专题04 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

专题04 有理数的加减重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 有理数加法在生活中的应用 题型八 有理数减法的实际应用 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据加法运算的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）观察下面两行数： 每行数的第个数，计算这两个数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律． 观察得到两行数字的变化规律解答即可． 【详解】解：第一行的第个数为， 观察知：第二行的数字等于对应的第一行的数字加， 第一行的第个数为， 每行数的第个数的和是， 故答案为：． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）计算时，运算律用得最合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法结合律可进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）请你写出第②步的计算依据： ……① ……② ……③ ……④ ② ． 【答案】加法的交换律和结合律 【分析】根据第二步交换了加数的位置，把分母相同的两个数放到一起先加，从而可得答案. 【详解】解：第二步交换了加数的位置，把分母相同的两个数放到一起先加， 使用了“加法的交换律与结合律”， 故答案为：加法的交换律和结合律 【点睛】本题考查的是加法的运算律，掌握加法的运算律的使用是解题的关键. 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知一个数与的和是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算法则．根据加数等于和减去另一个加数即可求解． 【详解】解：一个数与的和是， 这个数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算的结果是 ． 【答案】15 【分析】本题考查有理数的减法，根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：15． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）把写成省略加号和的形式为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算．根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是省略加号的和的形式，把括号与括号前面的加号去掉即可． 【详解】解：， 故答案为： 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵互为相反数的两数之和为0， ∴能与相加得0，即：能与相加得0； 故选B． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果，且a，b异号，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数加法运算．根据，，可得、的值，根据、异号，分类讨论，从而可以求得． 【详解】解：，，、异号， ∴，或，， ∴或． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，正确计算是解答本题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球．至少摸出 个球，才能保证有2个颜色不同的球． 【答案】11 【分析】本题考查了抽屉原理．解题的关键是考虑“最不利情况”—— 即先尽可能多地摸出不符合条件的球，在此基础上再摸 1 个，就能保证满足条件． 考虑 “最不利情况”——先将颜色最多的球取出，红球最多，红球都取出，再取1个球即可，需要个． 【详解】解：（个）． 故答案为：11． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值 (2)23 (3)不相等，不满足 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）由题干中的算式归纳运算的法则即可； （2）根据归纳的法则计算即可； （3）根据归纳的法则计算后判断两式结果是否相等即可． 【详解】（1）解：由题干中的算式可得运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解： ， 则与不相等，运算不满足结合律， 故答案为：不满足． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）若x>0，y<0，且，则x+y一定是（  ） A．负数 B．整数 C．0 D．无法确定符号 【答案】A 【分析】根据有理数加法法则解答． 【详解】∵x>0，y<0，且， ∴x+y<0， 故选：A． 【点睛】此题考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加等于0． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若，，则是 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】正数 【分析】首先根据有理数的减法法则可得，再根据b＜0，可判断出-b＞0，然后根据有理数的加法法则：同号两数相加取相同的符号，再把绝对值相加可判断出答案． 【详解】解：a-b=a+（-b）， ∵b＜0， ∴-b＞0， 又∵a＞0， ∴a+（-b）＞0， ∴a-b＞0， 故答案为：正数． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法和减法，关键是掌握熟练掌握有理数的加、减法法则． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）学习了有理数的加法后，乐乐同学画出了下图进行知识梳理，请问图中处应填 ． 【答案】取绝对值较大的加数的符号 【分析】根据异号有理数加法法则进行回答即可． 【详解】解：两个异号的有理数相加，取绝对值较大的符号作为和的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【点睛】此题主要考查了异号有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）下列两个有理数相加：①两个正数；②两个负数；③一正一负，但正数的绝对值较大；④一正一负，但正数的绝对值较小；⑤零与正数；⑥零与负数；那么， （1）和为正数的是（填入代号，下同）_____________； （2）和为负数的是_____________； （3）和的绝对值等于加数绝对值的和的是_____________； （4）和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是_____________； （5）和等于其中一个加数的是_____________ 【答案】（1）①、③、⑤；（2）②、④、⑥；（3）①、②、⑤、⑥；（4）③、④、⑤、⑥；（5）⑤、⑥． 【分析】根据有理数加法法则解答即可． 【详解】解：（1）∵同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加都为本身． ∴两个正数相加和是正数；一正一负相加，正数的绝对值较大，和为正数；零与正数相加，仍得这个正数；所以和为正数的是①、③、⑤； 故答案为：①、③、⑤ （2）∵同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加都为本身． ∴负数相加，和为负数；一正一负相加，正数的绝对值较小，和为负数；零与负数相加，仍得这个负数；所以和为负数的是②、④、⑥；故答案为：②、④、⑥ （3）∵同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；任何数与零相加都为本身． ∴和的绝对值等于加数绝对值的和的是①、②、⑤、⑥；故答案为：①、②、⑤、⑥ （4）∵异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相减都为本身 ∴和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是③、④、⑤、⑥；故答案为：③、④、⑤、⑥ （5）∵任何数与零相加均为本身 ∴和等于其中一个加数的是⑤、⑥．故答案为：⑤、⑥． 【点睛】本题考查有理数的加法法则，解题关键是熟悉加法法则：同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加都为本身． 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法交换律进行解答即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数加法交换律，熟练掌握相关运算律是解本题的关键． 1．（24-25七年级·安徽六安·期中）计算时，运用了加法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 【答案】D 【分析】计算，先运用加法交换律把6和10的位置-4和-8与交换，然后根据加法结合律把正数和负数分别结合在一起． 【详解】解：0 =（加法交换律） = （加法结合律） 故选：D． 【点睛】本题是考查加法交换律与结合律的应用，属于基础知识，要掌握． 2．（2024七年级上·安徽池州·专题练习）填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键． 4．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法法则，相反数，熟练掌握用字母表示法则是解题的关键． 根据减法法则以及相反数的定义判断即可． 【详解】解：有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数， 用字母表示为， 所以甲同学表示正确． 故选：A． 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数，有理数加法应用，解题的关键是正确理解有理数的加法法则，本题属于基础题型． 根据向左（负方向）移动7个单位长度记作，向右移动2个单位长度记作，有理数的加法意义列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算时，再加上 后，结果就是1． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法与减法运算，根据题目给的数据发现前一个数是后一个数的两倍，计算即可． 【详解】解： ， 即计算时，再加上后，结果就是1． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）用符号表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的大小比较，有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义，比较两数大小，找到较大者即可； （2）分别根据定义得到答案，然后计算有理数的减法即可． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）观察M、N在数轴上的对应点4与间的距离．并回答下列各题： (1)你能发现：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与6在数轴上的对应点的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数是x，点B表示的数是，则A与B两点间的距离可以表示为_______． (3)结合数轴，求得的最小值为_______． (4)若x满足，则x的值为_______． 【答案】(1)8 (2) (3)5 (4)或4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离、分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，用右边的数减去左边的数即可； （2）根据题意，与两点间的距离表示为，整理式子即可； （3）根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”，故当时，的值最小，计算即可； （4）由（3）知，的最小值5；可知分“当时”和“当时”两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：8； （2）解：根据题意，与两点间的距离表示为， 故答案为：； （3）解：根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为； （4）解：∵由（3）知，的最小值5， ∴； ∴当时，； 当时，． 综上所述，x的值为或4． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）按如图所示的程序输入进行计算，请写出输出结果（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减运算法则；根据程序列算式计算求解即可． 【详解】解：把代入程序中得：， 把0代入程序中得：， 把2代入程序中得：， 输出结果为4， 故选：． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）不改变原式的值，把写成省略加号与括号的和的形式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据有理数加法法则与减法法则进行化简即可． 【详解】解：依题意，把写成省略加号与括号的和的形式为， 故选：C 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，   ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加减，根据已知图形找出一般规律是解题关键． 根据题意发现一般规律  ，进而即可求解． 【详解】解：由图形可知，， ， ， 发现一般规律，  ， 则  ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）众所周知，六点五十五分可以说成七点差五分，有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算= ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．先根据新定义计算出，，再相减即可． 【详解】解：根据新的加减记数法可得，， ， ∴． 故答案为：2022． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，正确的是（    ） A． B．5 C．19 D． 【答案】A 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目定义的运算，将原式给展开，可以化简成，算出结果． 【详解】解：∵a※b=， ∴1※2+2※3+3※4+…+2019※2020 = = =． 故答案为：D． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】化为，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算中的简便运算，掌握解法是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）计算：已知，在此条件下，计算：… ． 【答案】 【分析】由绝对值的结果为非负数，且两非负数之和为可得两个绝对值同时为，可得且，把代入可求出的值为，把求出的与代入所求的式子中，利用把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值． 【详解】解：，，且， 且， 解得且， 把代中， 解得， 则 ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【经典例题七 有理数加法在生活中的应用】 【例7】（2025·安徽·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数加法运算，熟练掌握正负数的实际应用和有理数加法运算法则是解题的关键． 根据题意，将当日微信账单的各项收支相加并计算结果，再根据“正数表示收入，负数表示支出”即可得解． 【详解】解：， 即小华当天微信收支的最终结果是收入元， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）某校学生参加社会大课堂活动，来到艺术品工作坊，老师让每两个同学组成一组，共同制作A，B，C三件工艺品．制作要求：每人同一时间只能制作一件工艺品；每件工艺品需先由甲进行塑形，再由乙进行上色．甲、乙两位同学合作完成三件工艺品，已知每位同学完成每件工艺品各自工序需要的时间（单位：）如下： A B C 甲 6 4 3 乙 4 7 5 （1）若按照的顺序制作，总时长最少为 ； （2）若要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，请写出一种满足条件的制作顺序 ． 【答案】 22 （答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （1）根据题目所给的顺序制作，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序制作，总时长最少为． 故答案为：22； （2）由（1）得，按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 按照的顺序制作，总时长最少为； 要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，满足条件的制作顺序为或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【详解】解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为______； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)16米 【分析】本题考查了正负数在生活中的应用，有理数的混合运算的应用； （1）根据题干向右为正，向上为正，则点D到点C为先向左格再向上格； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，计算出最终在左右方向上和上下方向上移动的格数，即可解答； （3）把所有的绝对值相加就是总路线． 【详解】（1）解：根据题意：从点D到点C记为； （2）解：，， 则扫地机器人最终向右移动2格，向上移动2格， 如图，点即为所求． （3）解：（米）． 答：扫地机器人在此次运动过程中共走了16米． 【经典例题八 有理数减法的实际应用】 【例8】（2025·安徽滁州·模拟预测）某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴上两点间的距离． 将各个城市的温度从小到大排列，再比较与济南接近的两个城市，即可解答． 【详解】解：∵，且， 即， ∴北京与济南气温最接近． 故选B． 1．（2025七年级上·安徽蚌埠·专题练习）某测绘小组的技术员要测量A，B两处的高度差（A，B两处无法直接测量），他们首先选择了D，E，F，G四个中间点，并测得它们的高度差如下表： 4.5 -1.7 -0.8 1.9 3.6 根据以上数据，可以判断A，B之间的高度关系为（　　　） A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A，B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题目所给的条件分别计算出A处比F处高多少，B处比F处高多少，即可选出答案． 【详解】根据题意，得： = = 将表格中数值代入上式，得 ∵1.5>0 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，去括号时注意符号变号问题是本题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）我国新疆境内，有海拔约为的乔戈里峰，还有海拔约为的吐鲁番艾丁湖，乔戈里峰比吐鲁番艾丁湖高 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用即可求解，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意可得： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是 米． 【答案】 【分析】用珠穆朗玛峰的峰顶高度减去最低高度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 4．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）新情境  2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在梦天实验舱开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行授课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，得到下表： 成绩（分） 频数 7 12 16 6 (1)求的值； (2)在这次测试中，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______； (3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】(1)9 (2) (3)测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．（答案不唯一，合理均可） 【分析】本题主要考查了频数分布表的知识，解题关键是熟练掌握相关知识． （1）利用学生总数减去其它各组学生人数，即可获得答案； （2）利用成绩不低于80分的人数除以学生总人数乘以，即可求得答案； （3）根据统计数据，对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价即可． 【详解】（1）解：， 即的值为9； （2）， 即在这次测试中，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为． 故答案为：； （3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好． 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例9】（2025·安徽合肥·模拟预测）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可．·· 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有10袋小麦称后记录如图所示（单位：kg），如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计是超过（记作正数）或不足（记作负数）多少千克，其中正确答案是（    ） A．5.3kg B．5.4kg C．-5.3kg D．-5.4kg 【答案】B 【分析】计算各袋超过或不足的千克数，得到这10袋小麦总计超过或不足多少千克数． 【详解】解：91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1重新记录如下： 1、1、1.5、-1、1.2、1.3、-1.3、-1.2、1.8、1.1， 1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（千克）， 即10袋小麦总计是超过5.4千克， 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确超出部分为正数，不足部分为负数． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）4路公交到A站下了15人上了17人，到了B站又下了13人，车上还有21人．4路公交车上原有 人． 【答案】32 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算的应用，读懂题意正确列式是解题的关键． 利用有理数的混合运算计算． 【详解】解：（人）． 故答案为：32． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是 ． 5 7 【答案】1 【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 故答案为：1． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． (1)小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 (2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ (3)小甲虫离出发点最远多少厘米？ 【答案】(1)小甲虫最后回到了出发点O，见解析 (2)162粒芝麻 (3)10厘米 【分析】本题主要考查正数和负数． （1）把爬过的路程记录相加，即可得解； （2）求出爬行过的各段路程的绝对值的和，再求得到的芝麻粒数； （3）分别计算出每次爬行后距离原点的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得：向右爬行的路程记为“”，向左爬行的路程记为“”．则小甲虫最后离开出发点的距离是： ， 答：小甲虫最后在点O的，即小甲虫最后回到了出发点O； （2）解：小甲虫从离开出发点开始走的路程是： （厘米） 在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是： （粒）， 答：在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是162粒芝麻； （3）解：， ， ， ， ， ， ∴小甲虫在爬行过程中离出发点O最远相距为10厘米． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．根据题意可分析出这20数的和的个位数为0，经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，据此即可确定答案． 【详解】解：， 这20数的和的个位数为0， 经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数， 或， 另一个数是或6． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． 图1中第8行第5个数是 ；图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10，记第n层的圆球数记，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的加减法，解题关键是观察图形的变化发现数字规律． ①根据从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和即可解决问题； ②根据题意得到于是得到求得于是得到结论． 【详解】解：①由题意可得：第行第个数是： 故答案为：； ②由题意得： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【答案】（）；；；（）；． 【分析】（）根据题意可知，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （）根据题意可去绝对值得到，由有理数加减运算法则求解即可； 根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可； 本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意，掌握去绝对值的方法是解题的关键． 【详解】解：（）； ； ； 故答案为：；；； （）解：原式 ， 故答案为：； 解：原式 ． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近的点是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】本题考查数轴以及线段，解题的关键是掌握数轴上点的意义． 先求出，再得出，进而得出各个点表示的数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴点B对应的数为，点C对应的数为，点D对应的数为，点E对应的数为， 点C与的距离为， 点D与的距离为， ∵， ∴最接近的点是点D， 故选：C． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是 ； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数 的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是 和 ． 【答案】 3 6或/或6 0 1012 【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是6或； 故答案为：6或； （3）∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对折点是表示的点， ∵， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）∵M、N两点之间的距离为2026且互相重合， ∴， ∵由（3）知对折点为，点在点的左侧， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为：；1012． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为． (1)数轴上表示2和8两点之间的距离是_____，数轴上表示3和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____． (3)当时，求的值． 【答案】(1)6，4 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴与绝对值的概念的应用，有理数的加减法，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据题意即可求解； （3）根据题意得出即为到1距离为3的点，即可解答； 【详解】（1）解：数轴上表示2和8两点之间的距离是， 数轴上表示3和的两点之间的距离是． 故答案为：6，4； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为或， 故答案为：或； （3）解：根据题意可表示为的两点之间的距离为3， 故即为到数字1距离为3的点， 或． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b-c|等于（） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，可得：a＝−1，b＝0，c＝1，据此求出|a＋b-c|等于多少即可． 【详解】解：∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数， ∴a＝−1，b＝0，c＝1， ∴|a＋b-c|＝|−1＋0-1|＝|−2|=2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数加减混合运算以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： （1） ； （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算及绝对值的意义，熟练掌握有理数的加减混合运算及绝对值的意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义可直接进行求解； （2）利用绝对值的意义及有理数加减混合运算可直接进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）阅读材料： 因为一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如；当时，，如． 根据以上信息完成下列问题： (1)___________；___________； (2)计算：． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算： （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：；， 故答案为：2；； （2）解： ． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 【答案】 4 【分析】本题考查了时间的计算，推理与论证； （1）根据题意明明有3个小时即180 分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为、的时间和为 90 分钟，根据表格数据解答即可． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为（15 分钟），（30 分钟），（45分钟），（60 分钟），（60 分钟），（90 分钟）最多可以参观完、B、C、A等4个展馆用时150分钟． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观展馆 90 分钟，正好去参观展馆30分钟，正好去参观展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 故答案为：4；． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2)见解析 (3)米，下降了，下降了0.8米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，， 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）我们定义一种新运算，规定：图表示，图形 表示，则 +的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查有理数加减混合运算，新定义，理解新定义是解题的关键． 根据新的定义列出算式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是关键． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求和，再计算即可． 【详解】（1）解：☆ ． 故答案为：； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，先根据题意，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵m，n异号， ∴，，或，， ∴或； 故选：D． 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）定义新运算：对于，规定为之间(包括）所有整数之和，如，那么末两位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是定义新运算和有理数的加法，根据定义的新运算，确定整数范围并求和，计算末两位数即可，弄清新运算是解题的关键． 【详解】解：由于，，且运算包含和之间的所有整数，而不是整数， ∴实际取到之间的整数， ∴ ， ∴的末两位数为， 故选：． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为7，再根据“方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，”即可求解． 【详解】解：∵九宫格数字总和为， ∴区域①和区域②以外的3个格子中的数字之和为， ∵， ∴阴影格子中最大数字可能是4， 故选：A． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）填空： 【答案】7． 【分析】有理数的加法法则异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用加大的绝对值减去较小的绝对值-6=-（13-7）=7-13． 【详解】根据有理数的加法中异号相加的法则， _7__． 故答案为：7． 【点睛】本题考查有理数加法的符号符号法则问题，掌握有理数加法的符号法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，会判断有理数加法的符号，会求一个数的绝对值，会比较大小是解题关键． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）把式子改写成省略括号的和的形式： ． 【答案】-3-6-4+5 【分析】利用去括号法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=-3-6-4+5， 故答案为：-3-6-4+5． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 9．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，在给出的数轴中，点表示1，点表示-2． （1）A，B之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5的点表示的数是 ； （3）如果表示数的点在原点的左边，那么是一个 数． 【答案】 3 或6 负 【分析】本题主要考查了正负数，数轴上两点之间的距离．有理数减法运算等知识． （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可． （2）根据数轴上两点之间的距离求解即可． （3）根据正负数的定义回答即可． 【详解】解：（1）点A表示1，点B表示为， ∴A，B之间的距离是， 故答案为：3． （2）点A表示1，与点的距离为5在点A左边的数为， 与点的距离为5在点A左边的数为6， 故答案为：或6 （3）如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数． 故答案为：负． 10．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数的加法，根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴色， ∴红， 故答案为：9． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)82； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（2024七年级上·安徽阜阳·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 根据有理数加法结合律和加法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的加法以及其运算律，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则及其运算律． 13．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查实数比较大小，实数的减法，掌握实数比较大小的方法是解题的关键． （1）当时，最大数是3，最小数是，根据有理数的减法法则即可求解； （2）当时，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴最大数是3，最小数是，它们的差是：； （2）解：当时，，，， ∵， ∴． 14．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律 (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算即可； （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律； （2） 15．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 20 -3 -10 -3 2 9 6 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少了_____万人； (2)在10月1日至10月7日期间，10月_____日客流量最多，10月_____日客流量最少； (3)与9月30日相比，10月5日的客流量是上升了还是下降了?变化了多少? 【答案】(1)13 (2)7；4 (3)上升了6万人 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别计算出游客相对于10月3日的人数即可求解； （2）根据10月1日至10月7日游客人数即可得到结论； （3）分别计算出游客相对于9月30日的人数即可求解． 【详解】（1）解：1日：； 2日：； 3日：； 4日：； 5日：； 6日：； 7日：， 10月3日的客流量比10月1日的客流量少13万人， 故答案为：13； （2）解：在10月1日至10月7日期间，10月7日客流量最多，10月4日客流量最少， 故答案为：7；4； （3）解：与9月30日相比，10月5日的客流量是上升了，变化了6（万人）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加减重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 有理数加法在生活中的应用 题型八 有理数减法的实际应用 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）若，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）观察下面两行数： 每行数的第个数，计算这两个数的和是 ． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）计算时，运算律用得最合理的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·课后作业）请你写出第②步的计算依据： ……① ……② ……③ ……④ ② ． 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知一个数与的和是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算的结果是 ． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）把写成省略加号和的形式为（        ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）式子写成省略括号和加号的形式是 ． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）能与相加得0的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果，且a，b异号，则的值为（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球．至少摸出 个球，才能保证有2个颜色不同的球． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义☆运算，观察下列运算： ，， ，， ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________． 特别地：0和任何数进行运算，或任何数和0进行☆运算，________． (2)计算：． (3)试通过计算说明与相等吗？运算____结合律．（填“满足”，“不满足”） 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）若x>0，y<0，且，则x+y一定是（  ） A．负数 B．整数 C．0 D．无法确定符号 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）若，，则是 ．（填“正数”或“负数”） 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）学习了有理数的加法后，乐乐同学画出了下图进行知识梳理，请问图中处应填 ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）下列两个有理数相加：①两个正数；②两个负数；③一正一负，但正数的绝对值较大；④一正一负，但正数的绝对值较小；⑤零与正数；⑥零与负数；那么， （1）和为正数的是（填入代号，下同）_____________； （2）和为负数的是_____________； （3）和的绝对值等于加数绝对值的和的是_____________； （4）和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是_____________； （5）和等于其中一个加数的是_____________ 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级·安徽六安·期中）计算时，运用了加法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律与结合律 2．（2024七年级上·安徽池州·专题练习）填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 3．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 4．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算时，再加上 后，结果就是1． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）用符号表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）观察M、N在数轴上的对应点4与间的距离．并回答下列各题： (1)你能发现：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与6在数轴上的对应点的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数是x，点B表示的数是，则A与B两点间的距离可以表示为_______． (3)结合数轴，求得的最小值为_______． (4)若x满足，则x的值为_______． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）按如图所示的程序输入进行计算，请写出输出结果（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）不改变原式的值，把写成省略加号与括号的和的形式为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽池州·期中）观察图形  ，  ，  ，找规律，根据规律，   ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）众所周知，六点五十五分可以说成七点差五分，有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算= ． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，正确的是（    ） A． B．5 C．19 D． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）计算：已知，在此条件下，计算：… ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【经典例题七 有理数加法在生活中的应用】 【例7】（2025·安徽·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）手机移动收付款给生活带来便捷．下图是小华某天手机移动收付款账单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用手机移动收付款的最终结果是（   ） 王某某转账                 扫二维码付款给早餐店     扫二维码付款给出租车     A．收入元 B．支出元 C．收入6元 D．支出5元 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）某校学生参加社会大课堂活动，来到艺术品工作坊，老师让每两个同学组成一组，共同制作A，B，C三件工艺品．制作要求：每人同一时间只能制作一件工艺品；每件工艺品需先由甲进行塑形，再由乙进行上色．甲、乙两位同学合作完成三件工艺品，已知每位同学完成每件工艺品各自工序需要的时间（单位：）如下： A B C 甲 6 4 3 乙 4 7 5 （1）若按照的顺序制作，总时长最少为 ； （2）若要求三件工艺品加工完成的总时长不超过，请写出一种满足条件的制作顺序 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为______； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 【经典例题八 有理数减法的实际应用】 【例8】（2025·安徽滁州·模拟预测）某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 1．（2025七年级上·安徽蚌埠·专题练习）某测绘小组的技术员要测量A，B两处的高度差（A，B两处无法直接测量），他们首先选择了D，E，F，G四个中间点，并测得它们的高度差如下表： 4.5 -1.7 -0.8 1.9 3.6 根据以上数据，可以判断A，B之间的高度关系为（　　　） A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A，B两处一样高 D．无法确定 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）我国新疆境内，有海拔约为的乔戈里峰，还有海拔约为的吐鲁番艾丁湖，乔戈里峰比吐鲁番艾丁湖高 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图所示，大陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是 米． 4．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）新情境  2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在梦天实验舱开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行授课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，得到下表： 成绩（分） 频数 7 12 16 6 (1)求的值； (2)在这次测试中，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______； (3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价． 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例9】（2025·安徽合肥·模拟预测）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有10袋小麦称后记录如图所示（单位：kg），如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计是超过（记作正数）或不足（记作负数）多少千克，其中正确答案是（    ） A．5.3kg B．5.4kg C．-5.3kg D．-5.4kg 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）4路公交到A站下了15人上了17人，到了B站又下了13人，车上还有21人．4路公交车上原有 人． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数之和都相等，则图中“”代表的数字是 ． 5 7 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． (1)小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 (2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ (3)小甲虫离出发点最远多少厘米？ 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（    ） A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． 图1中第8行第5个数是 ；图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10，记第n层的圆球数记，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近的点是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是 ； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数 的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是 和 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期中）如图，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，两点之间的距离表示为或，记为． (1)数轴上表示2和8两点之间的距离是_____，数轴上表示3和的两点之间的距离是_____． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____． (3)当时，求的值． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b-c|等于（） A．-1 B．1 C．0 D．2 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： （1） ； （2）计算： ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）阅读材料： 因为一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如；当时，，如． 根据以上信息完成下列问题： (1)___________；___________； (2)计算：． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 3．（24-25七年级上·安徽宣城·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 2．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）我们定义一种新运算，规定：图表示，图形 表示，则 +的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 2．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）定义新运算：对于，规定为之间(包括）所有整数之和，如，那么末两位数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下方九宫格中为从1到9不重复的9个自然数，若区域①的两数之和为11，区域②的四个数之和为27，则阴影格子中最大数字可能是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）填空： 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）把式子改写成省略括号的和的形式： ． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 9．（2024七年级上·安徽安庆·专题练习）如图，在给出的数轴中，点表示1，点表示-2． （1）A，B之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5的点表示的数是 ； （3）如果表示数的点在原点的左边，那么是一个 数． 10．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 ． 4 红 色 基 因 7 8 1 6 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024七年级上·安徽阜阳·专题练习）计算： 13．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知实数，，． (1)当时，计算最大数与最小数的差； (2)当时，试判断这三个数的大小关系． 14．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 15．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 20 -3 -10 -3 2 9 6 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少了_____万人； (2)在10月1日至10月7日期间，10月_____日客流量最多，10月_____日客流量最少； (3)与9月30日相比，10月5日的客流量是上升了还是下降了?变化了多少? 学科网（北京）股份有限公司 $$