精品解析：广东省河源市紫金县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末综合测评 八年级数学 本试卷共6页，25 小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数学，哪里就有美．”从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形等，都体现了数学几何美无处不在．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在边长为2的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，则 的周长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 古代八角窗寓意着人们对吉祥、幸福的期盼．如图是我国古建筑墙上采用的八角窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 给出下列3个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若 ，则；③对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若一个等腰三角形周长为，其中一边长为 ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. 或 D. 9 若 能用完全平方公式进行因式分解，则（ ） A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 10. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 分解因式：=____． 13. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________ ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为_____． 15. 如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为__________． 三、解答题(一)：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 16. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 17. 先化简，再求值： ，其中． 18. 如图，将置于平面直角坐标系中，三角形所有顶点都在格点上，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点，，的坐标． 19. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC. 20. 如图，点D、E在的边上， ，，求证：是等腰三角形． 四、解答题(二)∶本大题共3小题，第21、22题各8分，第23题10分，共26分． 21. 某工厂要招聘A，B两个工种的工人共150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为3200元和4000元． （1）若工厂要求B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额，那么至少要招聘A工种工人多少人？ （2）若工厂要求B工种工人人数不少于A工种工人的人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？最少工资总额为多少元？ 22. 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x式子表示）； （2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 23. 如图，在中，对角线相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），连接．，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，求四边形的周长． 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 25. 阅读下面材料，并解决问题． （1）【阅读材料】 如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A 旋转到 处，此时，连接 ，这样就可以利用旋转变换，将不在同一个三角形中的三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）【活学活用】 请你仿照第（1）题的解答思想方法，解答下列问题： 如图2，在等腰直角三角形中， ，，E，F 为上的点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末综合测评 八年级数学 本试卷共6页，25 小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数学，哪里就有美．”从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形等，都体现了数学几何美无处不在．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，列式计算即可得解． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度到点， ∴，即， 故选：D． 4. 如图，在边长为2的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，则 的周长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，等边三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是边长为2的等边三角形， ， 的周长， 故选：C． 5. 古代八角窗寓意着人们对吉祥、幸福的期盼．如图是我国古建筑墙上采用的八角窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据多边形的内角和及正多边形的性质列式计算即可． 【详解】解：， 即这个正八边形的一个内角是， 故选：D． 6. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质． 根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【详解】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 7. 给出下列3个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若 ，则；③对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，用到的知识点是逆命题．先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②若，则逆命题是若，则，是真命题； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题； 它们的逆命题是真命题的个数是2个． 故选：C． 8. 若一个等腰三角形的周长为，其中一边长为 ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，正确理解分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．分两种情况讨论且利用三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：当长是的边是底边时， 腰长是：， 此时三边为、、，该等腰三角形存在； 当长是的边是腰时， 底边长是：， 而，不满足三角形的三边关系， 则以、、为边不能构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 故选：A． 9. 若 能用完全平方公式进行因式分解，则（ ） A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式的定义，完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 10. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的整数解是解题的关键．按照解一元一次不等式组步骤，进行计算可得，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解，三个整数解为1，2，3， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件计算即可； 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案是：． 12 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 13. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________ ． 【答案】一个三角形中有两个角是直角 【解析】 【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可． 【详解】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角． 故答案为一个三角形中有两个角是直角． 【点睛】此题考查反证法，解题关键在于掌握其证明过程． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的问题，解题的关键是读懂图象；因此此题可根据图象直接进行求解 【详解】解：由图象可知：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的下方，故不等式的解集为． 故答案为：． 15. 如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出，从而得到，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ， ， 又∵ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题(一)：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 16. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】；把解集表示数轴上见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴解集表示在数轴上，如图所示： 17. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式的混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 18. 如图，将置于平面直角坐标系中，三角形所有顶点都在格点上，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点，，的坐标． 【答案】画图见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称作图，解题的关键是熟练掌握关于原点成中心对称的点的特征．分别找到点，，，关于原点的中心对称的对应点，，，顺次连接即可； 【详解】解：如图所示， ∴点的坐标分别为：，，． 19. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可. 试题解析：∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC. 又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件． 20. 如图，点D、E在的边上， ，，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．由等腰三角形的性质得出，证明，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：， ， 在和中 ， ， ． 是等腰三角形． 四、解答题(二)∶本大题共3小题，第21、22题各8分，第23题10分，共26分． 21. 某工厂要招聘A，B两个工种的工人共150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为3200元和4000元． （1）若工厂要求B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额，那么至少要招聘A工种工人多少人？ （2）若工厂要求B工种工人的人数不少于A工种工人的人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？最少工资总额为多少元？ 【答案】（1）至少要招聘A工种工人84人 （2）A工种工人有50人时，可付月工资最少，最少月工资为元 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式解决实际问题，一次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设A工种工人有x人，B工种工人有人，根据B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额，列一元一次不等式，求解即可； （2）设A工种工人有a人，B工种工人有人，A、B两种工人150人，B种工人的人数不少于A中工人人数的2倍，据此列不等式求解，再设每月支付工资w元，可得A种工人数与每月支付工资w元之间的函数解析式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A工种工人有x人，B工种工人有人，由题意得 ， 解得， 为正整数， 至少要招聘A工种工人84人； 【小问2详解】 解：设A工种工人有a人，B工种工人有人，由题意得 ， 解得， 设每月支付工资w元，则 ， ∵， ∴一次函数w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值为元， 答：A工种工人有50人时，可付月工资最少，最少月工资为元． 22. 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】（1） （2）125件 【解析】 【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了， 更新设备后每天生产产品数量为：（件）， 故答案：； 【小问2详解】 解：由题意知：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （件）， 因此更新设备后每天生产125件产品． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程． 23. 如图，在中，对角线相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），连接．，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若平分，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）40 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合，，可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，． ∵，， ， ， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 是的垂直平分线， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 24. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的运用，平方差公式因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题． （1）按照题目中配方法进行因式分解即可； （2）按照题目配方法进行因式分解，求出的值，即可求解； （3）按照题目中配方法进行因式分解并取最小值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 25. 阅读下面材料，并解决问题． （1）【阅读材料】 如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A 旋转到 处，此时，连接 ，这样就可以利用旋转变换，将不在同一个三角形中的三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）【活学活用】 请你仿照第（1）题的解答思想方法，解答下列问题： 如图2，在等腰直角三角形中， ，，E，F 为上的点，且，求证：． 【答案】（1），（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而求出答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转证明，再根据等腰三角形性质求出，即可证明． 【详解】（1）解：在等边三角形中， ∵， ∴， 由题意知旋转角， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$