精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州平塘县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

黔南州2024—2025学年度第二学期期末质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一选是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜用全面调查的是（ ） A. 调查到三都旅游的游客对三都马尾绣的了解情况 B. 调查上市的都匀毛尖茶的质量情况 C. 平塘县赛龙舟活动前对参赛龙舟的安全检查 D. 了解福泉洒金谷的水质情况 3. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 1 4. 在平面直角坐标系中，点(-2，-3)到x轴的距离是（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 5. 下列是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的正整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9. 如图，在古诗《春夜洛城闻笛》中，建立平面直角坐标系，使“折”字用表示，“暗”字用表示，则表示的字是（ ） 春夜洛城闻笛 李白 谁家玉笛暗飞声， 散入春风满洛城， 此夜曲中闻折柳， 何人不起故园情， A. 人 B. 入 C. 不 D. 中 10. 如图，分别交于点，过点G作，若，则的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 130° 11. 程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确是（　　） A. B. C. D. 12. 如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（ ） A. （） B. （） C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 实数的相反数是________． 14. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 15. 领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则______°． 16. 已知关于x不等式组的整数解是，0，1，若为整数，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）以下是小军同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 ①以上解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____； ②请写出正确的解答过程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． （1）请画出平移后的线段和； （2）连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； （3）若点和，直接写出线段的中点坐标． 19. 完成下面的证明过程：如图是某超市购物车的侧面示意图．已知，，于点E，．求证：． 证明：∵，，（______）， （______） ， ． ， ， ______， （______）， （ ） ， （______）． 20. 随着社会的发展和生产生活方式的改变，我国居民健康状况在得到持续改善的同时，超重和肥胖问题日益突出．国家卫生健康委等16个部门联合制定了《“体重管理年”活动实施方案》，自2024年起，力争通过三年左右时间，形成全民参与、人人受益的体重管理良好局面．人体胖瘦可用体重指数（）衡量．【体重（单位：）/身高²（单位：）】 某校随机抽取七年级部分男生的身高和体重进行统计分析，整理出如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 男生体重指数（）频数分布表 等级 单项得分 值 频数（人数） 正常 100 84 低体重 80 6 超重 m 肥胖 60 23 男生体重指数（）扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽查了_____人；表中____． （2）已知该校七年级共有600名男生，请估计该校七年级男生超重和肥胖的总人数． （3）请根据以上信息，给出一条合理化建议． 21. 项目式学习： 项目主题】 选择最省钱租车方案． 【项目背景】 某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动． 【数据收集】 ①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元． ②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元 2 3 3100 1 2 1900 【问题解决】 利用以上数据解决下列问题： （1）A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？ （2）本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案． 22 阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： （1）用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论 B．数形结合 C．转化思想 D．建模思想 （2）如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． （3）综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 23. 【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黔南州2024—2025学年度第二学期期末质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一选是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．据此即可求解． 【详解】解：A、属于无理数，故A符合题意； B、是分数，属于有理数，故B不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故C不符合题意； D、是负整数，属于有理数，故D不符合题意； 故选：A 2. 下列调查中，适宜用全面调查的是（ ） A. 调查到三都旅游的游客对三都马尾绣的了解情况 B. 调查上市的都匀毛尖茶的质量情况 C. 平塘县赛龙舟活动前对参赛龙舟的安全检查 D. 了解福泉洒金谷的水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的适用情境．全面调查适用于范围小、精确度要求高或对象数量较少的情况，而抽样调查适用于范围大、破坏性或无法全面调查的情况．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、到三都旅游的游客数量可能较多且流动性大，全面调查难度大，适合抽样调查，选项错误； B、上市的都匀毛尖茶数量庞大，逐一检测成本过高，通常采用抽样检测质量，选项错误； C、赛龙舟的参赛龙舟数量有限，且安全检查必须确保每艘龙舟的安全性，需进行全面调查，选项正确； D、水质检测需在不同区域取样，全面检测所有水域不现实，适合抽样调查，选项错误； 故选：C． 3. 计算：的结果是（ ） A B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，根据二次根式的减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，点(-2，-3)到x轴的距离是（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点（-2，-3）到x轴的距离为3． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离是解题的关键． 5. 下列是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解的意义，解题关键是理解二元一次方程解的意义． 将各选项的x和y代入方程，验证是否满足． 【详解】解：方程的解需满足左边代数式的值等于右边。逐一验证选项： 代入得，左边=，左边右边，故A不符合； 代入得，左边=，左边右边，故B不符合； 代入得，左边=，左边=右边，故C符合； 代入得，左边=，左边右边，故D不符合， 故选：C． 6. 如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 7. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】A． 由，两边减b得，故不成立，错误． B． 由，两边减2得，故不成立，错误． C． 由，两边乘（负数），不等号方向改变，得，正确． D． 由，两边乘5（正数），不等号方向不变，得，故不成立，错误． 故选：C． 8. 不等式的正整数解是（ ） A B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式的整数解，解不等式，得到的范围，再确定其中的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的正整数解是1； 故选C． 9. 如图，在古诗《春夜洛城闻笛》中，建立平面直角坐标系，使“折”字用表示，“暗”字用表示，则表示的字是（ ） 春夜洛城闻笛 李白 谁家玉笛暗飞声， 散入春风满洛城， 此夜曲中闻折柳， 何人不起故园情， A. 人 B. 入 C. 不 D. 中 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，解题关键是确定坐标系． 通过已知坐标确定坐标系建立方式，再根据坐标推断对应字的位置． 【详解】解：根据“暗”对应坐标， “折”对应坐标，可确定坐标系如图， 可知坐标对应的字为“人”， 故选：A． 10. 如图，分别交于点，过点G作，若，则的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了垂直的定义、平行线的性质等治知识，熟练掌握平行线的性质是关键．根据垂直得到，由平行线的性质得到，再根据平角即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 11. 程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和尚数和馒头数的等量关系直接列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解答的关键． 12. 如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（ ） A. （） B. （） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了新定义．根据新定义得到，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点H， 根据定义可知，， ∵以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 实数的相反数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义即可解答． 【详解】解∶ 实数的相反数是． 故答案为：． 14. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但是不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 15. 领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘与平行，与平行，与的夹角为，与的夹角为，则______°． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，周角的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补，先求出，再由周角为，即可解答． 【详解】解：∵，， ， ， ∴， ∴． 故答案为：135． 16. 已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，若为整数，则的值为______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得． 【详解】解：解得 ， ∵关于x的不等式组的整数解是，0，1， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或3，， ∴或4． 故答案为：3或4． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）以下是小军同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 ①以上解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____； ②请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①一，去分母错误；② 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，立方根，算术平方根，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）根据绝对值，立方根，算术平方根计算，即可解答； （2）根据解一元一次不等式的步骤，即可解答． 【详解】解：（1）原式． （2）①一，去分母错误（或漏乘） （2）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． （1）请画出平移后的线段和； （2）连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； （3）若点和，直接写出线段的中点坐标． 【答案】（1）见详解 （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的方向及距离即可作图； （2）观察图像即可得解． （3）设线段的中点坐标为，根据，求出，即可得线段的中点坐标． 【小问1详解】 解：如图，线段和即为所求； 【小问2详解】 解：观察图像可得： 的中点坐标为， 的中点坐标为， 的中点坐标为． 【小问3详解】 解：若点和，设线段的中点坐标为， 设，， 则， 解得， ， 解得， ∴线段的中点坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和求线段中点坐标，熟练掌握平移的口诀：上加下减，左加右减是解题的关键． 19. 完成下面的证明过程：如图是某超市购物车的侧面示意图．已知，，于点E，．求证：． 证明：∵，，（______）， （______） ， ． ， ， ______， （______）， （ ） ， （______）． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答． 【详解】证明：∵，，（已知）， （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补） ， （垂直的定义）． 故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义 20. 随着社会的发展和生产生活方式的改变，我国居民健康状况在得到持续改善的同时，超重和肥胖问题日益突出．国家卫生健康委等16个部门联合制定了《“体重管理年”活动实施方案》，自2024年起，力争通过三年左右时间，形成全民参与、人人受益的体重管理良好局面．人体胖瘦可用体重指数（）衡量．【体重（单位：）/身高²（单位：）】 某校随机抽取七年级部分男生的身高和体重进行统计分析，整理出如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 男生体重指数（）频数分布表 等级 单项得分 值 频数（人数） 正常 100 84 低体重 80 6 超重 m 肥胖 60 23 男生体重指数（）扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽查了_____人；表中____． （2）已知该校七年级共有600名男生，请估计该校七年级男生超重和肥胖的总人数． （3）请根据以上信息，给出一条合理化建议． 【答案】（1）120，7 （2）150人 （3）建议低体重、超重和肥胖的学生平时多加强体育锻炼，注意膳食均衡 【解析】 【分析】本题考查扇形图和统计表的综合应用，从统计图中获取有效的信息，是解题的关键． （1）用体重正常的频数除以它所占的百分比即可求出本次调查活动随机抽查的人数．再用抽查的总人数减去其余各项的频数即可求得m的值． （2）用该校七年级男生的总人数乘以超重和肥胖人数所占的百分比，即可求得该校七年级男生超重和肥胖的总人数． （3）合理即可． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽查的人数为： （人）， ， 故答案为：120，7； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校七年级男生超重和肥胖的总人数为150人． 【小问3详解】 解：建议低体重、超重和肥胖的学生平时多加强体育锻炼，注意膳食均衡． 21. 项目式学习： 【项目主题】 选择最省钱的租车方案． 【项目背景】 某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动． 【数据收集】 ①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元． ②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元 2 3 3100 1 2 1900 【问题解决】 利用以上数据解决下列问题： （1）A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？ （2）本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案． 【答案】（1）500元，700元 （2）方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆；方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆；方案二更省钱 【解析】 【分析】（1）设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆． 根据交通费用支出预算不超过7400元，以及每个师生都有座位列出关于m的不等式组，求出m的范围，再结合m为正整数，求出m 的值，即可得由几种方案，再求出每种方案所需费用，即可找出最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元， 根据题意，得， 解得． 答：A，B两种客车每辆的租金分别是500元，700元． 【小问2详解】 解：设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆． 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的取值为5或6． 共有两种符合条件的租车方案： 方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆，费用为（元）； 方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆，费用为（元）， ， 方案二更省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，认真审题，找准等量关系和不等量关系是解题的关键． 22. 阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： （1）用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论 B．数形结合 C．转化思想 D．建模思想 （2）如图1中正方形边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． （3）综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 【答案】（1）C （2）①；② （3）正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，读懂题意理解求差法，并会运用是解答本题的关键． （1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了，，三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论； （2）①用分别表示出正方形和圆的周长，利用求差法进行比较即可； ②①用分别表示出正方形和圆的面积，利用求差法进行比较即可； （3）正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 【小问1详解】 解：“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较， 体现出的数学思想是转化思想， 故选：C； 【小问2详解】 解：①，， ， ； ②，， ， ； 【小问3详解】 解：正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 23. 【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 【答案】（1）；（2）见解析，；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）由算术平方根的定义，即可解答； （2）根据三角形的面积公式，即可解答； （3）根据正方形的面积为5，边长即为，即可解答． 【详解】解：【问题探究】 （1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形边长． (2) 如图所示 有， ∴， ∵， ∴， 解得 或（不符合题意，舍去）． 答：对角线的长为． （3）如图所示 或 ， ∴． 即正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$