精品解析： 广东省河源市紫金县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省河源市紫金县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义：形如，都是整式，中含字母的式子是分式，即可判断求解． 【详解】解：A、是分数，属于整式，不是分式，不合题意； B、是分式，符合题意； C、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意； D、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意； 故选：B． 2. 为弘扬中华优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习．下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意是积的形式，而不是加的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式进行判定即可． 【详解】解：A、 左边是两整式相乘，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、 左边为单项式与多项式相加，右边合并同类项后仍为多项式，未形成乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、 左边为二次多项式，右边改写为完全平方式加常数，仍为和的形式，未分解为积，不是因式分解，不符合题意； D、左边为二次多项式，右边分解为两个一次整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，需根据不等式的加减、乘除规则逐一判断各选项． 【详解】解：不等式两边同乘正数5，不等号方向不变．由得，故A错误． 不等式两边同减5，不等号方向不变．由得，故B错误． 由得；再加2得，故C正确． 不等式两边同乘负数，不等号方向改变．由得，故D错误． 故选：C． 5. 如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可求，即可求解． 本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，E分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 7. 四边形的对角线相交于点，且，那么下列条件不能判断四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可. 【详解】解：A、加上BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、加上条件AB∥CD可证明△AOB≌△COD可得BO=DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、加上条件AB=CD不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、加上条件∠ADB=∠DBC可利用ASA证明△AOD≌△COB，可证明BO=DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理． 8. 下列命题中：①同位角相等，两直线平行；②如果，那么，；③等边三角形的三个角都相等．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，以及判定命题的真假，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理． 分别写出各命题的逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的判定以及实数的性质判断其真假． 【详解】解：1. 命题①：原命题为“同位角相等，两直线平行”． 逆命题：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质，两直线平行时同位角相等，因此逆命题为真； 2. 命题②：原命题为“如果，那么，” ． 逆命题：如果且，那么．当，时，显然，因此逆命题为真； 3. 命题③：原命题为“等边三角形的三个角都相等” ． 逆命题：三个角都相等的三角形是等边三角形．根据等边三角形的判定，三个角都相等的三角形三边相等，因此逆命题为真． 综上，三个逆命题均为真命题， 故选：A． 9. 如图，在中，，的平分线交于，是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，运用直角三角形中角所对直角边是斜边的一半可得，再利用角平分线的性质定理，从而可求得结论． 【详解】解：∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 由题意知：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数为_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意分两种情况讨论，当为底角时利用三角形内角和求出顶角，当为顶角时即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴当为底角时：顶角为：， 当为顶角时，也符合题意， ∴顶角度数为：或， 故答案为：或． 15. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交于点，且，，，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，作于点，由平行四边形的性质得，，，，即得，进而可得，又由得，即可得，即可求解，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形，对角线和相交于点， ，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式解集，把不等式的解集表示在数轴上，从数轴上找出解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 把不等式的解集表示在数轴上， 不等式组的解集为 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先用同分母分式相加减的法则计算，再分解因式约分，最后把x的值代入计算． 本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式相关的运算法则，把所求式子化简． 【详解】解：原式 ， ， 当时， 原式 ． 18. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为点，，． （1）请在图中画出； （2）请直接写出平移后的点，，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形平移的规律． （1）根据平移的性质作图，根据平移方式，先找出，，的对应点，再依次连接； （2）由（1）根据对应位置写出坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 由图可得，，，． 20. 如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，，分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的周长为，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，，根据即可求出结果； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得：，，根据三角形的周长公式可得． 【小问1详解】 解：，， ， ，分别为，的垂直平分线， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：，分别为，的垂直平分线， ，， 的周长为， ． 21. 八（2）班为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． （1）购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ （2）若该班级计划购买甲、乙两种奖品共50件，且购买的总费用不超过1450元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元 （2）甲种奖品最多能购买30件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元，根据用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同，列出分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可得出结果； （2）设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件，利用总价单价数量，结合总价不超过1450元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 设购买1件甲种奖品需x元，则购买1件乙种奖品需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 元， 答：购买1件甲种奖品需35元，购买1件乙种奖品需20元； 【小问2详解】 设甲种奖品购买y件，则乙种奖品购买件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30， 答：甲种奖品最多能购买30件． 22. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1）①；②边上高为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由勾股定理求出AB的长即可； ②根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【小问1详解】 ①根据勾股定理可得，； 故答案为：； ②设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； 【小问2详解】 设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 【点睛】 23. 如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为． （1）用含的代数式分别表示：______，______； （2）当为何值时，四边形为平行四边形？ （3）当为何值时，点在的平分线上？ （4）当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的？ 【答案】（1），； （2）当时，四边形为平行四边形； （3）当时，点在的平分线上； （4）当时，四边形的面积是四边形的面积的． 【解析】 【分析】本题考查了动点问题、平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边、角之间的关系． 根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：；根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得：，解方程求出； 连接，根据角平分线的性质和平行四边形的性质，可得：，所以可得：，解方程即可求出； 根据平行四边形的面积公式和梯形的面积公式可得：，解方程即可求出 【小问1详解】 解：点在边上由点向点运动，速度为每秒， ， ， ； 点在边上由点向点运动，速度为每秒， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：如下图所示，连接， 在平行四边形中，，， ，，， ， 点在的平分线上， ， ， ， ， 解得：， 当时，点在的平分线上； 【小问4详解】 解：设平行四边形的边上的高为， 四边形的面积是四边形的面积的， ， 解得： 当时，四边形面积是四边形的面积的 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省河源市紫金县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 为弘扬中华优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习．下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一次数学实践活动中，同学们利用数学知识估测被花坛隔开的A，B两处之间的距离，先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若线段 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 四边形的对角线相交于点，且，那么下列条件不能判断四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中：①同位角相等，两直线平行；②如果，那么，；③等边三角形的三个角都相等．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图，在中，，平分线交于，是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，一次函数与图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式的值为零，则x的值为______． 12. 分解因式：_____． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角度数为_____． 15. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交于点，且，，，那么图中阴影部分的面积为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为点，，． （1）请在图中画出； （2）请直接写出平移后的点，，的坐标． 20. 如图，在中，，，，分别为，的垂直平分线，，分别为垂足． （1）求的度数； （2）若的周长为，求的长． 21. 八（2）班为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． （1）购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ （2）若该班级计划购买甲、乙两种奖品共50件，且购买总费用不超过1450元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 22. 图1是著名赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 23. 如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为． （1）用含的代数式分别表示：______，______； （2）当为何值时，四边形为平行四边形？ （3）当为何值时，点在的平分线上？ （4）当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $