专题06 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题06 有理数的乘方与近似数重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型三 将用科学记数法表示的数变回原数 题型四 求一个数的近似数 题型五 求近似数的精确度 题型六 有理数的乘方运算 题型七 计算器——有理数 题型八 有理数乘方逆运算 题型九 乘方运算的符号规律 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 乘方的应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中） ． ． 知识点二： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍．请用科学记数法表示海豚能听到的声音的最高频率（　　） A． B． C．2 D． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）中国是世界第一贸易大国，世界第二大经济体，陆地面积约平方千米居世界第三位．用科学记数法表示为 ． 知识点三： 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）将数用四舍五入法精确到百分位得到的近似数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）的底数是 ． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【经典例题二 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）数据用科学记数法表示为 ． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满 个小立方体容器．（用科学记数法表示） 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【经典例题三 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例3】（2025·安徽宣城·模拟预测）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）一个整数4880…0用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知：，则a表示的数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 求一个数的近似数】 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）最接近4.08万的整数是（   ） A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 4．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？ 【经典例题五 求近似数的精确度】 【例5】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）下列说法错误的是（    ） A．0.350是精确到0.001的近似数 B．3.75万是精确到百位的近似数 C．是精确到千分位的近似数 D．近似数1.20是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 1．（2025七年级·安徽安庆·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．近似数6.9×104是精确到十分位 B．将80360精确到千位为8.0×104 C．近似数17.8350是精确到0.001 D．近似数149.60与1.496×102相同 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）近似数精确到 位． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 4．（2025七年级·安徽安庆·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【经典例题六 有理数的乘方运算】 【例6】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）阅读理解：规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，，通过对以上材料的阅读，计算 ． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【经典例题七 计算器——有理数】 【例7】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 12．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）关于科学计算器的按键顺序：对应的算式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如6731）．用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数．对于新得到的四位数，重复上面的过程，又得到一个新的四位数．一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器帮助你进行探索． 【经典例题八 含有理数乘方逆运算】 【例8】（24-25七年级上·安徽池州·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【经典例题九 乘方运算的符号规律】 【例9】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知的最大值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）计算： 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为（    ） A．2 B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图所示，根据程序计算，若输入的值是，则输出的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）嘉琪编写了一个计算机程序如图所示，若输入的数是2，则输出的数是 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【经典例题十一 算24点】 【例11】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）（　　） A．0 B． C． D． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·安徽池州·模拟预测）规定一种运算，，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料并解决问题： 求的值． 令， 等式两边同时乘2，则， 两式相减得，所以． 依据以上计算方法，计算 ． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算： (1) (2) (3) 【经典例题十三 乘方的应用】 【例13】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 1．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·安徽安庆·模拟预测）设为互不相同的自然数，且，则的最小值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是 ． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）一所学校的学生编号构造为“毕业年份班级学号”，例如“20262919”就为2026届29班19号同学 为方便记录学生作业完成情况，编程社团的小李同学设计了一种识别码，如图1，这种识别码由的正方形网格构造，我们规定第行第列的正方形网格所代表的数据记为，每列编译后为代表信息，第行都代表相同的二进制数位． 每个网格有两种状态，分别为1和0，分别代表当前网格的二进制数位数字．如图2，第1列所代表的数据就计算为 如果学生编号中，毕业年份的前两位为“20”．如图2，第1、2列分别代表的是毕业年份的后两位数字，第3列代表的是班级，第4、5列分别代表学号的两位数字．那么根据这种计算方法，完成下列各题： (1)请计算出图2所代表的学生编号： ． (2)请在图1填写出学生编号为20251406的识别码图象． (3)这种编号系统一直适用吗？请说明理由． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）观察下列算式： ，，，，，，，，… 根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下面三行数： 2，，8，，…；① ，2，，8，…；② 3，，9，，…．③ (1)第①行的数按如下规律排列： ，______，______，______，… (2)第②行的第13个数是______，第③行的第14个数是______． (3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（   ） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）把十进制数47转化为二进制数为 ；把十进制数39转化为二进制数为 ；利用二进制加法计算它们的和为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）我国首艘大洋钻探船“梦想”号是目前全球钴探能力最强、科研实验功能最全、智能化水平最高的超深水钻探科考船，最大钻深可达11000米，标志着中国深海探测技术的重大突破．数据11000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）= ． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 10．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 13．（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 14．（2024七年级上·安徽亳州·专题练习）小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 15．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方与近似数重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 有理数幂的相关概念 题型二 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型三 将用科学记数法表示的数变回原数 题型四 求一个数的近似数 题型五 求近似数的精确度 题型六 有理数的乘方运算 题型七 计算器——有理数 题型八 有理数乘方逆运算 题型九 乘方运算的符号规律 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 乘方的应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数的基本概念，明确指数表示底数相乘的次数是解决本题的关键． 根据指数表示的是底数相乘的次数即可求解． 【详解】根据指数定义，表示2个3相乘，即，故选项A正确， 选项B：，结果不符； 选项C：，结果不符； 选项D：，结果不符． 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中） ． ． 【答案】 1 【分析】本题考查有理数的乘方，掌握“负数的偶数次方为正数，负数的奇数次方为负数”是本题的关键． 负数的偶数次方为正数，负数的奇数次方为负数，据此计算即可． 【详解】解：，． 故答案为：1，． 知识点二： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）人类能听到的声音的最高频率是，海豚能听到的声音的最高频率是人类能听到的声音的最高频率的7.5倍．请用科学记数法表示海豚能听到的声音的最高频率（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据题意，海豚能听到的最高频率为人类最高频率的7.5倍，计算出计算海豚的最高频率，再按科学记数法表示． 【详解】解：人类能听到的声音的最高频率为 ， 所以海豚能听到的声音的频率为 ． 故选A． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）中国是世界第一贸易大国，世界第二大经济体，陆地面积约平方千米居世界第三位．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三： 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）将数用四舍五入法精确到百分位得到的近似数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解一个数的近似数，把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：（精确到百分位）， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数： （精确到百分位）． 【答案】 【分析】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末尾数字实际在哪一位是解题的关键． 根据近似数的精确度把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】用四舍五入法取近似数：． 故答案为：． 【经典例题一 有理数幂的相关概念】 【例1】（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据对数的定义，分别计算和的值，再进行减法运算． 【详解】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数． ，，，因此，即． 计算：同理，求满足的指数． ，因此，即． 求差：． 故选A． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）的底数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答． 【详解】解：的底数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数． 3．（2025七年级上·安徽安庆·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³；（3）(ab)n＝，理由见解析 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) (ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 【经典例题二 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故选C． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）国家统计局发布的新中国75年经济社会发展成就系列报告显示，我国地级以上城市常住人口达到67313万人．将67313万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：67313万． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法表示方法是解题的关键； 指把一个大于(或者小于1)的整数记为“”的形式，其中，为整数； 根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满 个小立方体容器．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；先计算大正方形的体积，再计算小正方形的体积，进而求解即可； 【详解】解：， ； （个）； 故答案为： 4．（24-25七年级上·安徽六安·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【答案】(1) (2)7000吨 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法和除法的运算法则． （1）根据长方体的体积=长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数； （2）根据总重量÷大理石块数=每块大理石的重量列出代数式即可． 【详解】（1）根据题意．得每块大理石的体积， 答：每块大理石的体积为． （2）根据题意，得（千克）（吨） 答：这列火车总共运选了约7000吨大理石． 【经典例题三 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例3】（2025·安徽宣城·模拟预测）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）一个整数4880…0用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， ∴原数中0的个数为5个， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知：，则a表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：47000． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·随堂练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数． （1）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （2）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （3）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （4）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题四 求一个数的近似数】 【例4】（24-25七年级上·安徽滁州·开学考试）最接近4.08万的整数是（   ） A．4.081万 B．40801 C．40891 D．40809 【答案】B 【分析】本题考查数的大小比较，可以先4.08万改写成用“个”作单位的数，再把各选项的数分别与4.08万相减，差最小的最接近4.08万． 【详解】解：4.08万，4.081万 因为， ， ， ， ， 所以最接近4.08万的整数是40801． 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（    ） A．4.004 B．3.995 C．3.994 D．3.95 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入的知识即可求解． 【详解】解：一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是．则这个三位小数最小是 故选：B 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是， 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）下列对取近似数，其中描述正确的是 ．（填序号） ①取近似数是精确到万位； ②取近似数是精确到个位； ③精确到十万位得到的近似数为； ④精确到百位得到的近似数为． 【答案】① 【分析】本题考查了科学记数法与近似数，形如，其中为整数，表示数的方法叫科学记数法，近似数：经过四舍五入得到的数称为近似数．根据近似数的精确度分别进行判断． 【详解】解：①取近似数是精确到万位，故原说法正确； ②取近似数不是精确到个位，故原说法错误； ③精确到十万位得到的近似数为，故原说法错误； ④精确到百位得到的近似数为，故原说法错误； 故答案为：①． 4．（2025七年级上·安徽滁州·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？ 【答案】最大值是4444，最小值是3445，差是999． 【分析】把一个数四舍五入到十位，要将这个数的个位数字四舍五入． 【详解】解：因为一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得数四舍五入到百位，然后又把所得的数四舍五入到千位，这时的数为4×103， 所以这个数最大时千位上的数字为4，最小时千位上的数字为3， 当千位上的数字为3时， 3.445×103四舍五入到十位后的结果为3.45×103， 3.45×103四舍五入到百位后的结果为3.5×103， 3.5×103四舍五入到千位后的结果为4×103， 所以4×103可能是由3445取近似值得到的； 类似的，当千位上的数字为4时， 4×103可能是由4444取近似值得到的， 所以这个数的最大值是4444，最小值是3445， 差：4444﹣3445＝999． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【经典例题五 求近似数的精确度】 【例5】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）下列说法错误的是（    ） A．0.350是精确到0.001的近似数 B．3.75万是精确到百位的近似数 C．是精确到千分位的近似数 D．近似数1.20是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的精确度判断，解题的关键是掌握近似数精确到哪一位的确定方法． 根据近似数精确到某一位的判断规则，对每个选项逐一分析． 【详解】解：A、对于小数0.350，从小数点后第一位开始依次是十分位、百分位、千分位，最后一位数字0在千分位，所以0.350是精确到0.001的近似数，该说法正确； B、3.75万，数字5在百位上，所以3.75万是精确到百位的近似数，该说法正确； C、，此时看5.078中最后一位数字8，在50780中对应的是十位，所以是精确到十位的近似数，而不是千分位，该说法错误； D、近似数1.20是精确到百分位，由数四舍五入得到，根据四舍五入的规则，数的取值范围是，该说法正确． 故选：C． 1．（2025七年级·安徽安庆·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．近似数6.9×104是精确到十分位 B．将80360精确到千位为8.0×104 C．近似数17.8350是精确到0.001 D．近似数149.60与1.496×102相同 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度分析判断即可． 【详解】解：A选项，近似数6.9×104是精确到千位，故该选项不符合题意； B选项，将80360精确到千位为8.0×104，故该选项符合题意； C选项，近似数17.8350是精确到0.0001，故该选项不符合题意； D选项，近似数149.60精确到0.01，1.496×102精确到0.1，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字，把科学记数法形式的数字还原为原数是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）近似数精确到 位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，将数字进行还原，然后再判断精确到的位数即可求解，正确还原数字是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴近似数精确到百位， 故答案为：百． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 4．（2025七年级·安徽安庆·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 【经典例题六 有理数的乘方运算】 【例6】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算（m个3，n个4）的结果是（   ） A． B． C．+4n D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断． 【详解】解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为， ∴计算， 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，乘方运算． 根据尾数的循环性得出结论即可. 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）阅读理解：规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，则 ． 【答案】64 【分析】本题考查新定义下的运算，根据运算规则可知，其实质就是求立方，解题的关键是：读懂题意，明确题目所给新定义的运算顺序和运算法则． 【详解】 由题意得： ∴ 故答案为：64 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义代入求值即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【经典例题七 计算器——有理数】 【例7】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：按键顺序对应的计算列式为， 故选：B． 12．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）关于科学计算器的按键顺序：对应的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学计算器进行计算，根据计算器的按键顺序和按键功能即可得出答案，熟练计算器各个按键的功能是解题的关键． 【详解】解：对应的算式是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据按键顺序列出式子，计算即可，熟知科学计算器，熟练进行运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可列出式子， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）用科学计算器进行以下按键操作，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查计算器．根据科学计算器计算方法作答即可． 【详解】解：由题意可知科学计算器计算的是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如6731）．用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数．对于新得到的四位数，重复上面的过程，又得到一个新的四位数．一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器帮助你进行探索． 【答案】借助计算器尝试几次后会发现，对任何一个各个数位上的数字都不相等的四位数，总能得到6174这一结果，并固定在这一结果上，似乎掉进了一个“黑洞”里． 【分析】根据题目指示进行计算，得出结果并进行分析． 【详解】解：四位数8631 8631−1368＝7263， 7632−2367＝5265， 6552−2556＝3996， 9963−3699＝6264， 6642−2466＝4176， 7641−1467＝6174， 7641−1467＝6174， … 由上可知，最终得到6174这一结果，并且固定在这一结果上． 【点睛】本题是一个探究性题目，可以激发学生的学习兴趣．但在探究时一定记住6174是个数字黑洞这个规律． 【经典例题八 含有理数乘方逆运算】 【例8】（24-25七年级上·安徽池州·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 【经典例题九 乘方运算的符号规律】 【例9】（24-25七年级上·安徽滁州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据题干提供信息准确计算，是解题关键． 【详解】解：第1次输入的x的值是4， 则第1次输出的的值为， 第2次输出的的值为， 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，即可． 【详解】解：，继续输入： ，输出， 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图所示，根据程序计算，若输入的值是，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序计算图，代入即可求解，根据流程图正确计算是解题的关键． 【详解】解：第一次：， 第二次：， ∴输出的值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）嘉琪编写了一个计算机程序如图所示，若输入的数是2，则输出的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确的列出算式是解题的关键；先把2代入程序，所得结果不大于5，再把5代入程序计算即可． 【详解】解：把2代入程序得：， 把5代入程序得：， 输出的数是6， 故答案为：6． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【答案】(1)，， (2)或(为自然数) (3)负数 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是审清题意，根据已知条件进行解答. （1）先判断出3、、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的正整数倍； （3）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律． 【详解】（1）解：因为 所以输入时的程序为， 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； 当输入时，， 所以的相反数是的绝对值是， 所以当输入时，输出； 当输入时,, 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； （2）解：为输出结果是，的相反数及绝对值均为， 当输入的正整数倍时输出结果是； 所以应输入或(为自然数)； （3）解：因为无论输入什么有理数，经过“有理数转换器”的转换，“为正”时输出的倒数为正数，“非正”时输出的绝对值为或正数，所以这个“有理数转换器”不可能输出负数． 【经典例题十一 算24点】 【例11】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案. 【详解】A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误； B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误； C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误； D：无法组成24点，故D正确； 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则. 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故选：A． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 2．（2025·安徽池州·模拟预测）规定一种运算，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料并解决问题： 求的值． 令， 等式两边同时乘2，则， 两式相减得，所以． 依据以上计算方法，计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，仿照题意设，则，进而作差得到，据此可得答案． 【详解】解：设， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号； （3）先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题十三 乘方的应用】 【例13】（24-25七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵ ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵， ∴的末位数字是5． 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，两边同乘以7，再作差，除以6即可； 【详解】解：①， 则②， ②-①得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是模仿题目中给出的计算方法进行计算． 2．（2024七年级·安徽安庆·模拟预测）设为互不相同的自然数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方以及应用．用有理数乘方得出，根据要想最小，即最大，把转化成，则得出m取525，n取3，p取1，进一步即可求出答案． 【详解】解：， 要想最小，即最大， 故， 即m取525，n取3，p取1． 故则的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尾数特征和数字变化类，先通过计算求出尾数的规律，根据规律即可求解，根据已知算式得出规律是解题的关键． 【详解】解：，，，，，， ， ， 的末尾数字为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期中）一所学校的学生编号构造为“毕业年份班级学号”，例如“20262919”就为2026届29班19号同学 为方便记录学生作业完成情况，编程社团的小李同学设计了一种识别码，如图1，这种识别码由的正方形网格构造，我们规定第行第列的正方形网格所代表的数据记为，每列编译后为代表信息，第行都代表相同的二进制数位． 每个网格有两种状态，分别为1和0，分别代表当前网格的二进制数位数字．如图2，第1列所代表的数据就计算为 如果学生编号中，毕业年份的前两位为“20”．如图2，第1、2列分别代表的是毕业年份的后两位数字，第3列代表的是班级，第4、5列分别代表学号的两位数字．那么根据这种计算方法，完成下列各题： (1)请计算出图2所代表的学生编号： ． (2)请在图1填写出学生编号为20251406的识别码图象． (3)这种编号系统一直适用吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)这种编号系统不能一直适用，理由见解析 【分析】本题考查有理数乘方，有理数的加法，有理数的乘法以及图形的变化类，掌握有理数加法、乘法、乘方的运算的方法是正 确解答的关键． （1）根据编码规则以及二进制的计算方法进行计算即可； （2）根据编码规则以及二进制的计算方法将2，5，14，0，6分别用二进制表示即可； （3）根据的正方形网格中的第3列所能表示的最大数进行判断即可． 【详解】（1）解：第1列所代表的数据为：； 第2列所代表的数据为：； 第3列所代表的数据为：； 第4列所代表的数据为：； 第5列所代表的数据为：； 图2所代表的学生编号：； （2）解：∵学生编号为20251406，即2025届14班06号同学， 第1列所代表的数据为：； 第2列所代表的数据为：； 第3列所代表的数据为：； 第4列所代表的数据为：； 第5列所代表的数据为：； ∴编号为20251406的识别码图象如图所示： （3）解：这种编号系统不能一直适用， ∵第3列所能表示的最大数为：， 当班级数 超过31个班时就无法表示出来， ∴这种编号系统不能一直适用． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行的数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行的数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）观察下列算式： ，，，，，，，，… 根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，找出题中个位数出现的规律，即可求出的末位数字，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】解：，，，， ，，，， ， 可 以看出个位数按照、、、的顺序循环出现， ， 是第个循环的最后一个数， 的个位数是 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）观察下面三行数： 2，，8，，…；① ，2，，8，…；② 3，，9，，…．③ (1)第①行的数按如下规律排列： ，______，______，______，… (2)第②行的第13个数是______，第③行的第14个数是______． (3)取每行数的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方，根据数列找出一般规律是解题关键． （1）观察第①行的数发现，奇数个数的符号为正，偶数个数的符号为负，数值为，即可得到答案； （2）观察第②行的数发现，奇数个数的符号为负，偶数个数的符号为正，数值为，观察第③行的数发现，第③行的数是第①行的数，即可得到答案； （3）由上述规律可知，每行数的第9个数分别为，，，计算求和即可． 【详解】（1）解：第①行的数按如下规律排列：，，，，… 故答案为：，，； （2）解：观察第②行的数发现，奇数个数的符号为负，偶数个数的符号为正，数值为， 即第②行的第13个数是， 观察第③行的数发现，第③行的数是第①行的数， 第①行的第14个数是， 第③行的第14个数是， 故答案为：， （3）解：由上述规律可知，每行数的第9个数分别为，，， 则这三个数的和为． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（   ） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方读懂题目信息，理解二进制数的表示方法是解题的关键． 根据十进制中的25相当于二进制中的即可解答． 【详解】解：， 十进制中的25相当于二进制中的， 故选：B ． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）把十进制数47转化为二进制数为 ；把十进制数39转化为二进制数为 ；利用二进制加法计算它们的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了将十进制的数转化为二进制的数，考查了运算求解能力，属于基础题．将十进制的数化为和的形式即可化为二进制的数，利用竖式计算它们的和即可，注意二进制的数是满二进一． 【详解】解：∵， ∴十进制数转化为二进制数为， 同理，， ∴十进制数转化为二进制数为， 列竖式得： ∴它们的和为； 故答案为：；；． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则的值为（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【分析】每个圆圈上的四个数字的和都等于21，则三个大圆圈上的数字之和为63，可得，由于，进而得，再结合即可解决问题．本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个大圆圈上的数字之和为：， 各小圆圈的数字之和为：， 为什么，这是因为、、都加了两次， ， ， ， ， 而各圆圈的数字的平方和为， 为什么呢？ 这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了对题干中“幻方”特征的理解和有理数的乘方运算，根据“每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”建立与的关系式和与的关系式，利用关系式得到与的值，即可解题． 【详解】解：由题知，，整理得， ，整理得， 将，代入中，有． 故答案为：27． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图1是一个“和幻方”，则a=______，b=______； (2)如图2是一个“积幻方”，求的值； (3)如图3是一个“和幻方”，求x的值． 【答案】(1)9，1； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减运算及乘法运算，乘方运算，根据幻方特点，利用和或积相等是解题的关键． （1）根据表知，每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均为15，则由第一横行的和为15，可求得a的值；由第二竖列的和为15，可求得b的值； （2）由表可求得第一横行三个数字的积为8，根据两斜对角线的三个数的积为8可分别求得n与m的值，从而求得结果． （3）设最中间的数为y，则，从而可求得y的值；设右下角的数为t，则，则可得t；设第三行第二列的数为c，则，求得的值，从而得到第二列的三个数，最后可求得x的值． 【详解】（1）解：由，得； 由于，得； 故答案为：9，1； （2）解：第一横行的积为， 则，； 则，． ∴； （3）解：如图，设最中间的数为y，则，解得， 设右下角的数为t，则，． 设第三行第二列的数为c，则，解得． 则第二列3个数的和为． 所以，解得． 3 8 x y 5 c t 1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）我国首艘大洋钻探船“梦想”号是目前全球钴探能力最强、科研实验功能最全、智能化水平最高的超深水钻探科考船，最大钻深可达11000米，标志着中国深海探测技术的重大突破．数据11000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据11000用科学记数法表示为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期末）2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 根据近似数和精确度解答即可． 【详解】解：5059.5亿小数点后一位表示千万位，因此精确到千万位． 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）= ． 【答案】 【分析】根据乘方去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方，注意和的区别． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是 【答案】 【分析】本题主要考查根据计算器计算有理数的混合运算，根据科学计算器按键功能可得． 【详解】解：依题意，计算任务为：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 【答案】千位 【分析】此题考查了近似数的精确度，根据最后一位是千位可得精确度． 【详解】近似数2.9万精确到千位． 故答案为：千位． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【答案】 【分析】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用“”，再写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：， 故答案为：. 10．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制数转化为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据二进制数转化为十进制数的方法，可以将表中“坎”用十进制数表示． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： 2． 11．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值符合，再根据有理数运算法则计算即可求解； （2）先进行括号内计算，再计算乘方，乘法，再计算减法即可求解． 【详解】（1）解：原式， （2）解：原式． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)29 (3)41 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键 （1）先算算乘除法，再计算加减； （2）先算乘方，再算除法化为乘法，再乘法，最后计算加法； （3）先算乘方，再算括号内的，再乘法，最后计算加法； （4）先计算式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得； （5）先算乘方与绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （6）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：∵ ， ∴． （5）解： ． （6）解： ． 13．（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 【答案】(1)输出的值为 (2) 【分析】本题考查了程序流程图，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）将1代入，得，将代入，得．然后输出即可； （2）由，可知输出的值仍为． 【详解】（1）解：将1代入，得， 将代入，得． ∴输出的值为； （2）解：∵， ∴输出的值仍为． 14．（2024七年级上·安徽亳州·专题练习）小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 【答案】小亮的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了近似数，科学记数法，要精确到千位就是科学记数法的标准形式中的末尾数字所在的位置是原数的千位，然后根据四舍五入的原理进行取舍即可求解，掌握科学记数法中的近似数的取值是解题的关键． 【详解】解：小亮的说法正确．理由如下： 把按四舍五入法近似到千位，应该保留到千位，百位后面的舍去，得，所以小亮的说法正确； 而小明先将按四舍五入法近似到百位再按四舍五入法近似到千位是不对的， 故小亮的说法正确． 15．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$