的过程中： （1）若点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是______； （2）若点C到点A距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是______． 【答案】 2 3或11 【分析】本题考查了数轴和两点间的距离，理解题意是解决本题的关键． （1）根据点C到A，B两点的距离相等进行求解即可； （2）设点C表示的数为，则，，再根据点C到点A距离是它到点B距离的2倍，进行分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵点C到A，B两点的距离相等， ∴点C表示的数是， 故答案为：2； （2）设点C表示的数为，则，， 根据题意，分情况讨论： 当时， 解得（符合范围）； 当时， 解得（符合范围）； 当时， ， 解得（与矛盾，舍去）， 综上所述，点C表示的数是3或11， 故答案为：3或11． 【变式3-2】如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（　　） A．点E B．点B C．点M D．点N 【答案】D 【详解】试题分析：根据A为-5，D为6，求得AD的长，然后根据2AB=BC=3CD，求得AB、BC，CD的长，从而找到E，M，N所表示的数，再判断哪个是原点． 解：∵2AB=BC=3CD， ∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x， ∵A、D两点表示的数分别为-5和6， ∴AD=11， ∴x+3x+1.5x=11，解得x=2， 故CD=2，BC=6，AB=3， ∵AC的中点为E，BD的中点为M， ∴AE=EC=4.5，BM=MD=4， 则E点对应的数是-0.5，M点对应的数为2， ∵BC之间距点B的距离为BC的为点N， ∴BN=BC=2，∴AN=5， ∴N点对应的数为0，即为原点. 故选D． 【变式3-3】在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示，设点，，所对应数的和是． (1)若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？ (2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求． 【答案】(1)点所对应的数为，点所对应的数为，； (2) 【分析】（1）根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，B表示，进而得到的值； （2）根据原点在图中数轴上点的右边，且，可得表示，表示，表示，据此可得的值． 【详解】（1）解：若以为原点， ∴点表示的数为， ∵，， ∴表示，表示， ∴； 若以为原点， ∴点表示的数为， ∵，， ∴表示，表示， ∴； ∴点所对应的数为，点所对应的数为，；． （2）∵原点在图中数轴上点的右边，且，，， ∴点表示的数为， ∴表示，表示，表示， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题考查两点间的距离以及数轴的运用，有理数的加减运算，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．掌握两点间的距离是解题的关键． 点的平移 点A表示的数为a，将点A向左平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为a－n 点A表示的数为a，将点A向右平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为a＋n 【题型4 数轴上点的平移】 【例4】（2026·山东济宁·一模）一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据数轴上点向负方向移动时数减小，向正方向移动时数增大，从原点出发逐步计算即可得到结果． 【详解】∵数轴上原点表示的数为0， 先向负半轴移动2025个单位长度，得到的数为， 再向正方向移动2026个单位长度，得到点P表示的数为， ∴ 点P表示的数是1． 【变式4-1】如图，点A、B、C为数轴上的点，请回答下列问题： （1）将点A向右平移3个单位长度后，点A，B，C表示的数中，哪个数最小？ （2）将点C向左平移6个单位长度后，点A表示的数比点C表示的数小多少？ （3）将点B经过怎样的平移后，点B与点C的距离是2？ 【答案】（1）点B表示的数；（2）1；（3）点B向右平移3个或7个单位长度 【分析】（1）把点A向右平移3个单位长度即为原点，比较即可； （2）将C向左平移6个单位长度，表示的数为-2，运算即可得出结果； （3）点B向右平移3个或7个单位长度后，表示的数为2或6，点B与点C的距离是2． 【详解】（1）如图所示， 则点B表示的数最小；      （2）如图所示： ﹣2﹣（﹣3）＝1． 故点A表示的数比点C表示的数小1；                        （3）如图所示： 点B向右平移3个或7个单位长度后，点B与点C的距离是2． 【点睛】本题考查了数轴以及数轴上两点之间的距离公式，根据题意画出相应的数轴是解本题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末） 已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一个玩具火车放置在数轴上；将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合，当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，点所表示的数为_____． 【答案】4或10 【分析】本题考查数轴，用绝对值表示数轴上两点间的距离是本题的关键． 根据题意可知，的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度，设点所表示的数为，则点表示的数为，分别将和的长度用含的代数式的绝对值表示出来，根据和的数量关系列绝对值方程并求解即可． 【详解】由题意可知，． 设点所表示的数为，则点表示的数为， 已知 当时，，解得（不符合题意，舍去）； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，点所表示的数为4或10． 故答案为：4或10． 【变式4-3】（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图2． (1)第_____次按键后，点正好到达原点； (2)第6次按键后，点到达的点表示的数与点到达的点表示的数的乘积是多少？ (3)第次按键后，点与点到原点的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了数轴，列代数式，解一元一次方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列式，即可求解． （2）根据题意可得第次按键后，点表示的数为，点表示的数为，令两数相乘即可． （3）由题意得可得点表示的数是，点表示的数是，令两数和为零求解即可． 【详解】（1）解：∵点为，点从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度， ∴， ∴第次按键后，点正好到达原点， 故答案为：． （2）解：根据题意可得：第次按键后，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴第6次按键后，点到达的点表示的数与点到达的点表示的数的乘积为； （3）解：由题意得，点表示的数是，点表示的数是， ∵点与点到原点的距离相等， ∴由题意知，两数互为相反数， ∴， 解得：． 点的运动 运动时间为t，运动速度为v，点A表示的数为a 向左运动B：a－vt 向右运动B：a＋vt 两动点之间的距离表示 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【题型5 数轴上点的运动】 【例5】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）已知数轴上有A，B两点，分别代表，两只电子蚂蚁甲，乙分别从、两点同时出发，甲沿线段以2个单位长度／秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以1个单位长度／秒的速度向左运动． （1）A，B两点间的距离为__________个单位长度； （2）__________秒时，甲、乙相距6个单位长度． 【答案】 15 3或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）设秒时，甲，乙相距6个单位长度，分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上有两点，分别代表， ， 故答案为：15； （2）设m秒时甲、乙相距6个单位长度，甲的最长运动时间为． 分两种情况： ①相遇前，由题意，得， 解得：； ②相遇后，由题意，得， 解得：， 故3秒或7秒时，甲、乙相距6个单位长度． 故答案为：3或7 【变式5-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 由题意得，即， 解得或， 故选：C． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）数轴的再思考： (1)在数轴上点A表示数，点B表示数8．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则折痕所表示的数为________，原点与数________表示的点重合． (2)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的2倍，运动到时，两点相距12个单位长度． ①求P、Q两点的运动速度，并在数轴上标出P、Q两点的位置； ②若P、Q两动点从①中的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限，问：几秒后，P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】(1)2，4 (2)①点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度，见解析；②秒或秒或4秒或8秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离、解一元一次方程等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题关键． （1）根据折叠的性质得出折痕所表示的数到A、B两点的距离相等，求出A、B表示的数的平均数可得折痕表示的数，即可求出原点与折痕的距离，进而完成解答； （2）①设点P的速度为x，则点Q的速度为，利用距离、速度、时间的关系列方程求出x的值即可得P、Q两点的速度，进而得出P、Q表示的数，在数轴上表示即可；②分P、Q两点相向运动和同向运动两种情况，分别表示出P、Q表示的数，根据P、Q两点相距4个单位长度列方程求出t值即可． 【详解】（1）解：（1）∵点A表示数，点B表示数8．将数轴折叠，使得点A与点B重合， ∴折痕所表示的数到A、B两点的距离相等， ∴折痕所表示的数为， ∴原点到折痕所表示的数的距离为， ∴与原点重合的点表示的数为． 故答案为：2，4． （2）解：①设点的速度为， ∴点的速度为 由题意可得：，解得， ， 点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒4个单位长度， 时，点表示的数为，点表示的数为8， ∴点，点在数轴上的位置如图所示； ②当两点相向运动时，设运动时间为， 点表示的数为，点表示的数为， 两点相距4个单位长度， ，即， 当时，； 当时，． 两点的距离为，点的速度是点速度的2倍， 两点同向运动时，点应向左运动， 点表示的数为，点表示的数为， 两点相距4个单位长度， ，即， 当时，； 当时，． 综上所述，秒或秒或4秒或8秒后两点相距4个单位长度． 【变式5-3】（25-26七年级上·广东广州·期中）有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度，且a、b、c满足． (1)则 ， ， ． (2)在数轴上A、B两点之间的距离，B、C两点之间的距离，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和、动点P从点A出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ②当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ③当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度． 【答案】(1)，， (2)的值不随时间t的变化而变化，且 (3)①19；②8；③5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）先根据题意求出点A表示的数，即a的值，再根据非负数的性质可求出b、c的值； （2）分别表示出点A，点B，点C运动t秒后表示的数，再根据两点之间的距离计算公式表示出，再计算即可得到结论； （3）①求出点P到达点O和到达点B的时间，则可求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可；②同理求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可；③同理求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度， ∴点A表示的数为，即； ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不随时间t的变化而变化，且； （3）解：①由（1）可知，， ∴点P运动到点O的时间为秒，点P运动到点B的时间为秒， ∴当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度； ②由（3）①可知，当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度； ③由（3）①可知，当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度． 行程问题 运动时间为t，运动速度为v，A：a，B：b 相遇A、B重合数相同 相遇A、B重合数相同 【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】 【例6】（25-26七年级上·吉林白山·期中）如图，已知在数轴上有、两点，分别代表、20．两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时出发，甲沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，当甲到达点处时运动停止，乙沿数轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为（秒）． (1)在运动过程中甲表示的数为________，乙表示的数为_______（用含的代数式表示）； (2)求甲、乙相遇时在数轴上表示的数； (3)当甲、乙相距10个单位长度时，求的值； (4)若乙到达点后立刻返回并保持原速度不变，则在乙返回点的过程中，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，直接写出相遇点表示的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)甲、乙在数轴上表示的数的位置相遇 (3)10或14 (4)甲、乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用等知识，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据甲、乙运动的速度，表示出甲、乙表示的数即可； （2）根据甲，乙相遇时，甲、乙表示的数相同列出方程，解方程即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行列方程求解即可； （4）根据乙到达A点需要15秒，求出甲位于，求出乙追上甲需要秒，求出此时相遇点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵甲沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，乙沿数轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动， ∴在运动过程中甲表示的数为，乙表示的数为； （2）解：当甲、乙相遇时，， 解得：， ， 答：甲、乙在数轴上表示的数的位置相遇； （3）解：设甲，乙经过x秒后相距10个单位， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：． 答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度； （4）解：乙到达A点需要15秒，甲位于， 乙追上甲需要（秒）， 此时相遇点的数是， 答：甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【变式6-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）已知数轴上有三个点，点从原点出发向右匀速运动，已知点的速度是每秒4个单位，点的速度是每秒6个单位；点出发2秒后，点才出发；此时点从处向右出发，且在点之间不间断的来回匀速运动，点的速度是每秒8个单位． (1)点出发2秒时，它所对应的数是 ； (2)点追上点用了多长时间？ (3)点出发追上点后返回，第一次遇到点，共用了多长时间？ 【答案】(1)8 (2)点追上点用了4秒 (3)点出发追上点后返回，第一次遇到点，共用了秒 【分析】题目主要考查数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）设点追上点用了秒，依题意列出一元一次方程求解即可； （3）设点追上点用了秒，依题意得出方程确定，设点第一次返回，遇到点用了秒，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点从原点出发向右匀速运动，已知点的速度是每秒4个单位， ∴点出发2秒时，它所对应的数是， 故答案为：8； （2）设点追上点用了秒，依题意，得 解得 答：点追上点用了4秒． （3）设点追上点用了秒， 依题意，得 解得 设点第一次返回，遇到点用了秒，依题意，得 或 解得 （秒） 答：点出发追上点后返回，第一次遇到点，共用了秒． 【变式6-2】（24-25七年级上·湖南永州·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． (1)问题提出：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)15 (2)①；②当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． （1）由A表示的数为，点B表示的数为13，即得； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：，即可解得，相遇点所表示的数为； （3）由已知返回途中，P表示的数是，Q表示的数是，即得： ，可解得，第二次相遇点所表示的数为：． 【详解】（1）解：∵A表示的数为，点B表示的数为13， ∴； （2）①t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为； ②根据题意得：， 解得， 相遇点所表示的数为；                               答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是，Q表示的数是， 根据题意得：， 解得， 第二次相遇点所表示的数为：， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【变式6-3】（24-25七年级上·重庆大足·期末）如图，数轴上有两点，，点O是线段上的一点，． (1)若点C是线段上一点，且满足，求的长； (2)若动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为，点Q的速度为．设运动时间为． ①当为何值时，； ②当点Q经过点O时，动点M从点O出发，以的速度也向右运动．当点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，当点再次追上点时，点停止运动．请直接写出运动时间的值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的几何应用，熟练运用分类讨论思想以及正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点A表示的数是8，点B表示的数是，因为C是线段上一点，且满足，故，解出； （2）①先分别表示，结合点A表示的数是8，点B表示的数是，则点表示的数为，点Q表示的数为，因为，所以，解得 ②先算出当点Q经过点O时，动点M从点O出发时，则，此时点表示的数为，因为当点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，所以分别算出每个过程的时间，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解：∵，点O是线段上的一点，． ∴，， ∴点A表示的数是8，点B表示的数是， ∵点C是线段上一点，且满足， ∴， 即， 解得， （2）解：∵动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为，点Q的速度为．设运动时间为． ∴， 由（1）得点A表示的数是8，点B表示的数是， ∴点表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 当， 解得， 或当， 解得（舍去） 综上：时，则． ②由（1）得点A表示的数是8，点B表示的数是， 当点Q经过点O时，动点M从点O出发时，则， 此时点表示的数为， ∵动点M从点O出发，以的速度也向右运动．当点M追上点P时， ∴设这个过程需要时间为， 则， 解得； 此时点表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q时， 设这个过程需要时间为， 则， 解得， 此时点Q表示的数为，点表示的数为， ∵遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，当点再次追上点时，点停止运动． 设这个过程需要时间为， 则， 解得， 故． 【题型7 数轴上点的和差问题】 【例7】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意分别表示出点所表示的数，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意，分类讨论，当在点的左边时，，当在点的右边时，，分别解方程即可求解； （3）分别表示出、的长，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数是，点对应的数是，点与相向运动， 依题意，秒后，点表示的数是，点表示是的数是， 当，相遇时，， 解得：； （2）解：依题意，点与同时向左运动，则点表示的数是，点表示是的数是， 当在点的左边时，， 解得：； 当在点的右边时，， 解得：； 综上所述，当或时，与Q相距个单位长度； （3）点表示的数为，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， 解得或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解数轴上两点间的距离的表示方法并用含t的式子表示，根据题意列出方程是解题关键，解题时要注意多种情况分类讨论． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为14，点O为原点，动点M、N分别从点O、点B同时出发，都沿数轴向左运动，点M运动的速度是每秒1个单位长度，点N运动的速度是每秒3个单位长度，当点N运动到点A时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)在点M、N整个运动过程中，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______；（用含t的代数式表示） (2)若点M位于点A右侧，且，求运动时间t的值； (3)在点M、N整个运动过程中，当时，求运动时间t的值． 【答案】(1)； (2)5 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离． （1）根据运动方向和运动速度可表示出M与N表示的数； （2）分别用含t的代数式表示出和，再列方程即可； （3）分点在点右侧和左侧两种情况，再表示出和代入，列方程可得答案． 【详解】（1）解：点M从原点O出发向左运动，速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，因为向左运动，所以点M表示的数为； 点N从点B（表示的数为14）出发向左运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒，则点N运动的距离为，所以点表示的数为； 故答案为：；； （2）解：∵点A表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， 又点M位于点A右侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：①当点在点右侧时，则有：，， ∵， ∴， 解得：； 当点在点左侧时，则有：，， ∵， ∴， 解得：； 综上，的值为或． 【变式7-2】已知，两点在数轴上，点表示的数为，点在点的右侧，且距点20个单位． (1)点表示的数为__________； (2)点，是数轴上的两个动点，点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当原点为线段的中点时，求运动时间的值； ②当线段的长为5时，求点表示的数； ③在运动过程中，当时，请直接写出运动时间的值． 【答案】(1)8 (2)①；②17或23；③或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①根据即可求解； ②分两种情况讨论：当点P在点B在左侧时，当点P在点B在右侧时，即可求解； ③分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）∵点表示的数为，点在点的右侧，且距点20个单位， ∴点表示的数为． 故答案为：8； （2）秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ①当原点为线段的中点时，则， 解得； ②当线段的长为5时， 或， 解得或． 当时，； 当时，． ∴点表示的数17或23； ③秒， 当时，． 当时， ∵，即， ∴， ∴（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 【变式7-3】（25-26七年级上·陕西·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点为原点，动点，分别从点，点同时出发，都沿数轴向左运动，点运动的速度是每秒个单位长度，点运动的速度是每秒个单位长度，当点运动到点时，点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)在点、整个运动过程中，点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的代数式表示） (2)若点位于点右侧，且，求运动时间的值； (3)在点、整个运动过程中，当时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，包括数轴上两点间距离(线段的长)、绝对值的化简以及一元一次方程的求解． （1）直接根据“初始位置-速度×时间”即可写出表达式； （2）先根据“点在右侧”确定的范围，再用绝对值表示，，代入等式得到， 解方程即可得到，并验证其在范围内； （3）先确定运动总时长，再根据点与点的相对位置分两段讨论，最后验证两个解均在对应区间内，从而得到最终结果． 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒， ∴点表示的数为． ∵动点从点出发，沿数轴向左运动，速度为每秒3个单位长度，运动时间为秒， ∴点表示的数为． 故答案为：；． （2）解：∵点位于点右侧，点表示的数为， ∴，即． ∵，，且， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得． ∵，符合条件， ∴运动时间； （3）解：先确定运动总时长，点从到的距离为，速度为3，故． 分两种情况讨论： ①当时，，， 代入得， 化简得， 解得，符合； ②当时，，， 代入得， 化简得， 解得，符合． 综上，运动时间的值为或． 【题型8 数轴上点的倍分问题】 【例8】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，且与的和是单项式． (1)求出a，b的值； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间，求运动时间t？ 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查合并同类项，一元一次方程的实际应用，数轴与有理数： （1）易得与是同类项，进行求解即可； （2）①根据相遇时，两只电子蚂蚁的路程之和为的距离，列出方程进行求解；②根据两点间的距离公式，列出绝对值方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，与是同类项， ∴， ∴，； （2）解：①由（1）可知：； 设运动时间为t秒，由题意，， 解得； 点C对应的数是：； ②当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由题意，， 解得或． 【变式8-2】（25-26七年级上·四川凉山·月考）如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 【答案】(1)，10 (2)点P表示的数为1或4 (3)①；②的值为或 【分析】本题主要结合数轴考查动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴的知识和行程问题的解法是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． （2）设点表示的数为，根据，得出点在，两点之间，则，．当时，列出方程，当时，列出方程，求解即可． （3）①点表示的数是，点表示的数为，即可得出． ②当在的左侧时，列出方程，当在的右侧时，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，10． （2）解：设点表示的数为， 因，则点在，两点之间， 所以，． 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，点表示的数为1或4． （3）解：①点表示的数是，点表示的数为， ． ②∵点B，Q之间的距离是点P，Q之间距离的2倍， ∴当在的左侧时，，解得：； 当在的右侧时，，解得：． 即此时运动时间的值为或． 【变式8-3】（25-26七年级上·吉林·期末）如图，在数轴上，点表示最大的负整数，，点在正半轴上，且． (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)若点在线段上，且满足，求点表示的有理数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是秒（）． ①当时，求的长； ②是否存在这样的值，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的点与有理数的对应关系、线段长度的计算、绝对值方程的求解，熟练掌握数轴上点的位置表示及线段长度的计算方法是解题的关键． （1）先确定最大负整数的点表示的数，再结合的长度求点，利用的长度求点． （2）先算的长度，根据比例分，再求点表示的数． （3）①分别求出时、的位置，再算的长；②表示出、、的位置，列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：∵最大的负整数是， ∴点表示的数是． ∵，点在右侧， ∴点表示的数是． ∵，点在正半轴， ∴点表示的数是． 故答案为：，，； （2）解：∵点表示，点表示， ∴． ∵， ∴． ∴点表示的数是． （3）解：①当时， ∵点从出发，速度为单位/秒， ∴点表示的数是． ∵点从出发，速度为单位/秒， ∴点表示的数是． ∴． ②运动秒时，点表示的数：， 点表示的数：， 点表示的数：． ∴， ． 由，得： ， 分情况讨论： 当时， ， 解得． 当时， ， 解得． 综上，存在或，使得． 动点定值 一、动点距离为定值 二、动点距离差为定值 ， ， 【题型9 数轴上距离定值问题】 【例9】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足|a＋2|＋(b－8)2＝0，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0） (1) ① 线段AB的中点表示的数为___________ ② 用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________ (2) 求当t为何值时，PQ＝AB (3) 若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长. 【答案】（1）①3；②-2+3t；（2）当t=1或3时，PQ=AB；（3）点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化，线段MN的长为5个单位长度． 【分析】（1）①根据非负数的性质可求a、b，再根据中点坐标公式即可求解； ②根据题意，可以用含t的代数式表示出点P； （2）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论； （3）根据题意可以表示出点M表示的数为=，点N表示的数为 =，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵|a＋2|＋(b－8)2＝0， ∴a+2=0，b-8=0， 解得a=-2、b=8， 线段AB的中点表示的数为（-2+8）÷2=3； ②t秒后，点P表示的数为-2+3t； （2）∵t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t， ∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|， 又∵PQ=AB=×[8-（-2）]= ×10=5， ∴|5t-10|=5， 解得：t=1或3， ∴当t=1或3时，PQ=AB； （3）点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化， 理由如下：∵点M表示的数为：=， 点N表示的数为： =， ∴MN= =5， ∴点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化，线段MN的长为5个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和数轴、两点间的距离、绝对值，解题的关键是明确题意，利用方程和数形结合的思想解答． 【变式9-1】（24-25七年级上·福建三明·期中）定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)不会发生变化，线段的长度为5． 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，中点的表示方法． （1）根据数轴上中点的表示方法求解即可； （2）根据数轴上中点的表示方法求解即可； （3）设点P表示的数为m，得到点M表示的数为，点N表示的数为，然后得到即可求解． 【详解】（1）解：当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 填表如下： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 5 … （2）解：根据题意得，在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是． 证明：设点在点的右侧， ∴，， ∴在a和b的中间． （3）解：设点P表示的数为m ∵在数轴上点、表示的数分别是6、，为的中点，为的中点 ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长度为5． 【变式9-2】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为9，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)①线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①3，②， (2)2或6 (3)不发生变化， 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离、中点以及动点， 利用中点公式和两点之间距离即可求得答案； 根据两点之间距离求得和线段长，列出关系式解绝对值方程即可； 利用中点的性质求得和，则． 【详解】（1）解：①中点C为：； ②秒后，点表示的数为，点表示的数为； （2）∵，， ∴，解得或． （3）∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 则． 故线段的长度不发生变化，线段的长为6． 【变式9-3】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（B在A点左边），且，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)写出数轴上点B所表示的数______； (2)点P所表示的数______（用含t的代数式表示）； (3)C是的中点，D是的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由，若不变，请你求出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)线段的长度不发生变化，为5 【分析】（1）根据题意及数轴可得B点在原点的左侧，故可直接求解； （2）根据题意可得P所表示的数为：； （3）根据题意得到点P可能在线段上，也有可能在线段外，故分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为8， ∴， ∵， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ∵A点表示的数是8，P在A的左边， ∴点P表示的数为， 故答案为：； （3）解：线段的长度不发生变化， ∵C是的中点，D是的中点， ∴， 如图，当P点在线段上运动时， ； 如图，当P点运动到点B左侧时， ， 综上所述，线段的长度不会发生变化，始终是5． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后根据数轴上的两点距离列式求解即可． 【题型10 数轴上和差定值问题】 【例10】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知数轴上依次有，，三点，若用表示、两点的距离，表示、两点的距离，点对应的数是，点对应的数是20，且． (1)______，点对应的数为______； (2)若点、分别从、两点同时出发，向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了多少秒时，到的距离与到的距离相等？ (3)若点、仍然以（2）中的速度分别从、两点出发，点仍向左运动，点向右运动，动点从点出发也向左运动，点的速度为1个单位长度每秒，三点同时出发，设运动时间为秒，试判断的值是否会随的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)40， (2)秒或秒 (3)不随的变化而变化，见解析 【分析】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间距离的求法、解一元一次方程、整式加减运算等知识，熟练掌握数轴上两点之间距离表示方法，数形结合列式求解是解决问题的关键． （1）由题中条件，结合数轴上两点之间距离的求法列式求解即可得到答案； （2）设运动了秒，则点表示的数为，点表示的数为，由到的距离与到的距离相等，分两种情况列方程求解即可得到答案； （3）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由数轴上两点之间距离求法得到，代入化简即可得到答案． 【详解】（1）解：点对应的数是，点对应的数是20， ； ， ， 点对应的数是， 点对应的数为； 故答案为：40，； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设运动了秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 由到的距离与到的距离相等，分两种情况： ①当点在点右边时，， 解得：；. ②当点在点左边时，， 解得：； 综上所述：运动了秒或秒时，到的距离与到的距离相等； （3）解：不随的变化而变化， 理由如下： 设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ；； ∴， 即的值与无关，不随的变化而变化． 【变式10-1】如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点C在线段上一个动点其对应的数为x，请化简式子：．（写出化简过程） (3)点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为40 【分析】（1）根据若几个非负数之和为0，则每一个加数为0计算即可； （2）由题意得出，再根据绝对值的意义化简即可； （3）设点A、B、M运动t秒时的距离分别是2t、3t、5t，分别用含t的式子表示、、，然后计算式子的值，由此判断即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）由题意得，， ∴，，， ∴| ； （3）不变，值是40，理由： 由题意得点A、B、M运动t秒时的距离分别是、、，此时点A、B、M在数轴上的位置对应的数分别是、、， 则，，， ∴ t t ， 即的值不变，总等于40． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，非负数的性质，多项式的定值问题，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式10-2】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点B表示的数为b，且，b满足=0 （1）A，B两点对应的数分别为a，b的值． （2）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？ （3）若点A，B以（2）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB−OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值． 【答案】（1）a=-8，b=6；（2）经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度；（3）在运动过程中，AP+2OB−OP的值不会发生变化，这个定值是20 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性和为0求出a、b； （2）分类讨论，根据相遇问题列方程解题； （3）设t秒后AP+2OB-OP为定值，分别表示出点A，B，P对应的数，计算AP+2OB-OP，确定t的值及定值． 【详解】解：（1）∵|a+8|+（b-6）2=0， ∴|a+8|=0，（b-6）2=0， 即a=-8，b=6； （2）分两种情况讨论：设x秒后A，B两点相距2个单位长度． ①A，B两点相遇前相距2个单位长度，则4x+2x=6-（-8）-2 解得：x=2； ②A，B两点相遇后相距2个单位长度，则4x+2x=6-（-8）+2 解得：x=， 答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度； （3）在运动过程中，AP+2OB-OP的值不会发生变化． 由题意可知：t秒后，点A对应的数为-8+4t，点B对应的数为6+2t，点P对应的数7t，则：AP=7t-（-8+4t）=3t+8，OB=6+2t，OP=7t， 所以AP+2OB-OP=（3t+8）+2（6+2t）-7t=3t+8+12+4t-7t=20． 所以，在运动过程中，AP+2OB−OP的值不会发生变化，这个定值是20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（2）注意分类思想的运用，解决（3）利用数轴上两点间的距离公式． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）利用有理数的减法，可以计算数轴上两点间的距离．如图，点A在数轴上对应的数为，点B对应的数为2，点C对应的数为，那么线段，的长度可表示为： ， ，于是可以发现这样的结论：在数轴上，如果点A，B对应的数分别为a，b，那么A，B之间的距离就是它们分别对应的数a，b中较大的数减去较小的数的差． (1)试用“有理数的减法”求出图中A，B两点间的距离； (2)在图中的数轴上是否存在点M，使得，若存在，求出所有满足条件的点M对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点N是图中数轴上点A左侧的一点，线段的中点为点Q，点P为线段的三等分点且靠近于点N，当点N在A点左侧运动时，请判断的值是否会变化？如果不变，请直接写出它的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)或6 (3)10 【分析】（1）直接利用数轴上两点间距离公式，用较大数减去较小数计算A、B两点距离即可； （2）先计算的值，设点M对应的数为m，根据列出方程，分情况讨论求解m的值； （3）设点N对应的数为x，利用中点公式表示，根据三等分点定义表示，代入计算并判断其值是否发生变化． 【详解】（1）解：∵， ∴A，B两点间的距离为5． （2）解：存在点M，使得， 理由：由（1）知，，， ∴， 设点M对应的数为m， ①当点M在点A左侧时，即，，， 则， 解得； ②当点M在点A，B之间时，，此时，不合题意； ③当点M在点B右侧时，即，此时，， 则， 解得：， 综上所述，点M对应数为或6． （3）解：的值不变， 理由：设N点表示数x，则，， ∵线段的中点为点Q，点P为线段的三等分点且靠近于点N， ∴，， ∴． 【题型11 数轴上比为定值问题】 【例11】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）数轴上两个点所对应的数为，，、两点各自以一定的速度同时运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若两点相向而行，在原点处相遇，求点运动的速度； (2)若两点从开始位置上同时按照（）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后， 与原点距离相等？ (3)两点以（）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点出发也向数轴负方向运动，点分别运动到、、，且点总在、两点之间，并在运动过程中始终有（表示点到点的距离），设运动秒钟后，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，请选择正确的结论，并求其值． 【答案】(1)个单位/秒 (2)秒或秒 (3)正确的结论是②，其值为 【分析】（）设点的运动速度为个单位/秒，根据路程速度时间列出方程即可求解； （）设经过秒钟，与原点等距离，分分别在原点的两侧和在原点的同侧两种情况，分别列出方程解答即可求解； （）设点的速度为个单位/秒，由题意可得，即得，由可判断①；由可判断②，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设点的运动速度为个单位/秒， 由题意得，， 解得， ∴点的运动速度为个单位/秒； （2）解：设经过秒钟，与原点等距离，有两种情况： ① 当分别在原点的两侧时， 由题意得， ， 解得； ②当在原点的同侧时， 由题意得，， 解得； 综上，经过秒或秒，与原点等距离； （3）解：设点的速度为个单位/秒， ∵始终有， ∴， 解得， ①∵， ∴的值会随着的改变而改变； ②∵ ∴的值不变，其值为； 综上，正确的结论是②，其值为． 【变式11-1】如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B数轴上位于A点左侧一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发． 问点P运动多少秒时，？ 若M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 【答案】(1) (2)点P运动秒或7秒时， 当时，为定值，该定值为2 【分析】本题考查一元一次方程的应用，含绝对值的方程，绝对值的意义，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）由点A表示的数为8，，即得点B表示的数是，根据点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，可得点P表示的数是； （2）①设运动时间为t秒，可得，即有，从而解得或，得到答案； ②运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M表示的数为，当时；当时；分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，， ∴点B表示的数是， ∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数是； （2）解：①设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，由（1）知点P表示的数是， ∴， ∵， ∴， 解得或， 答：点P运动秒或7秒时，； ②运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 则的中点M表示的数为， ∴， ∴当时， ， 当时， ， ∴当时，为定值，该定值为2． 【变式11-2】（24-25七年级上·全国·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为的中点，B为的中点，⽆论点P在何处，是否为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点P对应的数是 (2)存在点P，使点P到点A、点B的距离之和是8，x的值是1或 (3)为一个定值，定值是2 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点的距离公式和中点表示的数与两个端点表示的数的关系． （1）由“点到点、点的距离相等“列方程可解得答案； （2）分两种情况列方程可解得答案； （3）表示除，，从而表示出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 点对应的数是； （2）解：存在点，使点到点、点的距离之和是8，理由如下： 当在右侧时，， 解得， 当在左侧时，， 解得， 的值是1或； （3）解：为一个定值，理由如下： 为的中点，为的中点， ，， ，， ， ， ； 为一个定值，定值是2． 【变式11-3】（24-25七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，9，12 (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值，然后利用数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 【题型12 数轴上定值求参问题】 【例12】（25-26七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，且a，b满足，表示点A与点B之间的距离． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①或10；②存在，定值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及整式加减的应用，根据绝对值及平方的非负性求出a，b的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据绝对值及平方的非负性求出结论即可； （2）①运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，再分三种情况：点A、B在相遇前时或点A、B在相遇时或点A、B在相遇后，分别求出即可；②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，求出 ，依题意求出结论即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①如图所示： 当时，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为． ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； 下面分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值， 此时． 【变式12-1】（25-26七年级上·吉林松原·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离可用AB表示，，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8． （1）填空：______，______； 【构建联系】 （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若，求t的值； 【深入探究】 （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间，且的值始终是一个定值，直接写出m的值． 【答案】（1）10，16；（2）①，；②8或2；（3） 【分析】本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）①根据两点间的距离公式列出代数式即可；②分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据两点间的距离公式表示出和，根据整式加减中的无关型问题即可得出结果． 【详解】解：（1）； 故答案为：10，16； （2）①由题意，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：或； ②由题意，或， 解得或； （3）由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵点D始终在A、C两点之间， ∴，， ∴ ， ∵的值始终是一个定值， ∴， ∴． 【变式12-2】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，，原点O是线段上一点．已知，且，有两条动线段和满足，．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． (1)直接写出a，b的值； ， ； (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段，同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值； (3)当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)；2 (2)或4 (3) 【分析】（1）先根据，点C表示的数为，求出点A表示的数，再根据，求出，即可得出答案； （2）分两种情况：当点P为的中点时，当点M为的中点时，分别列出方程，解方程即可； （3）先求出，，得出，根据常数m，n使得的值与t无关，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，点C表示的数为， ∴点A表示的数， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：t秒后点M表示的数为，点P表示的数为， 当点P为的中点时，则： ， 解得：； 当点M为的中点时，则： ， 解得：； 综上分析可知：当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，时间t的值为或4． （3）解：点Q运动到点B需要的时间为： （秒）， ∴当时，线段向左运动，点Q表示的数为， ∴，， ∴ ， ∵常数m，n使得的值与t无关， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，整式加减的应用，熟练掌握数轴上两点间距离公式，是解题的关键． 【变式12-3】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、8、12，点是原点，点从点开始以每秒4个单位的原始速度沿着数轴正方向运动，同时，点从点开始以每秒2个单位的原始速度沿着数轴负方向运动，设它们运动的时间为（）．    (1)请用含的式子表示点、表示的数，表示为_____，表示为_____； (2)当点、之间的距离是点、之间的距离的2倍时，求的值； (3)当点运动到点时立即以原始速度的沿着数轴的负方向运动，点到达时立即以原速的2倍速度沿着数轴正方向运动，点返回到点时以原始速度的2倍再次沿着数轴的正方向朝点运动，当点运动到点时，点、均停止运动．请问在、运动过程中是否存在某个时间，使得、两点之间的距离为10？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，7或或或或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）数轴上动点所对应的数是：向右运动是起始点对应的数加上运动速度乘以运动时间，向左运动是起始点对应的数减去运动速度乘以运动时间，据此解答即可； （2）根据点、之间的距离是点、之间的距离的2倍列方程求解即可； （3）分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点、之间的距离是点、之间的距离的2倍， ∴， 解得或； （3）解：存在．由题意，，， 点P由：速度为每秒4个单位，用时秒，由：速度为每秒个单位，用时秒，由：速度为每秒个单位，用时秒； 点Q由：速度为每秒2个单位，用时秒，由返回：速度为每秒个单位， 分四种情况： 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由得， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由得， 解得或，都不符合题意，舍去； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由得， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由得， 解得或（舍去）， 综上，满足条件的t值为7或或或或． 【题型13 数轴上动线段问题】 【例13】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B，M两点，线段，点D位于原点的右侧且，，点C恰好为线段的中点． (1)数轴上点C，点M表示的数分别是多少？ (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点D到达点M时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点B到达点M时线段停止运动．设线段的运动时间为t秒． ①当点A与点D到原点的距离相等时，求t的值； ②当点D为线段的中点时，直接写出t的值． 【答案】(1)点C表示的数为2，点M表示的数为 (2)①1或10；②9 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示各个点运动后表示的数． （1）根据数轴上两点之间的距离的求法，进行计算即可得出答案； （2）先用含的代数式表示各个点运动后表示的数，再根据题意列方程求解即可；根据线段中点的计算公式，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，，且点A的右侧顺次有B，M两点， 点表示的数是． 点D位于原点的右侧且， 点表示的数是8， ． 点C为线段的中点， ， 点表示的数是． ， 点表示的数是． 答：点C表示的数为2，点M表示的数为． （2）解：由题意得， 运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当点A与点D到原点的距离相等时， 则， 即或， 解得，或． 答：t的值为10或1； ②当点D为线段的中点时， 则， 解得，． 答：t的值为9． 【变式13-1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，21，24 (2)①；②2；③的值是或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题． （1）根据题意，可知，，即可算出m与n的值，线段用两点间的距离公式即可解出； （2）①设的长度为m，根据题目，我们知道，解这个方程即可； ②根据题目直接计算即可； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒，由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是，再根据，，，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：，21，24； （2）解：①设的长度为m， 则， 解得， ∴线段； ②∵线段完全经过点A所需的时间为3秒， ∴， 即运动的速度为2个单位长度/秒， 故答案为：2； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒， 由此开始秒后，点P对应的数是，点Q表示的数是， 当点Q到达点时，，解得， 分三种情况讨论： 阶段1：当时，点未到达点，点从点出发，未到达点，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段2：当时，点未到达点，点到达点，开始返回点，此时点C对应的数是， 当时，点C对应的数是9， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 阶段3：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得； 阶段4：当时，点已经超过点，点到达点，又返回向点运动，此时点C对应的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上，的值是或． 【变式13-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）点A，B在数轴上，分别表示数，，． (1)a的值是___________，b的值是___________，线段的长度是___________； (2)如图1，线段的长为定值（点P在点Q的左侧），它在数轴上始终从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点A（即点A在线段上的这段过程）所需的时间为2秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为秒． ①求线段的长； ②线段运动的速度为___________个单位长度/秒； ③如图2，当线段运动到点Q与点A重合时，点C从点P的位置开始也沿数轴向右运动，速度为6个单位长度/秒，当点C和点相遇时，点C立刻以原速度沿数轴向左运动．直接写出点C再次与点相遇时，点C在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)①线段的长度是8个单位长度；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题，掌握数轴上点运动时所表示的数的变化规律是解题的关键． （1）由，得到，求出a、b的值，再根据，即可求解； （2）①设的长度为m，根据题意列方程，解方程即可；②根据线段完全经过点A所需的时间为2秒，直接计算，即可求解；③先求出点C初始位置在数轴上表示的数，再通过方程求出点C和点相遇时，点C在数轴上表示的数，最后通过方程求出点C和点相遇时，点C在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：①设的长度为m， 根据题意，可得， 解得， 线段的长度是8个单位长度； ②线段完全经过点A所需的时间为2秒， 线段运动的速度为个单位长度/秒； ③， 点C初始位置在数轴上表示的数为， 设点C和点相遇时，点C在数轴上表示的数为x， 根据题意可得， 解得， 此时点P在数轴上表示的数为， 设点C和点相遇时，点C在数轴上表示的数为y， 根据题意可得， 解得， 点C再次与点相遇时，点C在数轴上表示的数． 【变式13-3】（25-26七年级上·辽宁·期末）已知．如图1，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、-21．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和长度保持不变）． (1)直接依次写出a、b的值：_____，_____； (2)如图2，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段、同时停止运动，t为何值时点Q与点M之间的距离为3个单位长度； (3)如图3，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)点Q与点M之间的距离为3个单位长度时，t的值为或或或 (3)t为或或或 【分析】（1）根据等式，即可得到a、b的值； （2）首先分析可知，在点Q到达点B之前是相遇问题，利用代数式表示点的位置，结合点Q与点M之间的距离为3个单位长度利用含绝对值的一元一次方程进行求解，并判断此时t是否符合题意即可；在点Q从点B返回是追及问题，同样的利用代数式表示点的位置，结合点Q与点M之间的距离为3个单位长度利用含绝对值的一元一次方程进行求解，并判断此时t是否符合题意即可； （3）首先利用相遇问题求解相遇的时间，再根据速度变化后重合长度为1时计算这部分需要的时间，即为总时间，注意会有两种情况重合长度为1；之后发现追及问题也满足，即求解追及的时间，再根据速度变化后重合长度为1时计算这部分需要的时间，即为总时间，注意会有两种情况重合长度为1． 【详解】（1）解：∵， ∴，，即，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点Q从点A出发到达点B时，即， ∵点Q与点A重合， ∴点Q运动过程中的位置为， ∵点N与点B重合，， ∴点M运动过程中的位置为， ∵点Q与点M之间的距离为3个单位长度， ∴，解得：或， ∵， ∴或； 当点Q从点B出发返回，点P到达点C停止时，即， ∵点Q到达点B需要的时间为：，此时点M的位置所表示的数为0， ∴点Q从点B出发返回，点M进入负半轴， ∴点Q返回过程中的位置为，点M运动过程中的位置为， ∵点Q与点M之间的距离为3个单位长度， ∴，解得：或， ∵， ∴或； 故：点Q与点M之间的距离为3个单位长度时，t的值为或或或； （3）解：当点Q与点M相遇时，如图， ∴相遇时间为：， 此时点Q与点M位于：， ∴点P位于1，点N位于13， 当点Q位于点M右侧一个单位长度时，如图， ∴用时为：， ∴共用时：； 当点P位于点N左侧一个单位长度时，如图， ∴用时为：， ∴共用时：； 当点P与点N相遇时，如图， ∴用时为：， ∴共用时：， 此时点Q位于：， ∴点P、N位于：9，点M位于：1， 当点Q到达点B时，用时为：， 此时点N位于：，点P位于：16， ∴共用时：， 当点P追上点N时，如图， ∴用时为：， ∴共用时：， 当点P位于点N左侧一个单位长度时，如图， ∴用时为：， ∴共用时：； 当点M位于点Q左侧一个单位长度时，如图， ∴用时为：， ∴共用时：； 综上所述：时间t为或或或． 【点睛】本题主要考查相遇、追及问题，一元一次方程的应用，运用数轴表示点代表的数，再结合相遇、追及问题解答是解题的关键． 方法技巧2：数轴上挡板与往返问题 一个较高速度的动点不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止，在这个运动过程中，虽然不能清晰的分析出这里的运动状态，但是我们可以通过两低速动点相遇时所花费的时间来得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的运动路程。 【题型14 数轴上挡板与往返问题】 【例14】如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，满足．    (1)点A表示的数为______；点B表示的数为______； (2)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离______，乙小球到原点的距离______；当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)，7 (2)①4，5；7，1；②能，或10秒时，甲，乙两球到原点的距离相等 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，绝对值的非负性． （1）根据非负数的性质列方程求出a、b的值，从而得解； （2）①根据运动时间确定出运动的单位数，即可得出结论；②根据，，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）∵． ， 解得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为7， 故答案为：，7； （2）解：①当时， ∵小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， ∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离， ∵小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离， 当时， ∵小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， ∴甲小球4秒钟向左运动4个单位，此时，甲小球到原点的距离， ∵小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙小球4秒钟向左运动个单位，运动了秒，此时，碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动秒钟，运动个单位， ∴乙小球到原点的距离． 故答案为：4，5；7，1； ②当，时，小球甲和小球乙都是在向左运动，小球甲与原点的距离为：， 小球乙与原点的距离为：，得：， 解得：； 当时，小球甲然是在向左运动，小球乙向右运动，小球甲与原点的距离为：， 小球乙与原点的距离为：，得：， 解得：． 故当或10秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【变式14-1】（25-26七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)或或 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得：点 M，N 对应的数是，，再根据t 秒后它们之间的距离为 15 个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由题意可得点 M，N 对应的数是，，再根据“”为的中点列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当时，点M，N，K对应的数是，，，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合，点M，N继续运动所对应的数是，，同理列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 则：， 解得：； （2）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 当时，两点都在表示的点右边，此时不可能“”为的中点，故， 则 ∴． ∴点N出发6秒后“”为的中点； （3）解：当时，点M，N，K对应的数是，，， 当点M是中点时，， ∴； 当点K时中点时，， ∴． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是，， 当点N为中点时，， ∴， ∴． 所以或或 10． 【变式14-2】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示、，且与互为相反数，O为原点． 若电子蚂蚁M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， (1) ， ； (2)若电子蚂蚁N向右运动遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动，遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动……，循环运动一直到电子蚂蚁M运动到点B处结束，此时电子蚂蚁N的运动路程为 ； (3)电子蚂蚁N到点A后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为秒． ①求t为何值时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同； ②求t为何值时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，直接写出答案． 【答案】(1)9； (2)30 (3)①5或15；②或或11或19 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴，解题关键是要读懂题目的意思，在解答第(3)问注意分类思想的运用． （1）根据非负数的性质即可求解； （2） 根据路程速度时间可求点N的运动路程； （3）①先根据题意用含t的式子把点M、点N表示的数表示出来，分两种情况：Ⅰ蚂蚁N向右运动时，Ⅱ蚂蚁N到点A后按原来的速度改变方向向左运动时，再列方程求解即可； ②方法同①． 【详解】（1）解：依题意有， ，， 解得，； 故答案为：9；； （2）解：点A、B分别表示、，，， ， 的运动路程为：， 故答案为：30； （3）解：蚂蚁N从点B到点A所需的时间为， ①Ⅰ蚂蚁N向右运动时，点N表示的数为：，， 点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动时，点M表示的数为：， ， 由题意得， 解得； Ⅱ蚂蚁N到点A后按原来的速度改变方向向左运动时， 点N表示的数为：， 由题意得， 解得； 综上所述，t为5或15时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同； ②Ⅰ蚂蚁N向右运动时，点N表示的数为：， 点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动时， 点M表示的数为：， ， 或， 解得或； Ⅱ蚂蚁N到点A后按原来的速度改变方向向左运动时， 点N表示的数为：， ， 或， 解得或； 综上所述，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度时，t为或或11或19． 【变式14-3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，C点在A、B之间．在A、B、C三点处各放一个挡板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B挡板时，两球均停止运动）． (1)若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A挡板时，N小球也刚好第一次碰到B挡板，求C点所对应的数； (2)若点C所表示的数为25，M、N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到挡板的时间依次为a、b、c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟． ①请直接写出下列时间段内N小球所对应的数（用含t的代数式表示）： 当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ； ②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值． (3)若点C所表示的数为25，移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为中点，点F在线段BQ上，且，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？ 【答案】(1)C点所对应的数为10 (2)①；；；②秒 (3)或 【分析】本题考查了列代数式问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，有一定难度，运用数形结合思想是解题的关键． （1）设C点表示的数为c，根据小球行驶的路程相等列出c的方程进行解答便可； （2）①根据某点表示的数加上从这点向右运动的路程，便为运动后的点表示的数；某点表示的数减去从这点向左运动的路程，便为运动后的点表示的数进行计算便可得出结果； ②结合①中三种情况，根据题意分别列出方程求得符合条件的t值便可； （3）设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：，点E对应的数为：，点F对应的数为：，根据两点间的距离公式和“点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍”列出方程并解答． 【详解】（1）解：设C点所对应的数为c， 根据题意，可知：， 解得：， 则点C对应的数为10． （2）解：①根据题意得：当时，N小球对应的数为， 当时，N小球对应的数为， 当时，N小球对应的数为． 故答案为：；；； ②设M、N运动时间为t秒，由题意可知在15秒内，先到挡板 若，则M点对应的数为：，N点对应的数为： ∴ (不合题意舍去) 若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：， ， 解得： (不合题意，舍去)． 若，则M点对应的数为：，N点对应的数为：， ， 解得：． 综上：当M、N两个小球的距离等于30时，秒． （3）解：设P、Q运动时间为t秒，则P点对应的数为：，Q点对应的数为：， 点E对应的数为：， 点F对应的数为：， ∴， 由题意可知：， 解得：或， 故出发或秒后，． 【题型15 数轴上的折叠问题】 【例15】（25-26七年级上·海南海口·期中）数轴是数学中“数形结合”的核心工具，它将抽象的数与直观的点一一对应．在折叠数轴的问题中，中点公式是解题的关键：若数轴上表示的点和表示的点重合，则这两点的中点（折痕点）表示的数为我们可以把折叠想象成将数轴沿中点“对折”，此时重合的点到中点的距离相等．下面请结合具体示例，深入理解这一工具的应用： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数分别是多少； 操作三： （3）如图，在数轴上剪下9个单位长度（从到的）一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图①），然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图②）．若这三条线段的长度之比从左到右依次为（如图③），请你求出折痕处对应的点所表示的数是多少． 【答案】（1）3；（2）①；②，6；（3） 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、二元一次方程组和一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）利用重合的数的平均数等于折痕数得出结果； （2）根据2表示的点与表示的点重合得出折痕处的数字是，依据折痕是，计算3表示的点与重合； （3）利用三条线段的长度之比从左到右依次为，设出每段的长，折痕表示的数，利用线段总长度的9，求出未知量即可． 【详解】解：（1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， 折痕处表示的数是0， 表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； （2）使2表示的点与表示的点重合， 折痕处表示的数是， ①折痕处表示的数是， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：，； ②设、两点表示的数分别是，， ，解得， 、两点表示的数分别是，6； （3）如图1，设折痕处对应的点所表示的数是， ， ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 折痕处对应的点所表示的数是． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江金华·月考）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①；②，； (3)和． 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②根据数轴上A、B两点之间距离为6可得A到折痕的点距离为3，由此得出A、B两点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）∵折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ∴折痕表示的点为1， ①设5表示的点与数a表示的点重合， 则， 解得：； 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）由题意可得，，， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． 【变式15-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)；5 (3)4或6 (4)最小值为7，最大值为10 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性的性质，求一个数的算术平方根，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、b的值，根据算术平方根的定义可得c的值，再用点A表示的数加上点P运动的路程即可得到点P表示的数； （2）点P为折叠前的中点，据此根据中点计算公式求解即可； （3）分折叠后点A在点C左侧和折叠后点A在点C右侧两种情况，分别求出折叠后点C表示的数，进而根据中点计算公式求出点P表示的数，则可得到答案； （4）分P在（不与点重合）上、P在上、P在点C的右边三种情况，根据第二次折叠后C与A的折痕，B与11的折痕是同一点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是16的算术平方根， ∴； ∵动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，且点运动的时间为秒， ∴点P表示的数为； （2）解：∵以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∴； （3）解：当折叠后点A在点C左侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 当折叠后点A在点C右侧时，则折叠后点A表示的数为， ∴点P表示的数为， ∴， 解得； 综上所述，或； （4）解：①当在线段上时（不与点重合），则第一次折叠后点A的对应点表示的数小于，若第二次折叠后与点重合，折痕对应的数小于6，若点与11重合，折痕为，故这种情况不可能； ②当点在线段上时（包含，两点），如图，则， ∵点P表示的数为， ∴点表示的数为   点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为，折痕一致， ∴均符合题意； ③当点在点右侧时，如图，则， 同理可得点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 若点与点重合，则第二次折痕表示的数为， 若点与11重合，则第二次折痕表示的数为， 则， 解得（舍） 综上所述，符合条件的最小值为7，最大值为10． 【变式15-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为15，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．（写出必要的分析过程或画出图形） 【答案】（1）3；（2）①；②点表示的数是，点表示的数是；（3）或或 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的和差、折叠的性质等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）设表示的点与表示的点重合，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程即可得； （2）①设6表示的点与数表示的点重合，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程即可得； ②设点表示的数是，则点表示的数是，根据折痕点表示的数相同建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）如图（见解析），分三种情况：①，②和③，先求出的长，再根据折叠的性质可得的长，然后根据数轴的性质列式计算即可得． 【详解】解：（1）设表示的点与表示的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：3． （2）①设6表示的点与数表示的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：． ②设点表示的数是，则点表示的数是， 由题意得：， 解得， 则， 综上，点表示的数是，点表示的数是． （3）①如图1，得到的三条线段， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ②如图2，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ③如图3，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数可能是或或， 故答案为：或或． 【题型16 数轴与有理数的多结论问题】 【例16】（25-26七年级上·四川达州·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关键．利用数轴可得，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答． 【详解】解：①若，则或， 当时，，则， 当时，，则，故①不正确； ②若，，由图可知，则或， 当时，， 当时，，故②正确； ③∵， ∴，，， 则， ∵， ∴，，为一负二正或两负一正， 其中两种情况为，或，， 当，时， 当，时，故③不正确； ④∵为一个五位自然数，由数轴可得，， 则 当，，时取最大值为17，故④正确； ∴正确的有②④； 故选B． 【变式16-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为4，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确个数是（    ） ①时，点运动到点；②时，；③在点的运动过程中，线段的长度不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离，线段中点，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 先求出点对应的数，再求出时对应的点的位置即可判断①；②分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可；③分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是， 由题意得：， ∴时，点到达点，故①正确； ②分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故②错误； ③分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故③正确． 所以，上述结论中正确的是①③． 故选：C． 【变式16-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）有下列说法： ①已知a，b，c是不为0的有理数且，则的值为或0． ②若P和Q都是关于x的五次多项式，则也是关于x的五次多项式． ③如果定义，当，，时，的值为． ④若有理数a，b，c在数轴上对应的三点如图所示：则化简的结果为．其中正确的说法是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，整式的加减，化简绝对值，根据有理数的乘法法则，得到均为正，或的符号为两负一正，进行求解，判断①，根据整式的加减运算法则，判断②，根据有理数的运算法则，判断的大小关系，判断③，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】解：∵a，b，c是不为0的有理数且， ∴均为正，或的符号为两负一正， 当均为正时，原式； 当的符号为两负一正时，原式；故①正确； P和Q都是关于x的五次多项式，则不一定是关于x的五次多项式，例如，，，则：，不是关于x的五次多项式，故②错误； ∵，，， ∴， ∴；故③正确； 由数轴可知：，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【变式16-3】（24-25七年级上·广东江门·月考）若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】数轴上表示和的两点之间的距离是，故错误； 设点表示数， ∵点表示的数是， ∴， ∵， ∴， 解得:或， ∴点表示的数是或，故错误； 代数式代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和， ∴当时，为最小值，故正确； 代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和， 当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小， ∴当代数式取最小值时，的取值范围是，故正确； 表示点到点的距离之和，表示点与点之间的距离， 若，则点位于，两点之间，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【题型17 数轴上的新定义问题】 【例17】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友谊点”．例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“友谊点”． (1)若点，所表示的数分别为1，4，点，所表示的数分别为，5，那么点，的“友谊点”的是点________； (2)若点表示数，点表示数，为线段上一点，且点是点，的“友谊点”，求点表示的数． 【答案】(1) (2)点表示的数为或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算及新定义“友谊点”的应用，核心是根据定义建立距离的等量关系求解． （1）根据“友谊点”的定义，分别计算点、到点、的距离，判断是否满足2倍数量关系即可； （2）先设点表示的数为，结合在线段上得到、的表达式，再分“”和“”两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∵，满足“友谊点”的定义， ∴点是点，的“友谊点”； 又∵点表示的数为，，，与不满足2倍数量关系， ∴点不是点，的“友谊点”； 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， ∵为线段上一点，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，． 根据“友谊点”的定义，分两种情况： ①当时，，解得； ②当时，，解得； 综上，点表示的数为或． 【变式17-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则_____； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则_____（填“＝”或“≠”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4．若点在点的左侧，且均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，求点表示的数． 【答案】(1)①24；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出，与的数量关系即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：24； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴，即 由①得， ∴，即 ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为， 综上，点表示的数为或10． 【变式17-2】（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”． 【理解定义】 （1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度； 【定义应用】 （2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度； 【定义拓展】 （3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？ 【答案】（1）5或1；（2）3；（3）或或或 【分析】（1）理解“五美分点”，再进行分类讨论，列式计算，即可作答． （2）理解“五美分点”，结合，故，，因为，所以，，根据点G为线段的中点，进行列式计算，即可作答． （3）由题意得：，，当点P追上点Q时，时间为；4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点”，然后进行分类讨论且逐个情况作图，结合线段的和差关系列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：（1）∵点C在线段上， ∴， ∵点C是线段的“五美分点” ∴或， 即或， 如答图： ∴或， 又∵， ∴或； 答：线段的长度为5或1． （2）解：∵点E，F均为线段的“五美分点”， ∴或；或， ∵， ∴，， ∵， ∴，，如答图： ∴，， ∵G为线段的中点， ∴， ∴； 答：线段的长度为3． （3）由题意得：，， ∵当点P追上点Q时，， ∴， 解得：； ∴4秒之内只存在点D是线段的“五美分点”或点P是线段的“五美分点” ①如答图3，当点D在线段上时 ∵， ∴，， ∵点D是线段的“五美分点” ∴或， ∴或 解得：或； ②如答图4，当点P在线段上时 ∵， 则，， ∵点P是线段的“五美分点” ∴或， ∴或， 解得：或， 综上所述：t的值是或或或． 【点睛】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程与几何应用，新定义，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式17-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：若数轴上三个点，，，满足，则称点是的“倍点”．例如：数轴上点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是1，此时，，则，则称点是的“倍点”．如图，已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是6． (1)则原点____________的“倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若点是的“倍点”，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，若点，点同时出发，设点的运动时间为（秒）．当点是的“倍点”时，求时间的值． 【答案】(1)不是 (2)点表示的数是0或 (3)当秒或秒时，点是的“倍点” 【分析】（1）根据“倍点”的定义判断即可； （2）根据“倍点”的定义得出，然后分点在线段上或在点左侧两种情况讨论即可； （3）分三种情况讨论：①在的右侧；②点位于，之间；③在点左侧，根据“倍点”的定义构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是6，原点表示的数是0， ∴，， ∴， ∴原点不是的“倍点”； （2）解：若点是的“倍点”，则，所以点在线段上或在点左侧． ①当在线段上时，，则点与原点重合，故点表示的数是0； ②当在点左侧时，，则，故点表示的数是； 综上，点表示的数是0或． （3）解：依题意，得点表示的数是，点表示的数是 分三种情况讨论如下： ①当时，在的右侧，此时，则不成立，舍去； ②当时，点位于，之间，此时，则，即，求得 ③当时，在点左侧，此时，则 即，求得 综上，当秒或秒时，点是的“倍点”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与数轴有关的十七大压轴题型（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 求数轴上的两点距离】 1 【题型2 借助数轴求两点中点】 2 【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】 3 【题型4 数轴上点的平移】 4 【题型5 数轴上点的运动】 5 【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】 7 【题型7 数轴上点的和差问题】 8 【题型8 数轴上点的倍分问题】 9 【题型9 数轴上距离定值问题】 11 【题型10 数轴上和差定值问题】 13 【题型11 数轴上比为定值问题】 14 【题型12 数轴上定值求参问题】 15 【题型13 数轴上动线段问题】 17 【题型14 数轴上挡板与往返问题】 19 【题型15 数轴上的折叠问题】 21 【题型16 数轴与有理数的多结论问题】 23 【题型17 数轴上的新定义问题】 25 方法技巧1：数轴上的两点距离 两点距离 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【题型1 求数轴上的两点距离】 【例1】（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）数轴上，点A到原点（表示数0的点）的距离为4，点B到原点的距离为6，那么A与B的距离为___． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川南充·月考）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为____________________． 【变式1-3】（25-26七年级上·河南安阳·期中）如图所示，在一条不完整的数轴（向右为正方向）上从左到右有点、、，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点、、所对应的数的和是．若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，则_____． 两点中点 中点定义：线段上的一点把线段分成相等的两部分，这个点叫作这条线段的中点； 中点公式：若A：a，B：b，则AB的中点 【题型2 借助数轴求两点中点】 【例2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点A、B表示的数分别为、5，点C为数轴上一动点，若A、B、C三点满足“中点关系”，则点C表示的数为_______． 【变式2-1】如图，数轴上、两点表示的数分别为，，将长为的线段摆放在数轴上，使得点与中点重合，则点表示的数________．    【变式2-2】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）已知如图，数轴上点A，B分别与刻度尺上2，18对齐，点A在数轴上表示的数为．第一次取的中点，第二次取的中点，第三次取的中点，按此规律依次取得中点，则点在数轴上表示的数是________． 【变式2-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知点是同一数轴上的不同四点，且点为线段的中点，点为线段的中点．如图，设数轴上点表示的数为，点表示的数为． (1)若数轴上点表示的数分别是，直接写出此时线段的长是_____________． (2)若四点从左到右依次在数轴上，，请结合数轴，求点表示的数． (3)若点均在点的右侧，且始终满足，求点在数轴上所表示的数． 距离和差倍分 点P在A，B之间 点P在B右侧 点P的位置不确定 ；； ；； ；； 【题型3 与数轴有关的和差倍分的计算】 【例3】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）已知数轴上点在原点左边，到原点的距离为个单位长度，点在原点的右边，从点走到点，要经过个单位长度． (1)，两点分别表示的数为_______． (2)若点也是数轴上的点，点表示的数是正数，点到点的距离是点到原点的距离的倍，则点表示的数为_______． 【变式3-1】（25-26七年级上·安徽六安·期中）1．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，5，点C是数轴上一动点．在点C移动的过程中： （1）若点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是______； （2）若点C到点A距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是______． 【变式3-2】如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（　　） A．点E B．点B C．点M D．点N 【变式3-3】在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示，设点，，所对应数的和是． (1)若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？ (2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求． 点的平移 点A表示的数为a，将点A向左平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为a－n 点A表示的数为a，将点A向右平移n个单位长度得到点B，则点B表示的数为a＋n 【题型4 数轴上点的平移】 【例4】（2026·山东济宁·一模）一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】如图，点A、B、C为数轴上的点，请回答下列问题： （1）将点A向右平移3个单位长度后，点A，B，C表示的数中，哪个数最小？ （2）将点C向左平移6个单位长度后，点A表示的数比点C表示的数小多少？ （3）将点B经过怎样的平移后，点B与点C的距离是2？ 【变式4-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末） 已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一个玩具火车放置在数轴上；将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合，当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，点所表示的数为_____． 【变式4-3】（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图2． (1)第_____次按键后，点正好到达原点； (2)第6次按键后，点到达的点表示的数与点到达的点表示的数的乘积是多少？ (3)第次按键后，点与点到原点的距离相等，求的值． 点的运动 运动时间为t，运动速度为v，点A表示的数为a 向左运动B：a－vt 向右运动B：a＋vt 两动点之间的距离表示 位置明确（右减左）： 位置不明确（加绝对值）： 【题型5 数轴上点的运动】 【例5】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）已知数轴上有A，B两点，分别代表，两只电子蚂蚁甲，乙分别从、两点同时出发，甲沿线段以2个单位长度／秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以1个单位长度／秒的速度向左运动． （1）A，B两点间的距离为__________个单位长度； （2）__________秒时，甲、乙相距6个单位长度． 【变式5-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）数轴的再思考： (1)在数轴上点A表示数，点B表示数8．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则折痕所表示的数为________，原点与数________表示的点重合． (2)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的2倍，运动到时，两点相距12个单位长度． ①求P、Q两点的运动速度，并在数轴上标出P、Q两点的位置； ②若P、Q两动点从①中的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限，问：几秒后，P、Q两点相距4个单位长度？ 【变式5-3】（25-26七年级上·广东广州·期中）有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度，且a、b、c满足． (1)则 ， ， ． (2)在数轴上A、B两点之间的距离，B、C两点之间的距离，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和、动点P从点A出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ②当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ③当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度． 行程问题 运动时间为t，运动速度为v，A：a，B：b 相遇A、B重合数相同 相遇A、B重合数相同 【题型6 数轴上点的相遇与追及问题】 【例6】（25-26七年级上·吉林白山·期中）如图，已知在数轴上有、两点，分别代表、20．两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时出发，甲沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，当甲到达点处时运动停止，乙沿数轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为（秒）． (1)在运动过程中甲表示的数为________，乙表示的数为_______（用含的代数式表示）； (2)求甲、乙相遇时在数轴上表示的数； (3)当甲、乙相距10个单位长度时，求的值； (4)若乙到达点后立刻返回并保持原速度不变，则在乙返回点的过程中，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，直接写出相遇点表示的数；若不能，请说明理由． 【变式6-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）已知数轴上有三个点，点从原点出发向右匀速运动，已知点的速度是每秒4个单位，点的速度是每秒6个单位；点出发2秒后，点才出发；此时点从处向右出发，且在点之间不间断的来回匀速运动，点的速度是每秒8个单位． (1)点出发2秒时，它所对应的数是 ； (2)点追上点用了多长时间？ (3)点出发追上点后返回，第一次遇到点，共用了多长时间？ 【变式6-2】（24-25七年级上·湖南永州·月考）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． (1)问题提出：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并求出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【变式6-3】（24-25七年级上·重庆大足·期末）如图，数轴上有两点，，点O是线段上的一点，． (1)若点C是线段上一点，且满足，求的长； (2)若动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为，点Q的速度为．设运动时间为． ①当为何值时，； ②当点Q经过点O时，动点M从点O出发，以的速度也向右运动．当点M追上点P后立即返回，以的速度向点Q运动，遇到点Q后再立即返回，以的速度向点P运动，当点再次追上点时，点停止运动．请直接写出运动时间的值． 【题型7 数轴上点的和差问题】 【例7】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，数轴上点A表示的数为．点B表示的数为14，点O为原点，动点M、N分别从点O、点B同时出发，都沿数轴向左运动，点M运动的速度是每秒1个单位长度，点N运动的速度是每秒3个单位长度，当点N运动到点A时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)在点M、N整个运动过程中，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______；（用含t的代数式表示） (2)若点M位于点A右侧，且，求运动时间t的值； (3)在点M、N整个运动过程中，当时，求运动时间t的值． 【变式7-2】已知，两点在数轴上，点表示的数为，点在点的右侧，且距点20个单位． (1)点表示的数为__________； (2)点，是数轴上的两个动点，点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当原点为线段的中点时，求运动时间的值； ②当线段的长为5时，求点表示的数； ③在运动过程中，当时，请直接写出运动时间的值． 【变式7-3】（25-26七年级上·陕西·期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点为原点，动点，分别从点，点同时出发，都沿数轴向左运动，点运动的速度是每秒个单位长度，点运动的速度是每秒个单位长度，当点运动到点时，点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)在点、整个运动过程中，点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的代数式表示） (2)若点位于点右侧，且，求运动时间的值； (3)在点、整个运动过程中，当时，求运动时间的值． 【题型8 数轴上点的倍分问题】 【例8】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，且与的和是单项式． (1)求出a，b的值； (2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？ ②经过多长时间，求运动时间t？ 【变式8-2】（25-26七年级上·四川凉山·月考）如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足．是数轴上的一个动点，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为． (1)________，________； (2)当时，求点所表示的数； (3)如图2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动． ①若运动时间均为，用代数式表示，之间的距离； ②若点，之间的距离是点，之间距离的2倍，求此时运动时间的值． 【变式8-3】（25-26七年级上·吉林·期末）如图，在数轴上，点表示最大的负整数，，点在正半轴上，且． (1)点表示的数是___________，点表示的数是___________，点表示的数是___________； (2)若点在线段上，且满足，求点表示的有理数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是秒（）． ①当时，求的长； ②是否存在这样的值，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由． 动点定值 一、动点距离为定值 二、动点距离差为定值 ， ， 【题型9 数轴上距离定值问题】 【例9】如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足|a＋2|＋(b－8)2＝0，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0） (1) ① 线段AB的中点表示的数为___________ ② 用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________ (2) 求当t为何值时，PQ＝AB (3) 若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长. 【变式9-1】（24-25七年级上·福建三明·期中）定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 【变式9-2】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为9，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)①线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出线段的长． 【变式9-3】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点（B在A点左边），且，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)写出数轴上点B所表示的数______； (2)点P所表示的数______（用含t的代数式表示）； (3)C是的中点，D是的中点，点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由，若不变，请你求出线段的长． 【题型10 数轴上和差定值问题】 【例10】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知数轴上依次有，，三点，若用表示、两点的距离，表示、两点的距离，点对应的数是，点对应的数是20，且． (1)______，点对应的数为______； (2)若点、分别从、两点同时出发，向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了多少秒时，到的距离与到的距离相等？ (3)若点、仍然以（2）中的速度分别从、两点出发，点仍向左运动，点向右运动，动点从点出发也向左运动，点的速度为1个单位长度每秒，三点同时出发，设运动时间为秒，试判断的值是否会随的变化而变化？请说明理由． 【变式10-1】如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点C在线段上一个动点其对应的数为x，请化简式子：．（写出化简过程） (3)点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式10-2】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点B表示的数为b，且，b满足=0 （1）A，B两点对应的数分别为a，b的值． （2）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？ （3）若点A，B以（2）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB−OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值． 【变式10-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）利用有理数的减法，可以计算数轴上两点间的距离．如图，点A在数轴上对应的数为，点B对应的数为2，点C对应的数为，那么线段，的长度可表示为： ， ，于是可以发现这样的结论：在数轴上，如果点A，B对应的数分别为a，b，那么A，B之间的距离就是它们分别对应的数a，b中较大的数减去较小的数的差． (1)试用“有理数的减法”求出图中A，B两点间的距离； (2)在图中的数轴上是否存在点M，使得，若存在，求出所有满足条件的点M对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点N是图中数轴上点A左侧的一点，线段的中点为点Q，点P为线段的三等分点且靠近于点N，当点N在A点左侧运动时，请判断的值是否会变化？如果不变，请直接写出它的值；如果变化，请说明理由． 【题型11 数轴上比为定值问题】 【例11】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）数轴上两个点所对应的数为，，、两点各自以一定的速度同时运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若两点相向而行，在原点处相遇，求点运动的速度； (2)若两点从开始位置上同时按照（）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后， 与原点距离相等？ (3)两点以（）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点出发也向数轴负方向运动，点分别运动到、、，且点总在、两点之间，并在运动过程中始终有（表示点到点的距离），设运动秒钟后，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，请选择正确的结论，并求其值． 【变式11-1】如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B数轴上位于A点左侧一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发． 问点P运动多少秒时，？ 若M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 【变式11-2】（24-25七年级上·全国·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为和，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； (3)若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为的中点，B为的中点，⽆论点P在何处，是否为一个定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【变式11-3】（24-25七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【题型12 数轴上定值求参问题】 【例12】（25-26七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，且a，b满足，表示点A与点B之间的距离． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【变式12-1】（25-26七年级上·吉林松原·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离可用AB表示，，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8． （1）填空：______，______； 【构建联系】 （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若，求t的值； 【深入探究】 （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间，且的值始终是一个定值，直接写出m的值． 【变式12-2】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，所表示的数分别是a，b，，原点O是线段上一点．已知，且，有两条动线段和满足，．初始状态点P与点C重合，点N与点B重合，若线段以每秒2个单位的速度从点C开始沿数轴向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动． (1)直接写出a，b的值； ， ； (2)设运动时间为t秒，当点M运动到点C时，线段，同时停止运动，当C，P，M中某一点为另外两点构成线段的中点时，求时间t的值； (3)当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，直到点M运动到点C时，线段，同时停止运动，设运动时间为t秒，当时，存在两个常数m，n使得的值与t无关，请直接写出m与n的数量关系． 【变式12-3】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、8、12，点是原点，点从点开始以每秒4个单位的原始速度沿着数轴正方向运动，同时，点从点开始以每秒2个单位的原始速度沿着数轴负方向运动，设它们运动的时间为（）．    (1)请用含的式子表示点、表示的数，表示为_____，表示为_____； (2)当点、之间的距离是点、之间的距离的2倍时，求的值； (3)当点运动到点时立即以原始速度的沿着数轴的负方向运动，点到达时立即以原速的2倍速度沿着数轴正方向运动，点返回到点时以原始速度的2倍再次沿着数轴的正方向朝点运动，当点运动到点时，点、均停止运动．请问在、运动过程中是否存在某个时间，使得、两点之间的距离为10？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【题型13 数轴上动线段问题】 【例13】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B，M两点，线段，点D位于原点的右侧且，，点C恰好为线段的中点． (1)数轴上点C，点M表示的数分别是多少？ (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点D到达点M时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点B到达点M时线段停止运动．设线段的运动时间为t秒． ①当点A与点D到原点的距离相等时，求t的值； ②当点D为线段的中点时，直接写出t的值． 【变式13-1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）A，B在数轴上，分别表示数，，且． (1)直接写出的值是 ，的值是 ，线段的长度是 ； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为3秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒． ①求线段的长； ②直接写出线段运动的速度为 个单位长度/秒； ③如图2，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以1个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动．设动线段，以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【变式13-2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）点A，B在数轴上，分别表示数，，． (1)a的值是___________，b的值是___________，线段的长度是___________； (2)如图1，线段的长为定值（点P在点Q的左侧），它在数轴上始终从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点A（即点A在线段上的这段过程）所需的时间为2秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为秒． ①求线段的长； ②线段运动的速度为___________个单位长度/秒； ③如图2，当线段运动到点Q与点A重合时，点C从点P的位置开始也沿数轴向右运动，速度为6个单位长度/秒，当点C和点相遇时，点C立刻以原速度沿数轴向左运动．直接写出点C再次与点相遇时，点C在数轴上表示的数． 【变式13-3】（25-26七年级上·辽宁·期末）已知．如图1，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、-21．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和长度保持不变）． (1)直接依次写出a、b的值：_____，_____； (2)如图2，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段、同时停止运动，t为何值时点Q与点M之间的距离为3个单位长度； (3)如图3，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 方法技巧2：数轴上挡板与往返问题 一个较高速度的动点不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止，在这个运动过程中，虽然不能清晰的分析出这里的运动状态，但是我们可以通过两低速动点相遇时所花费的时间来得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的运动路程。 【题型14 数轴上挡板与往返问题】 【例14】如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，满足．    (1)点A表示的数为______；点B表示的数为______； (2)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离______，乙小球到原点的距离______；当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【变式14-1】（25-26七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【变式14-2】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示、，且与互为相反数，O为原点． 若电子蚂蚁M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， (1) ， ； (2)若电子蚂蚁N向右运动遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动，遇到电子蚂蚁M就会按原速返回，返回至点B后立刻原速向右运动……，循环运动一直到电子蚂蚁M运动到点B处结束，此时电子蚂蚁N的运动路程为 ； (3)电子蚂蚁N到点A后立刻按原来的速度改变方向向左运动，设运动时间为秒． ①求t为何值时，电子蚂蚁M、N与A的距离相同； ②求t为何值时，电子蚂蚁M与N相距4个单位长度，直接写出答案． 【变式14-3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，C点在A、B之间．在A、B、C三点处各放一个挡板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B挡板时，两球均停止运动）． (1)若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A挡板时，N小球也刚好第一次碰到B挡板，求C点所对应的数； (2)若点C所表示的数为25，M、N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到挡板的时间依次为a、b、c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟． ①请直接写出下列时间段内N小球所对应的数（用含t的代数式表示）： 当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ；当时，N小球对应的数为 ； ②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值． (3)若点C所表示的数为25，移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为中点，点F在线段BQ上，且，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？ 【题型15 数轴上的折叠问题】 【例15】（25-26七年级上·海南海口·期中）数轴是数学中“数形结合”的核心工具，它将抽象的数与直观的点一一对应．在折叠数轴的问题中，中点公式是解题的关键：若数轴上表示的点和表示的点重合，则这两点的中点（折痕点）表示的数为我们可以把折叠想象成将数轴沿中点“对折”，此时重合的点到中点的距离相等．下面请结合具体示例，深入理解这一工具的应用： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数分别是多少； 操作三： （3）如图，在数轴上剪下9个单位长度（从到的）一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图①），然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图②）．若这三条线段的长度之比从左到右依次为（如图③），请你求出折痕处对应的点所表示的数是多少． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江金华·月考）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【变式15-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点、、对应的数分别为、、，且、满足，是16的算术平方根．动点从点出发沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为秒． (1)填空：________，________，________，点在数轴上所表示的数为________（用含的代数式表示）； 操作一： (2)以点为折点，向右折叠数轴，使，两点重合，此时所表示的数为________，________； 操作二： (3)以点为折点，向右折叠数轴，若折叠后，两点之间的距离为2，此时________； 操作三： (4)以点为折点，向右折叠数轴，再将第一次折叠后的数轴沿某点继续向右折叠一次，有没有这样的时间使得，两点重合，且点与数轴上的数11重合？若有，请求出符合条件的时间的最大值和最小值；若无，请说明理由． 【变式15-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为15，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．（写出必要的分析过程或画出图形） 【题型16 数轴与有理数的多结论问题】 【例16】（25-26七年级上·四川达州·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为4，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确个数是（    ） ①时，点运动到点；②时，；③在点的运动过程中，线段的长度不变． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式16-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）有下列说法： ①已知a，b，c是不为0的有理数且，则的值为或0． ②若P和Q都是关于x的五次多项式，则也是关于x的五次多项式． ③如果定义，当，，时，的值为． ④若有理数a，b，c在数轴上对应的三点如图所示：则化简的结果为．其中正确的说法是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【变式16-3】（24-25七年级上·广东江门·月考）若点在数轴上代表的数为，则两点之间的距离，则下列说法： 数轴上表示和的两点之间的距离是； 若，点表示的数是，则点表示的数是； 当时，代数式有最小值为； 当代数式取最小值时，的取值范围是； 三个不同的点，，在数轴上代表的数分别为，，，若，则点位于，两点之间． 其中说法正确的个数有（   ）个 A． B． C． D． 【题型17 数轴上的新定义问题】 【例17】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友谊点”．例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“友谊点”． (1)若点，所表示的数分别为1，4，点，所表示的数分别为，5，那么点，的“友谊点”的是点________； (2)若点表示数，点表示数，为线段上一点，且点是点，的“友谊点”，求点表示的数． 【变式17-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则_____； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则_____（填“＝”或“≠”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4．若点在点的左侧，且均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，求点表示的数． 【变式17-2】（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）定义：如图1，点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美分点”． 【理解定义】 （1）若线段，点C是线段的“五美分点”，求线段的长度； 【定义应用】 （2）如图2，点D在射线上，，若点E，F均为线段的“五美分点”，且，点G为线段的中点，求线段的长度； 【定义拓展】 （3）如图3，点D在射线上，．点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P，D，Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时，t的值是多少？ 【变式17-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：若数轴上三个点，，，满足，则称点是的“倍点”．例如：数轴上点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是1，此时，，则，则称点是的“倍点”．如图，已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是6． (1)则原点____________的“倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若点是的“倍点”，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，若点，点同时出发，设点的运动时间为（秒）．当点是的“倍点”时，求时间的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $