精品解析： 广东省潮州市湘桥区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024－2025学年广东省潮州市湘桥区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班9位学生的成绩如下(单位：分)：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这9位学生竞赛成绩的众数是（ ） A. 4分 B. 7分 C. 9分 D. 10分 3. 下列四组数为三角形的三边长，其中不能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 6，8，10 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，2，3 4. 如图，平行四边形中，已知，则的值是（　　） A. 8 B. 12 C. 6 D. 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. b B. C. D. 6. 已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 8. 已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是__________． 12. 小明参加某公司招聘考试，他的笔试成绩是80分，面试成绩是70分，其中笔试成绩占综合成绩的，面试成绩占综合成绩的，则小明的综合成绩为________． 13. 如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点，则不等式的解集是________． 14. 如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则点B的坐标为________． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知数a，b，c满足，请求的值． 18. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a 8 b 2.35 （1）填空：表中的a＝ ，b＝ ； （2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ； （3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表． 纸杯个数x（个） 1 2 3 4 … 纸杯高度y（） 9 10 … （1）求y与x之间的函数表达式． （2）小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 20. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 21. 综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的大小 （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． （2）请求出秋千离地面的最小距离． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； （3）如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 23. 小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年广东省潮州市湘桥区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班9位学生的成绩如下(单位：分)：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这9位学生竞赛成绩的众数是（ ） A. 4分 B. 7分 C. 9分 D. 10分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，根据众数的概念解答即可． 【详解】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9， 出现的次数最多， 这9位学生竞赛成绩的众数是9分． 故选：C． 3. 下列四组数为三角形的三边长，其中不能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 6，8，10 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意利用两边平方和是否等于第三边的平方判断本题答案． 【详解】解：∵，故A能作为直角三角形三条边， ∵，故B能作为直角三角形三条边， ∵，故C能作为直角三角形三条边， ∵，故D不能作为直角三角形三条边， 故选：D． 4. 如图，平行四边形中，已知，则的值是（　　） A. 8 B. 12 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. b B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用数轴得出，再利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 故原式． 故选：D． 6. 已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， 斜边长为：． 故选：D． 7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； B．时，两架无人机的高度差为：，故正确； D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：B． 8. 已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，熟练运用象限判断一次函数的的取值范围是解题的关键． 【详解】解：一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限， ． 故选：A． 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确得出的长是解决此题的关键． 根据正方形的性质以及中点的性质可证明，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算计算即可．掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小明参加某公司招聘考试，他的笔试成绩是80分，面试成绩是70分，其中笔试成绩占综合成绩的，面试成绩占综合成绩的，则小明的综合成绩为________． 【答案】76分 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：（分）， 故答案为：76分． 13. 如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，依据题意得，不等式的解集为函数的图象在函数的图象上方时对应的自变量的取值范围，然后结合图象分析即可判断得解． 【详解】解：由题意得，不等式的解集为函数的图象在函数的图象上方时对应的自变量的取值范围， 又∵直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点， ∴结合图象可得，． 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，两点间距离公式，掌握菱形的性质是解题的关键．由两点间距离公式可求，由菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先利用乘法公式展开，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知数a，b，c满足，请求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值和偶次方的非负性，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值和平方数的非负性可得，，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 18. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a 8 b 2.35 （1）填空：表中的a＝ ，b＝ ； （2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ； （3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】（1）7.5；7.5 （2）八，八年级成绩的方差小于七年级 （3）1080 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可． 【小问1详解】 解:由表可知， 八年级成绩的平均数a＝＝7.5， 所以a＝7.5； 八年级成绩最中间的2个数分别为7、8， 所以其中位数b＝＝7.5， 故答案为：7.5；7.5 【小问2详解】 解:八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级， 故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级； 【小问3详解】 解:估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）． 【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表． 纸杯个数x（个） 1 2 3 4 … 纸杯高度y（） 9 10 … （1）求y与x之间的函数表达式． （2）小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ 【答案】（1） （2）67个 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设y与x之间的函数表达式为，分别将，和，代入计算即可； （2）根据题意得到，解不等式求出最大整数即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）， 分别将，和，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， ∵x为非负整数， ∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 20. 如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 21. 综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的大小 （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． （2）请求出秋千离地面的最小距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理， （1）由题意可知，，由等角的余角相等得到，根据证明，即可得到，根据勾股定理计算即可； （2）根据题干所给数据计算即可． 【小问1详解】 解：∵于点D，于点E， ∴， ∵平台B处荡秋千到平台C处， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，（）； 【小问2详解】 由题意知，，， ∴ （）， 答：秋千离地面的最小距离为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； （3）如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）或 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把点代入，求得，把代入，得到，求得直线的解析式； （2）解方程得到，求得，设，根据三角形的面积列方程即可得到结论； （3）解方程得到，求得，设，过作轴于，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，于是得到点的坐标． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 把代入得， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ∴ 设， ， ，或 解得或， 或； 【小问3详解】 在中，令，则， ， ， 设， 过Q作轴于， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 23. 小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） ∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）， 理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $