精品解析：广东省惠州市惠东县2024-2025学年下学期八年级数学期末考试

2024-2025学年第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，故原式是最简二次根式，符合题意； B、，故原式不是最简二次根式，不符合题意； C、，故原式不是最简二次根式，不符合题意； D、，故原式不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟知定义是解本题的关键． 2. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，勾股定理逆定理，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．根据三角形的内角和等于，各个角之间的数量关系，根据边之间的等量关系，结合勾股定理逆定理来判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴能判定为直角三角形； B．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； C．∵， ∴， ∴能判定为直角三角形； D．∵， ∴， ∴不能判定为直角三角形． 故选：D． 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A. 无法直接合并，结果不等于，故错误； B. ，计算正确； C. ，算术平方根结果非负，故等于错误； D. ，结果应为而非，故错误； 故选：B． 4. 某市测得一周的日均值（单位：微克每立方米）为：50，40，75，50，37，50，40．这组数据的众数是（ ） A. 75 B. 50 C. 40 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 根据众数的定义求解即可. 【详解】解：数据50出现了三次最多，所以众数为50； 故选：B. 5. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连结．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的判定与性质、平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：A． 6. 一次函数与轴相交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 无法求解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对应方程的解，据此即可解答． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， 关于的方程的解为， 故选：C． 7. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 三边对应相等的两个三角形全等 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题和命题真假判断，先求出逆命题，再根据平行线的性质，全等三角形的判定，直角三角形锐角互余判断即可． 【详解】解：A：原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”．根据平行线判定定理，逆命题成立． B：原命题“三边对应相等的两个三角形全等”的逆命题为“全等的两个三角形三边对应相等”．由全等三角形的定义，逆命题成立． C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．若两锐角之和为，则第三个角为，故逆命题成立． D：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．当时，成立但，逆命题不成立． 故选：D． 8. 若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图像．由点，，在同一个函数图像上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而减小，继而求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点与点关于轴对称， 即这个函数图像关于轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵，， ∴当时，随的增大而减小， 故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 9. 如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，据此求出杯子的高度以及筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长，再利用勾股定理求出底面直径即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，h最大值是筷子的长度减去杯子的高度，则杯子的高度为 h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，则筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长为， ∴圆柱形水杯的底面直径为， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 把一次函数向上平移3个单位长度后，得到对应的函数表达式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数图象平行的规律“上加下减”即可确定平移后的直线表达式． 【详解】解：把一次函数向上平移3个单位长度，得到函数解析式为， 即． 故答案为：． 13. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 14. 如图，在中，对角线交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．根据平行四边形的性质可得，，，又由可得，即可求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴,  ∵的周长为， ∴平行四边形的周长是， 故答案为：16． 15. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】作BE⊥AD，垂足为E，在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10），结合运动轨迹及运动图象得出AB=6，BD=6，AD=AP=10，然后利用等腰三角的性质得出AE=DE=5，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作BE⊥AD，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10）， 当点P从点A运动到点B时，对应于OM线段， ∴AB=x=6， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线MN， ∴AB+BD=x=12， ∴BD=6， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴AD=AP=y=10， 在∆ABD中， AB=BD=6，AD=10，BE⊥AD， ∴AE=DE=5， 在Rt∆ABE中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的除法，同时化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，推出，进而得到，证明，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】解：∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 18. 如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）连接，则是__________三角形，请写出推理过程． （2）点C到的距离是__________． 【答案】（1）直角，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 直角三角形； 【小问2详解】 ， ，即， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热．某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，计划组织学生进行“人工智能知识竞赛”．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，让他们进行了十次模拟答题，并绘制了如下的成绩统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩（分） 中位数（分） 方差（分2） 甲 96 8.6 乙 96 96 （1）求与的值； （2）若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则乙成绩的方差将_____（填“变大”、“变小"或“不变”）． （3）假如你是王老师，你会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由． 【答案】（1）， （2）变小 （3）选择乙去参加比赛，理由见解析． 【解析】 【分析】此题考查了中位数、方差、平均数等统计量、方差的意义、折线统计图等知识，准确求解相关统计量是关键． （1）利用中位数和方差定义进行解答即可； （2）计算出变化后的方差，与原方差比较即可得到答案； （3）根据方差和平均数等统计量的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解：甲的成绩从小到大排列如下：91,92,94,95,95,97,98,99,99,100 ∴甲的中位数 乙的成绩从小到大排列如下：94,95,95, 96,96, 96,96,97, 97,98 乙的方差 故答案为：， 【小问2详解】 若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则 乙成绩的平均数仍然为， 乙成绩的方差为 ∵， ∴乙成绩的方差将变小， 故答案为：变小 【小问3详解】 选择乙去参加比赛，理由如下：甲和乙平均数相同，甲的方差大于乙的方差，乙成绩比较稳定， ∴应该选择乙去参加比赛． 20. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 21. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 【答案】（1） （2）15分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，直线与坐标轴交于、两点，直线与直线交于，与轴交于点． （1）求的值及直线的解析式； （2）点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2．求点的纵坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数，已知横坐标求纵坐标，利用待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中三角形面积的计算，一线三等角模型，由象限确定点的坐标． （1）将点横坐标代入解析式求得纵坐标，将、坐标分别代入解析式，求出系数； （2）将通过轴分为与，以作为两个三角形的底边，以、两点到轴的距离作高，用两个三角形的面积和表示的面积； （3）根据条件作图，求纵坐标即要求出点到轴的距离，作轴的垂线段，由一线三等角证明全等，得到长度，根据象限确定坐标值． 【小问1详解】 解：直线与坐标轴交于、两点，直线与直线交于点， 将点的坐标代入解析式中得：， 点， 直线与直线交于点，与轴交于点，设直线， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：点是轴负半轴上一点，当的面积为时，如图1，连接、， 直线与坐标轴交于、两点， 当时，得：，解得， 当时，得：， ，， 设， ， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段， 为等腰直角三角形， ， 过点作轴于点，如图2， ，， ， 在与中 ， ， 点在第四象限， 点的纵坐标为. 23. 综合探究 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出的结论是．而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图①，取的中点，连接，证明．从而得到． （1）请你根据小明的想法，写出证明过程； 【问题解决】 （2）如图②，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”（不与点重合），其余条件不变，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 （3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5或． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据ASA即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）在上截取，连接，同（2）根据ASA即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得结论． （3）分两种情况：当点E在边上时，当E在的延长线上时，根据（2）问的结论，当E在的延长线上的任意一点，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接，证明，得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图①中，取的中点，连接， 四边形正方形， ，． 是边中点，G是边的中点， ，． ． ， ， 是正方形外角的平分线，． ． ， ． ， ． ． ． （2）成立，理由如下：如图②在上截取，连接． 四边形是正方形， ，， ， ，， ，． 是正方形外角的平分线， ． ． ， ． ， ． ． ． （3）分以下两种情况讨论：①如图③，当点E在边上时， 四边形是正方形， ，． ， ． 由勾股定理，得． 由（2）可知，． ． ②如图④，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接． 是等腰直角三角形且， ． ， ， ． ． 四边形是正方形， ，． ， ． 由勾股定理，得． ． 综上所述，的长为5或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件不能够判定为直角三角形的是（ ） A. B. C ，， D. 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某市测得一周的日均值（单位：微克每立方米）为：50，40，75，50，37，50，40．这组数据的众数是（ ） A 75 B. 50 C. 40 D. 37 5. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连结．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一次函数与轴相交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 无法求解 7. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 三边对应相等的两个三角形全等 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 若，则 8. 若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. 把一次函数向上平移3个单位长度后，得到对应的函数表达式为______． 13. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 14. 如图，在中，对角线交于点，过点作垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是______． 15. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为_____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）连接，则是__________三角形，请写出推理过程． （2）点C到距离是__________． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热．某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，计划组织学生进行“人工智能知识竞赛”．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，让他们进行了十次模拟答题，并绘制了如下的成绩统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩（分） 中位数（分） 方差（分2） 甲 96 8.6 乙 96 96 （1）求与的值； （2）若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则乙成绩的方差将_____（填“变大”、“变小"或“不变”）． （3）假如你是王老师，你会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由． 20. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 21. 某餐厅为了追求顾客消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，直线与坐标轴交于、两点，直线与直线交于，与轴交于点． （1）求的值及直线的解析式； （2）点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2．求点的纵坐标． 23. 综合探究 【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论． 经过探究，小明得出的结论是．而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图①，取的中点，连接，证明．从而得到． （1）请你根据小明的想法，写出证明过程； 【问题解决】 （2）如图②，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”（不与点重合），其余条件不变，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 （3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$