精品解析：河北省张家口市张北县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

河北省张家口市张北县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 描述一组数据离散程度的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 点，都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在菱形中，，交于点O．若，，则菱形的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知一款商务签字笔购买数量（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（ ） 购买数量（支） 应付钱数（元） 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A. 只有小明的对 B. 只有小亮的对 C. 小明和小亮的都对 D. 小明和小亮的都不对 8. 将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 7 10. 如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿边，匀速向终点C运动，连接，，E，F分别是，的中点．设，点P运动的路程为x，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，关于结论1和2，下列判断正确的是（ ） 结论1：四边形是矩形； 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12． A. 只有结论1正确 B. 只有结论2正确 C. 结论1和2都正确 D. 结论1和2都不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知矩形，请添加一个条件：_____，使得矩形成为正方形． 14. 嘉琪参加足球技能大赛的两项得分如下表所示，若总分按运球技能占，射门技能占计分，则嘉琪的综合成绩为______分． 项目 运球技能 射门技能 得分（单位：分） 90 80 15. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 16. 我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 19. 某校八年级举行了“手工小达人”比赛，甲、乙两个班各选取五名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）．甲班：7，8，9，8，8；乙班：7，10，5，9，9．该校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表． 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 a 8 c 0.4 乙班 8 b 9 3.2 （1）填空：______；______；______； （2）王校长需要在甲、乙两班中选出一个班级作为学校代表参加市里的比赛，那么王校长应选择哪个班级作为代表去参赛？请说明理由． 20. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 21. 如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得． （1）当时，测得，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：） 22. 如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． （1）求直线的解析式． （2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 23. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； （2）求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 24. 如图1，在矩形中，，折叠使点B落在边上的点E处，折痕为，过点E作，交于点F，连接． （1）当，时，求的面积； （2）求证：四边形是菱形； （3）当点E在边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动． ①如图2，当点Q与点C重合时，求菱形的面积； ②若限定P，Q分别在边和边上移动，连接，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口市张北县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为． 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简． 2. 描述一组数据离散程度的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据方差的意义可得答案.方差反映数据的波动大小，即数据离散程度. 试题解析：由于方差反映数据波动的情况，所以能够诉刻画一组数据离散程度的统计量是方差. 故选D. 考点：统计量的选择. 3. 如图，在中，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 4. 已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数图象的性质，当比例系数时，图象经过第二、第四象限，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象是一条过原点的直线， 当时，图象经过第二、第四象限， ∴的值可以是， 故选：D． 5. 点，都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质． 根据一次函数k的符号判断函数的增减性，进而比较大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选C． 6. 如图，在菱形中，，交于点O．若，，则菱形的边长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：在菱形中，交于点O．若，， ∴，， ∴， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 即菱形的边长为4， 故选：B． 7. 已知一款商务签字笔购买数量（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（ ） 购买数量（支） 应付钱数（元） 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A. 只有小明的对 B. 只有小亮的对 C. 小明和小亮的都对 D. 小明和小亮的都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性． 【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 8. 将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到， 平移后的图象经过点， ， 解得， 故选：C． 9. 如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 10. 如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 11. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿边，匀速向终点C运动，连接，，E，F分别是，的中点．设，点P运动的路程为x，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分点点P在边上即时和点P在边上即两种情况用三角形的面积公式求出y关于x的函数解析式即可． 【详解】解：当点P在边上即时，如图： ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴此时y是x的一次函数且图象呈上升趋势； 当点P在边上即，如图： ∵E，F分别是，的中点， ∴，点P到的距离为， ∴， 此时y与x的函数图象是平行于x轴的线段， 综上所述，y关于x的函数图象大致是C． 故选：C． 12. 如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，关于结论1和2，下列判断正确的是（ ） 结论1：四边形是矩形； 结论2：当的长最小时，四边形的面积为12． A. 只有结论1正确 B. 只有结论2正确 C. 结论1和2都正确 D. 结论1和2都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，连接与交于点O，连接，由正方形的边长为8，可得再结合，即可证明四边形是矩形，则，当O与M重合时的长最小，此时，，求出，可得四边形的面积为． 【详解】解：正方形的边长为8，如图，连接与交于点O，连接， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，故结论1正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴当O与M重合时的长最小，此时，， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∴结论2错误， 综上所述，只有结论1正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知矩形，请添加一个条件：_____，使得矩形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加： 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加： 故答案为：或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是正方形的判定，特别是掌握在矩形的基础上判定正方形是解本题的关键． 14. 嘉琪参加足球技能大赛的两项得分如下表所示，若总分按运球技能占，射门技能占计分，则嘉琪的综合成绩为______分． 项目 运球技能 射门技能 得分（单位：分） 90 80 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．根据总分按运球技能占，射门技能占计算即可． 【详解】解：嘉琪的综合成绩为（分）， 故答案为：． 15. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 16. 我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定线段解析式，且，确定整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 本题考查了待定系数法，整点，熟练掌握待定系数法，整点的意义是解题的关键． 【详解】解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得， 解得， 故解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）2． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法混合运算解答即可； （2）根据二次根式的乘法混合运算解答即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 19. 某校八年级举行了“手工小达人”比赛，甲、乙两个班各选取五名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）．甲班：7，8，9，8，8；乙班：7，10，5，9，9．该校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表． 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲班 a 8 c 0.4 乙班 8 b 9 3.2 （1）填空：______；______；______； （2）王校长需要在甲、乙两班中选出一个班级作为学校代表参加市里的比赛，那么王校长应选择哪个班级作为代表去参赛？请说明理由． 【答案】（1）8，9，8 （2）应选择甲班级作为代表去参赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据平均数的计算方法求出a，根据众数的意义求出b，根据中位数的定义求出c； （2）从平均数、方差的角度比较作出决策得出答案． 【小问1详解】 解：， 乙班5名学生的成绩众数是（9分），即， 将甲班成绩数据排列为：7，8，8，8，9，处在中间位置的一个数是（8分），因此中位数是（8分），即， 故答案为：8，9，8； 【小问2详解】 因为平均数相同，但甲班的方差比乙班的小，所以王校长应选择甲班级作为代表去参赛． 20. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1）18， 10 （2）①直角三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ， 故答案为：18，10； 【小问2详解】 ①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 21. 如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得． （1）当时，测得，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：） 【答案】（1） （2）变长了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、含角的直角三角形性质及二次根式运算，解题关键是利用直角三角形相关性质转化线段关系。 （1）已知，，，在中，根据勾股定理，代入数值计算得长； （2）过作于，利用含角的直角三角形性质得；再分别在、中，用勾股定理算出、；进而得，计算其值并与（1）中比较，求长度变化． 【小问1详解】 解：，，， ， 即的长为； 【小问2详解】 如图，过点C作于点P． ， 在中， ， 在中， ， ． ， ∴调节后的长度变长了． 22. 如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． （1）求直线的解析式． （2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 【答案】（1） （2）①；②2 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，求出，将，代入即可得到答案； （2）①求出，将代入，得，即可得到答案； ②由题意，得．若，则，求出和，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为． 将代入直线的解析式，得， ； 直线经过点，， 解得 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，， ． 将代入，得， 解得， ； ②由题意，得． 若，则， 解得， ． 令，解得， ， ． 23. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； （2）求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】（1）麦克 （2）米/秒，； （3） （4）秒 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； 【小问2详解】 解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒）， 提速后速度为（米／秒）． 段经过的时间为（秒）， ； 安安警官的速度为（米／秒）， ； 【小问3详解】 解：由题意得点，点． 设线段所在直线的函数解析式为， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：， 解得， 即线段所在直线的函数解析式为； 【小问4详解】 解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段所在直线的函数解析式为， 当时，，当时，． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官后方120米时，， 解得； 当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，， 解得． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）． 24. 如图1，在矩形中，，折叠使点B落在边上的点E处，折痕为，过点E作，交于点F，连接． （1）当，时，求的面积； （2）求证：四边形是菱形； （3）当点E在边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动． ①如图2，当点Q与点C重合时，求菱形的面积； ②若限定P，Q分别在边和边上移动，连接，直接写出的最大值． 【答案】（1）4； （2）见解析； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到,根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据轴对称的性质,平行线的性质，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）①根据矩形，得到，,当点Q与点C重合时，，根据勾股定理得到，求得，设，则，在中，，即，解得，即，于是得到菱形的面积解答即可； ②根据勾股定理得到BE2＝AB2+AE2＝9+AE2，当AE最大时，BE达到最大值，当点P与点A重合时，AE最大，于是得到结论． 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 证明：根据轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形BFEP是菱形； 【小问3详解】 ①解：根据矩形，得到，, 当点Q与点C重合时，， 由勾股定理得到， 故，设，则， 在中，，即， 解得，即， 故菱形的面积为：； ②解：在中，， ∴当最大时，达到最大值， 当点P与点A重合时，最大， 此时， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $