精品解析：广东省惠州市惠东县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末教学质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的概念，根据正比例函数的表达式即可求解． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，得到AE=AB=3，即可求出DE=DF=AD-AE=5-3=2． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF=∠F，∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF， ∴AE=AB=3， ∴DF=DE=AD-AE=5-3=2， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4. “1000米跑”是体育中考男生必考项目，体育老师一声令下，小明立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度（单位：米／分）与时间（单位：分）之间的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键． 根据小明的速度的变化判断即可． 【详解】解：由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与轴平行；最后400米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡． 故选项B符合题意． 故选：B． 5. 某校要从三名学生中选取一位参加县中学生体育运动会的跳远项目，对甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行了分析，这3位同学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：，，， ， 这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是乙． 故选：B． 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，再进一步判断图象经过的象限即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． ∴B符合题意． 7. 如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 12 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形性质证明,再利用勾股定理得，即可解题． 【详解】解：∵a、b、c都是正方形， ∴，， ∵， 即，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，中等难度，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，证明全等是解题关键． 8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的纽带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 9. 下列命题中逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 内错角相等 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】先写出逆命题，再根据对顶角、等腰三角形的性质、内错角、绝对值的性质判断即可； 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； B、等角对等边逆命题是等边对等角，是真命题，符合题意； C、内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，是假命题，不符合题意； D、如果，那么的逆命题是如果，那么，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握对顶角、等腰三角形的性质、内错角、绝对值的性质是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为，点为对角线上动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先证四边形是矩形得，据此得要求的最小值，只需求出的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，然后中由勾股定理求出即可得到的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形为正方形，且边长为， ，，， ，， 四边形是矩形， ， 要求的最小值，只需求出的最小值即可， 点在上， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 当时，由于， 为等腰直角三角形，即：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， （舍去负值）， 即的最小值为1， 的最小值为1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当时，线段为最短． 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，点是直线上的一点．已知▱的面积为，则的面积为________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形面积的表示形式及三角形的面积表达式可得出的面积为平行四边形的面积的一半． 【详解】解：根据图形可得：设边上的高为， ∴，， ∴的面积为平行四边形的面积的一半， 又的面积为， 的面积为． 故答案为：25． 14. 如图，直线经过点，则不等式的解集为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：直线过点，当时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 15. 如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 【答案】矩形 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵是边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 平分， 同理，， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 如图，在四边形中，已知，，，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，先根据直角三角形的性质求出的长，再由勾股定理求出的长；再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】证明：，，， ， ，，， ， 是直角三角形． 18. 我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为， 分别是边， 的中点，根据中位线的性质得出，得出， ，同理得出， ，从而得出，由平行公理的推论得出，即可得出结论． 【详解】解：， 分别是边， 的中点， ∴， ， ∵，分别是边，的中点， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校八年级（1）班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次／分钟），分为如下五组：组：，组：，组：，组：，组：． 根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： （1）其中组数据为：70，65，65，50，50，60，60，60．组数据的中位数是________次，众数是________次，平均数是________次． （2）这部分学生共有________人，组频数是________人． （3）一般运动的适宜心率为（次／分钟），即、组都是适宜的心率．该校共有2000名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率． 【答案】（1）60；60；60 （2）100；30 （3）1500名 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解； （2）用A组人数除以A组点的百分比，即可求得总人数，根据总人数减去其他组的人数，即得出组的频数． （3）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：将组数据从小到大排列为：50，50，60，60，60，65，65，70， 中位数为(次)； 出现的次数最多， 众数是60(次)； (次) 故答案为：60；60；60． 【小问2详解】 解：这部分学生共有：（人） 组频数为(人)， 故答案为：100；30． 【小问3详解】 解：（名， 大约有1500名学生达到适宜心率． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，平均数，用样本估计总体，从统计图中获取信息是解题关键． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 21. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元．根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出，关于的函数表达式（）； （2）求出当租车时间为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间范围为多少时，甲公司费用便宜？ 【答案】（1）； （2）当租车时间为5小时时，两公司所需费用相同；当租车时间小时时，甲公司费用便宜 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是利用函数图象，用待定系数法求出函数解析式． （1）根据函数图象中的数据，分别用待定系数法求得，关于的函数表达式； （2）根据（1）中的函数解析式，可以得到相应的方程与不等式，从而求解． 【小问1详解】 解：设， 把，，分别代入得， ， ． 设，把，代入得， ，解得， ； 【小问2详解】 解：当时，即时， 解得，； 当时，即时，解得，． 答：当租车时间为5小时时，两公司所需费用相同；当租车时间小时时，甲公司费用便宜． 五、解答题（三）：本大题2小题，每小题12分，共24分． 22. 【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． （1）如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ （2）课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ （3）如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力． （1）利用两点间距离公式计算即可． （2）利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ，，， ， 的面积； 【小问3详解】 如图，的面积， ， ． 23. 【综合探究】 在平面直角坐标系中，点、，点为线段的中点，则线段的中点的坐标为 （1）如图1，已知点、，则线段的中点坐标为_________； （2）如图2，在（1）的条件下，过点、的直线交轴于点，交轴于点，图中点为轴上的动点，当时，求点的坐标． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点在轴的负半轴时，点是轴上的动点，点是直线上的动点，存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______________________． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合题，涉及了中点坐标公式、平行四边形的性质，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解，难度较大． （1）直接套用中点坐标公式，即可得出中点坐标； （2）先求出的直线解析式，再求出，的坐标，利用等面积代入数据可得出点的坐标； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解． 【小问1详解】 解：中点坐标为，，即的中点：； 故答案为：； 【小问2详解】 设的直线解析式 把和两点坐标代入中得， ， 解得， 一次函数的解析式为：． ∴， ∴ 设点的坐标，则 ∵， ∴ ∴ ∴或 ∴或 【小问3详解】 由（1）（2）得， 设，， 当为对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ， 当为对角线时，由中点坐标公式得， ， 解得， ， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得， ， 综上：或或， 故答案为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期末教学质量监测 八年级数学试卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. “1000米跑”是体育中考男生必考项目，体育老师一声令下，小明立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后400米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度（单位：米／分）与时间（单位：分）之间的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校要从三名学生中选取一位参加县中学生体育运动会的跳远项目，对甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行了分析，这3位同学三次跳远平均成绩大致相同，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 12 D. 22 8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的纽带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题中逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 内错角相等 D. 如果，那么 10. 如图，正方形的边长为，点为对角线上动点，过点作于点，于点，连接，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 1 二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 化简：__________． 13. 如图，点是直线上的一点．已知▱的面积为，则的面积为________． 14. 如图，直线经过点，则不等式的解集为_________． 15. 如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，已知，，，，．求证：是直角三角形． 18. 我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分． 19. 某校八年级（1）班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次／分钟），分为如下五组：组：，组：，组：，组：，组：． 根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： （1）其中组数据为：70，65，65，50，50，60，60，60．组数据的中位数是________次，众数是________次，平均数是________次． （2）这部分学生共有________人，组频数是________人． （3）一般运动的适宜心率为（次／分钟），即、组都是适宜的心率．该校共有2000名学生，依据此次跨学科研究结果，估计该校大约有多少名学生达到适宜心率． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．甲乙两公司出租汽车每日所需费用和租车时间成函数关系如图所示，设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元．根据以上信息，解答下列问题： （1）分别求出，关于的函数表达式（）； （2）求出当租车时间为多少时，两公司所需费用相同？直接写出当租车时间范围为多少时，甲公司费用便宜？ 五、解答题（三）：本大题2小题，每小题12分，共24分． 22. 【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． （1）如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ （2）课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ （3）如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 23. 【综合探究】 在平面直角坐标系中，点、，点为线段的中点，则线段的中点的坐标为 （1）如图1，已知点、，则线段的中点坐标为_________； （2）如图2，在（1）的条件下，过点、的直线交轴于点，交轴于点，图中点为轴上的动点，当时，求点的坐标． （3）如图3，在（1）（2）的条件下，且点在轴的负半轴时，点是轴上的动点，点是直线上的动点，存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为______________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $