精品解析：辽宁省盘锦市双台子区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

双台子区2024—2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟试 卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数；②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 答案：B． 2. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的除法，二次根式的加法，二次根式的减法，解题关键是掌握上述法则求解． 根据利用二次根式的性质化简，二次根式的除法，二次根式的加法，二次根式的减法，分别对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：，而选项结果为，故A错误； ，故B正确； 与不是同类二次根式，无法合并，且计算结果显然不等，故C错误； ，结果不等于，故D错误， 故选：B． 4. 八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了中位数的定义，要判断何同学是否进入前4名，需确定他的成绩在7人中的相对位置．中位数能反映数据的中间位置，帮助确定排名． 【详解】解：共有7位同学，成绩按从高到低排列后，中位数是第4名的成绩．若何同学的成绩高于或等于中位数，则进入前4名．平均数（A）反映整体水平，众数（B）反映出现次数最多的值，方差（C）反映数据波动，均无法直接判断排名． 故选：D． 5. 如图，平行四边形，，，以为圆心，某一长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接，，的延长线交于点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，读懂作图意图以及隐含相等关系是解题关键．根据作图得到平分，由平行四边形的性质，推出，证明，得到即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， ，， 由作图可知：平分， ， 故选B． 6. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方， ∴不等式的解为， 故答案为：A． 7. 如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）． A. 四边形一定是平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当时，四边形为矩形． 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证出四边形是平行四边形，再分别证明当时，当时，当时，四边形的形状即可． 【详解】连接， 分别为四边形各边的中点， ， 且， ， 且， 故四边形为平行四边形，故A正确； 当时， 故平行四边形不是矩形，B错误； 当时，则，故四边形为菱形，C正确； 当时， ， ， 故四边形为矩形，D正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，以及三角形中位线定理，解题的关键是掌握各种四边形的性质和判定方法． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、有理数的加法法则，根据一次函数与均为随增大而减小，可得：，，所以可得：，，根据一次函数与轴交点在轴上方，可得：，根据一次函数与轴交点在轴下方，，从而可得：，，根据计算结果进行判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与均为随增大而减小， ，， ，， 故A选项错误，C选项正确； 一次函数与轴交点在轴上方， ， 一次函数与轴交点在轴下方， ， ，， 故B选项和D选项错误． 故选：C． 10. 如图，等腰中，，的周长为12，边，，则与的函数关系式的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、一次函数的图象等知识，熟记等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及函数的图象求解即可． 【详解】解：，的周长为12，边，， ， ， 与的函数关系式的图象为 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 12. 如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差______． 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差计算公式分别求出甲、乙两入射击成绩的方差，再进行比较即可． 【详解】解：甲的射击成绩的平均数为（环） ； 乙的射击成绩的平均数为（环） ； ∵， ∴， 故答案为：> 13. 直线向上平移2个单位，恰好过点，则b的值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的知识，将直线向上平移2个单位后直线的解析式为：，又该直线经过点，将点代入直线即可求出答案． 【详解】解：将直线向上平移2个单位后直线的解析式为：， 将点代入，得 解得：． 故答案为：5． 14. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： · ； 【小问2详解】 解： · 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 17. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． 【小问2详解】 过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 18. 学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小双结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小双的探讨过程，请补充完整： （1）化简：当时，______，当x<1时，______． 列表： … 0 1 2 3 … … 1 2 3 2 … 其中，______；______； （2）描点、连线；在图中画出该函数图象； （3）函数图像最高点记作A，直线与函数图像交于B、C两点，直接写出______． 【答案】（1）；；0；1； （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数的图象，正确的识别图象，利用数形结合是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）在平面直角坐标系中描点、连线即可； （3）观察图象，利用数形结合即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，， 当时， 故答案为：,0,1； 【小问2详解】 以（1）中表格中x、y的对应值作为点的横纵坐标在坐标系中分别描出各点， 【小问3详解】 令直线得，∴， 令，得，∴ 两函数图象交点为，， 画出图象如图， ∴， 故答案为6． 19. 在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手进行评分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示；10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． （1）填空：______．______； 歌手 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分 甲 8 a 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 b 7 （2）计算乙的大众评分的方差； （3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高？ 【答案】（1）8，8； （2）1 （3）甲的得分更高 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图、折线统计图、加权平均数、中位数、众数和方差．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）根据加权平均数公式解答即可． 【小问1详解】 解：把歌手甲的专业评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、8，故中位数为； 歌手乙的专业评分中8出现的次数最多，故众数为8． 故答案为：8，8； 【小问2详解】 解：乙的大众评分的方差 【小问3详解】 解：歌手甲的最终得分为：（分）， 歌手乙的最终得分为：（分）， ∵， ∴甲的得分更高． 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BF的长为． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论； （2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC=90°，OC=OA=AC， ∵BE=AC， ∴BE=OC， ∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形， ∵∠BOC=90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8， ∴BD=2OB=16， 由（1）得：四边形BECO是矩形， ∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE， ∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE， 在△ODF和△CEF中， ， ∴△ODF≌△CEF（ASA）， ∴DF=EF， ∵∠DBE=90°， ∴BF=DE=， 故BF的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键． 21. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为500元，B型电脑每台利润为600元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共150台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这150台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）商店购进型38台、型电脑112台，才能使销售总利润最大，最大利润是86200元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据题意列出关系式为：，整理即可； （2）利用不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，； 【小问2详解】 解：， ， ． 中， ∴随的增大而减小， 为整数， 时，取得最大值，最大值为86200， 答：商店购进型38台、型电脑112台，才能使销售总利润最大，最大利润是86200元； 22. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 【答案】 （1）解：小明解题思路：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 小亮解题思路：如图，过点F作交的延长线于点H， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）选择小明解题思路，如图，在上截取，使得，连接，证明，推出，据此可求解；选择小亮解题思路：过点F作交的延长线于点H，证明，推出，，据此可求解； （2）在上截取，使得，连接，证明，，得到，求得，利用直角三角形的性质即可证明结论成立； （3），结合直角三角形的性质求得，，得到，在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H，推出，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是菱形，， ，， ， ， 由（2）知，， ，， ， ， ∴， 在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 23. 已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． （1）直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； （2）请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； （3）如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； （4）“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】（1） （2）见解析 （3）点A的坐标为或 （4） 【解析】 【分析】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）直接根据“新函数”写出表达式即可； （2）求出“新函数”与它的“新函数”与y轴的交点即可； （3）先求出直线，直线的交点为，当点A在点B上面时，当点A在点B的下面时，分别求解即可； （4）先求出“新函数”表达式为，它的“关联函数”表达式为，再证明四边形为平行四边形即可． 【小问1详解】 解：根据“新函数”的“关联函数”的定义可知： “新函数”的“关联函数”为； 【小问2详解】 在“新函数” 中，令，则， ∴直线与y轴交点为， 在它的“关联函数”中，令x=0，则， ∴直线与y轴交点为， ∴直线，直线与y轴的交点为同一个点； 【小问3详解】 “新函数”的表达式为， “关联函数”的表达式为， 令，则， ∴直线，直线的交点为， ∵点在直线上， ∴设 ∵点B在直线上， 当点A在点B上面时， 轴， ， ， ， 当点A在点B的下面时， ， 综上所述，点A的坐标为或； 【小问4详解】 ①∵“新函数”的表达式为 ∴它的“关联函数”为， 令， ， ∴直线，直线交点为， 如图，则 ，，， ，即， ， ∴“新函数”的表达式为，它的“关联函数”表达式为， ，轴交于点F， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，轴， ， ∴四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双台子区2024—2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟试 卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 八年级（7）班有7位同学参加年级“最强大脑”数学比赛初赛，有4位可以进入决赛．何同学知道自己的成绩后，更想知道自己是否进入决赛，他只需要知道这七位同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 如图，平行四边形，，，以为圆心，某一长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接，，的延长线交于点，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）． A. 四边形一定是平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当时，四边形为矩形． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰中，，周长为12，边，，则与的函数关系式的图象为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 12. 如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差______． 13. 直线向上平移2个单位，恰好过点，则b的值为__________. 14. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 18. 学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小双结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小双的探讨过程，请补充完整： （1）化简：当时，______，当x<1时，______． 列表： … 0 1 2 3 … … 1 2 3 2 … 其中，______；______； （2）描点、连线；在图中画出该函数图象； （3）函数图像最高点记作A，直线与函数图像交于B、C两点，直接写出______． 19. 在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手进行评分（单位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示；10位大众评审的评分折线统计图如图②所示． （1）填空：______．______； 歌手 专业评分 大众评分 平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分 甲 8 a 8.9 6.8 3.36 乙 7.9 8 b 7 （2）计算乙的大众评分的方差； （3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的得分更高？ 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 21. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为500元，B型电脑每台利润为600元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共150台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这150台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 22. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 23. 已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． （1）直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； （2）请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； （3）如图，若“新函数”表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； （4）“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $