精品解析：2026年陕西省榆林市榆阳区小纪汗乡中学初中学业水平模拟试题（二）九年级数学

2026年初中学业水平模拟卷（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果体重增加记为，那么体重减少可记为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干给出的正方向规定，即可推出相反意义的量的表示方法. 【详解】解：∵体重增加记为， ∴体重减少记为. 2. 如图是一个正方体的表面展开图，图中的六个正方形内分别标有：美、丽、古、都、三、秦，将其折叠成一个正方体后，则与“三”字所在面相对的面上的字为（ ） A. 美 B. 丽 C. 古 D. 都 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此作答； 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴与“三”字所在面相对的面上的字为“古” ． 3. 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器．如图，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（ ） A. 115° B. 105° C. 95° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】如图：根据两直线平行、同位角相等可得，再利用邻补角求即可． 【详解】解：如图： ∵提绳与秤砣绳互相平行， ∴， ∴， ∴． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 5. 如图，在中，，，在上分别取点D、E，使，，则图中与相等的角（不含自身）共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和的度数，再找出所有等于的角即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，图中与相等的角有、、、，共个． 6. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先将代入，得出，进一步可得出点的坐标，进而可得出，的长，结合三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，将代入得，， 解得，， ， 当时，，即， ． ， ， 的面积为． 7. 如图，在矩形中，连接，点F为下方一点，连接交边于点N，过点F作于点E，交边于点M．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，利用同角的余角相等证明，最后在中利用正切定义求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，  ， ，  ，  ， ， （对顶角相等）， ， ． 8. 将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点， 所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间， ∴， 解得． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 有理数的立方根为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：的立方根为． 10. 在剪纸活动中，小华想用一张正方形纸片剪出一个正九边形，如图，正九边形的一边与正方形的边重合，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由多边形的外角和计算即可． 【详解】正九边形每个内角相等，即每个外角也相等，多边形的外角和， 正九边形每个外角为，即的度数为． 11. 幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴第三行与第三列的和都减去右下角的数结果依然相等， ∴， 移项整理得：． 12. 如图，内接于，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理，由的度数求出的度数，再结合已知条件求出的度数，最后再次利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵与分别是中所对的圆周角和圆心角，，  ∴， ∵ ∴， ∵与分别是中弧所对的圆周角和圆心角，  ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A是反比例函数（k为常数，）图像上的点，轴于点B，点D在x轴正半轴上，坐标原点O为的中点，若的面积为8，则k的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点A的坐标为，根据点A所在的象限确定x，y的符号，利用线段中点的性质表示出的长，结合三角形面积公式建立关于的等式，最后根据反比例函数k的几何意义求解. 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在第二象限 ， ∴， ∵轴 ， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵点A在反比例函数的图象上，  ∴ 14. 如图，在正方形中，连接，P为边上的动点（不与端点重合），点Q在的延长线上，且，过点Q作于点G，连接，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点G作于点M，根据正方形性质和垂直定义证明为等腰直角三角形，利用三线合一性质得出，结合表示出和的长，分别在和中利用勾股定理计算和，从而得出比值 ． 【详解】解：如图：过点G作于点M， ∵ 四边形是正方形 ， ∴，，，  ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ∶ ； 在中，由勾股定理得 ∶， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式      ． 16. 求不等式组的正整数解． 【答案】 1，2 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再得到不等式组的解集，最后找出解集内的正整数即可； 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解是1，2． 17. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，能根据运算顺序正确计算和因式分解是解题的关键．可先对括号内的进行通分化简，并把除法运算正确转化为乘法运算且因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在四边形中，，请用尺规作图法在边上求作点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求 【解析】 【分析】作的角平分线交于点，则． 【详解】略 19. 如图，点E、F分别是菱形的边延长线上的点，连接，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，即， 在和中： ， ​， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，则，证明，即可得证． 【详解】略 20. 陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； （2）青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 21. 一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 【答案】路灯距水平地面的距离为． 【解析】 【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：路灯距水平地面的距离为． 22. 端午节是中国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等习俗．某单位准备购买某品牌粽子作为福利在端午节发放给员工．采购人员通过市场调查得知：在甲超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的关系如图所示；在乙超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的函数关系式为． （1）求与之间的函数关系式； （2）该单位现计划购买200盒粽子，选甲、乙哪家超市购买更划算？ 【答案】（1） （2）选甲超市购买更划算 【解析】 【分析】（1）根据题意，分情况讨论：当时，设，当时，设，再结合图象利用待定系数法求解即可； （2）分别求出当时，与的值，再比较判断，即可解题． 【小问1详解】 解：当时，设， 由图知，过点， ， 解得， 此时， 当时，设， 由图知，过点，， ， 解得， 此时， 综上，； 【小问2详解】 解：当时，（元）， （元）， ， 选甲超市购买更划算． 23. 在刚刚结束的2026年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中，国乒女队七连冠、男队十二连冠，双双卫冕夺冠．中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮，该校为了解学生排球垫球水平，体育老师在全校学生中随机抽取了部分学生，测试了这些学生一分钟垫球数量，用x（单位：个）表示，分为四个组别：A．；B．；C．；D．，对收集到的数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：将所抽取学生一分钟垫球数量的样本数据整理如表： 组别 一分钟垫球数量（x/个） 人数（人） A m B 16 C 16 D 10 信息二：D组学生一分钟垫球数量如下：30，30，30，35，35，35，35，40，40，40． 信息三：根据样本数据绘制了如图所示的扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中_________，D组学生一分钟垫球数量的中位数是_________个、众数是_________个； （2）求D组学生一分钟垫球数量的平均数； （3）若要测试全校1000名学生一分钟垫球数量，请估计其中一分钟垫球数量不低于30个的学生人数． 【答案】（1）8；35；35 （2）35个 （3）200人 【解析】 【分析】（1）根据D组共10人，占总人数的，求出抽取的总人数；用总人数减去其余几组的人数求出m；根据中位数的定义和众数的定义即可求解． （2）根据平均数的定义求解即可． （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：人， ∴， D组数据从小到大排列为：，共10个数据， 中位数为第5、6个数的平均数：； 35出现次数最多（4次），因此众数为35； 【小问2详解】 解：D组的平均数： ， 答：D组学生一分钟垫球数量的平均数为个． 【小问3详解】 解：样本中一分钟垫球不低于30个的学生（即D组）占比为， 因此估计全校1000名学生中，符合条件的人数为：， 答：估计一分钟垫球数量不低于30个的学生有人． 24. 如图，在中，连接，，作的外接圆，连接并延长，分别交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质推出，再结合直径所对的圆周角为直角分析求解，即可证明是的切线； （2）利用平行四边形性质推出，，利用勾股定理求出，再证明，结合相似三角形性质分析求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 25. 图1为某景区大门，其截面示意图如图2所示，顶部外轮廓L及下方门洞均呈抛物线型（厚度不计），大门宽度，其中为两段垂直于水平地面的墙体，且，点B、C均在抛物线L、上，分别以所在直线为x轴、y轴建立图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线L的函数表达式为（h为常数），抛物线L、的最高点在同一竖直直线上，且它们的最高点之间的距离为． （1）求的长及抛物线的函数表达式； （2）为两条抛物线之间的连接支柱，两根支柱均与地面垂直，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上，已知支柱的长度，求这两根支柱之间的水平距离．（墙体、支柱的宽度均忽略不计） 【答案】（1）的长为，的函数表达式为 （2）两根支柱水平距离为 【解析】 【分析】（1）根据、都在抛物线上且，，得出抛物线的对称轴为，即可得出抛物线的表达式，再令，求出，根据与最高点在同一条竖直线上，且最高点距离为，求出的顶点坐标为，即可求解； （2）设支柱的横坐标为，根据支柱的长度，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上，支柱长度为上方抛物线的纵坐标减去下方抛物线的纵坐标，得出，解方程求出两根支柱的横坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点式为， 由题意：、都在抛物线上且，即两点纵坐标相等， ∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的表达式为：， 将代入，得：， ∴， 由题意，与最高点在同一条竖直线上，即对称轴也为，且最高点距离为， ∴的顶点坐标为， 设的表达式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：（或整理为）； 【小问2详解】 解：设支柱的横坐标为， ∵支柱的长度，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上， 支柱长度为上方抛物线的纵坐标减去下方抛物线的纵坐标， ∴， ∴，​ 化简得： ， 解得：，，即两根支柱的横坐标分别为和， ∴两根支柱的水平距离为：． 26. 问题探究 （1）如图1，在菱形中，连接，点E在边上，且，过点E作交于点F，若，求的长； （2）如图2，在中，，，求边长度的最大值； 问题解决 （3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备规划一个形如四边形的和谐观光园；其示意图如图3所示，连接，将规划为特色植物繁育区，将区域规划为新品花卉展览区，在线段上确定点E（可与端点重合），点C在线段上，连接，沿修建观光通道，根据设计要求，于点E，，，．为容纳更多的游客，要求这两条观光通道的长度之和尽可能的长，请问这两条观光通道的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．（通道的宽度忽略不计） 【答案】（1）6 （2）最大值为 （3）存在最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）在菱形中，，结合，求出，证明，得出​，即可求出． （2）根据定弦对定角，为定长，为定角，得出点的轨迹是以为弦的优弧，因为圆中直径最长，得出为直径时长度最大，当为直径时，，解直角三角形即可求解． （3）根据，得出​，，证明四边形是平行四边形，得出，在中，解直角三角形求出，结合，得出，则，在中，是定长，​​是定值，根据定弦对定角，得出点在的外接圆上，令的外接圆为，连接并延长交于点，连接，则是的直径，，在中，解直角三角形求出，根据圆周角定理得出，则，在中，解直角三角形求出，根据圆周角定理得出，则，即可得出，当且仅当时，取得最大值，最大值为，则． 【小问1详解】 解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴​， 解得：． 【小问2详解】 解：∵为定长，为定角， 根据定弦对定角，点的轨迹是以为弦的优弧，圆中直径最长，因此为直径时长度最大， 当为直径时，， ∴，即最大值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴​， ∴， 又∵，在上， ∴， ∵​， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，是定长，​​是定值， ∴点在的外接圆上， 如图，令的外接圆为，连接并延长交于点，连接， 则是的直径， ∴， 在中： ， ∴， ∵， ∴， ∴，即外接圆直径为， 在中： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，（此时为外接圆直径，点存在，符合题意）， ∴，​ ∴存在最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟卷（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果体重增加记为，那么体重减少可记为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个正方体的表面展开图，图中的六个正方形内分别标有：美、丽、古、都、三、秦，将其折叠成一个正方体后，则与“三”字所在面相对的面上的字为（ ） A. 美 B. 丽 C. 古 D. 都 3. 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器．如图，在称物品时，提绳与秤砣绳互相平行，若，则的度数为（ ） A. 115° B. 105° C. 95° D. 75° 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，在上分别取点D、E，使，，则图中与相等的角（不含自身）共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（b为常数）的图象分别交x轴、y轴于点、B，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在矩形中，连接，点F为下方一点，连接交边于点N，过点F作于点E，交边于点M．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 有理数的立方根为_________． 10. 在剪纸活动中，小华想用一张正方形纸片剪出一个正九边形，如图，正九边形的一边与正方形的边重合，则的度数为____________． 11. 幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 12. 如图，内接于，连接，，若，则的度数为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A是反比例函数（k为常数，）图像上的点，轴于点B，点D在x轴正半轴上，坐标原点O为的中点，若的面积为8，则k的值是_________． 14. 如图，在正方形中，连接，P为边上的动点（不与端点重合），点Q在的延长线上，且，过点Q作于点G，连接，则的值为_________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 求不等式组的正整数解． 17. 化简： 18. 如图，在四边形中，，请用尺规作图法在边上求作点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点E、F分别是菱形的边延长线上的点，连接，，求证：． 20. 陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； （2）青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 21. 一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 22. 端午节是中国四大传统节日之一，有赛龙舟、吃粽子等习俗．某单位准备购买某品牌粽子作为福利在端午节发放给员工．采购人员通过市场调查得知：在甲超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的关系如图所示；在乙超市购买该品牌粽子的费用（元）与粽子的盒数（盒）之间的函数关系式为． （1）求与之间的函数关系式； （2）该单位现计划购买200盒粽子，选甲、乙哪家超市购买更划算？ 23. 在刚刚结束的2026年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中，国乒女队七连冠、男队十二连冠，双双卫冕夺冠．中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮，该校为了解学生排球垫球水平，体育老师在全校学生中随机抽取了部分学生，测试了这些学生一分钟垫球数量，用x（单位：个）表示，分为四个组别：A．；B．；C．；D．，对收集到的数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：将所抽取学生一分钟垫球数量的样本数据整理如表： 组别 一分钟垫球数量（x/个） 人数（人） A m B 16 C 16 D 10 信息二：D组学生一分钟垫球数量如下：30，30，30，35，35，35，35，40，40，40． 信息三：根据样本数据绘制了如图所示的扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中_________，D组学生一分钟垫球数量的中位数是_________个、众数是_________个； （2）求D组学生一分钟垫球数量的平均数； （3）若要测试全校1000名学生一分钟垫球数量，请估计其中一分钟垫球数量不低于30个的学生人数． 24. 如图，在中，连接，，作的外接圆，连接并延长，分别交、于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 图1为某景区大门，其截面示意图如图2所示，顶部外轮廓L及下方门洞均呈抛物线型（厚度不计），大门宽度，其中为两段垂直于水平地面的墙体，且，点B、C均在抛物线L、上，分别以所在直线为x轴、y轴建立图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线L的函数表达式为（h为常数），抛物线L、的最高点在同一竖直直线上，且它们的最高点之间的距离为． （1）求的长及抛物线的函数表达式； （2）为两条抛物线之间的连接支柱，两根支柱均与地面垂直，点F、N均在抛物线L上，点E、M均在抛物线上，已知支柱的长度，求这两根支柱之间的水平距离．（墙体、支柱的宽度均忽略不计） 26. 问题探究 （1）如图1，在菱形中，连接，点E在边上，且，过点E作交于点F，若，求的长； （2）如图2，在中，，，求边长度的最大值； 问题解决 （3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备规划一个形如四边形的和谐观光园；其示意图如图3所示，连接，将规划为特色植物繁育区，将区域规划为新品花卉展览区，在线段上确定点E（可与端点重合），点C在线段上，连接，沿修建观光通道，根据设计要求，于点E，，，．为容纳更多的游客，要求这两条观光通道的长度之和尽可能的长，请问这两条观光通道的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．（通道的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $