精品解析：山东省滨州市无棣县2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期期末学业质量监测 七年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第11卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 所表述的意义是（ ） A. 25的平方根 B. 25的算术平方根 C. 的平方根 D. 的算术平方根 2. 已知点，那么点到轴距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 3. 如图，直线和相交于点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，可以得：，则方程①是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某校连续四个月开展了“海洋”知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列结论中正确的是（ ） A. 共有200名学生参加模拟测试 B. 第4个月增长的“优秀”人数最多 C. 从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，，，则下列结论：；；；．其中正确结论有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题共96分） 二、填空题（每小题3分，共计21分） 9. 把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小：___________（填“”“”或“”） 10. 如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为___________． 11. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为400元，标价为500元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是___________折． 12. 若是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 13. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是3，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是___________． 14. 为了丰富同学们的校园生活，某校开展了形式多样的活动．为了解节目效果，对节目的喜欢度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．A．非常喜欢，B．喜欢，C．比较喜欢，D．不喜欢；请结合图中所给的信息，计算表示“喜欢”的总人数为___________． 15. 已知关于、方程组，给出下列结论： ①的值都为自然数的解有3对； ②当取某一值时，的值可能互为相反数； ③若，则； ④是方程组的解． 其中正确的有___________（填序号） 三、解答题（共计75分） 16. （1）计算： （2）在等式中，当时，；当时，；求和的值． 17. （1）当满足什么条件时，与1的差不大于与3的差； （2）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． 18. （1）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．若与互为相反数，求的值； （2）已知：如图，是的角平分线，过点作，与交于点．求证：． 19. 如图，建立直角坐标系，使点、坐标分别为和． （1）请在图中画出坐标系中的轴和轴； （2）写出点坐标； （3）由图形可知道：___________． 20. 在年月日第个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）．结合调查报告，回答下列问题： 调查目的 了解本校七年级学生的视力健康水平；给同学提出合理地用眼睛保护视力的建议 调查方式 ___________； 调查对象 部分七年级学生 调查内容 部分七年级学生的视力 调查结果 部分学生视力情况频数分布表 视力 频数 频率 a 0.1 40 0.2 70 0.35 60 b 10 0.05 建议 （1）调查方式应该选用___________； （2）___________，___________，补全频数分布直方图； （3）已知该校七年级有名学生，估计该校八年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有多少？ （4）该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议． 21. 已知． （1）求出、、的值（用含代数式表示）； （2）求出的取值范围； （3）若，求它的最大值与最小值的差？ 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是根据课本上的一道例题进行的改编，墨水覆盖了条件的一部分． 学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给绘画比赛中获奖的学生．笔记本的价格为16元/个，中性笔的价格为4元/支．一共购买200件，，求购买笔记本和中性笔的数量各是多少？ 【情景创设】爱棣通过查看例题的解析发现：设笔记本的数量为个，则列出一元一次方程： （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________． （2）根据所列方程“”，求购买笔记本和中性笔的数量． 【类比迁移】（3）拥军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求购买笔记本和中性笔的数量． 【拓展探究】 （4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进笔记本和中性笔100件，恰逢此时商店搞“优惠促销”活动，笔记本单价打8折，中性笔单价优惠1元．若此次学校购买笔记本和中性笔总费用不超过712元，且购买笔记本不少于40个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 23. 【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中，，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点D，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ①___________， ___________； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移6个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点坐标为___________，点的坐标为___________； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示之间满足的数量关系，并写出求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末学业质量监测 七年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第11卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 所表述的意义是（ ） A. 25的平方根 B. 25的算术平方根 C. 的平方根 D. 的算术平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的概念辨析，根据算术平方根的定义，直接对应选项分析即可． 【详解】解：表示25的算术平方根， 故选：B． 2. 已知点，那么点到轴的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查的是点到坐标轴的距离，根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离公式，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即. 【分析】解：点，其纵坐标为， ∴点到轴的距离为； 故选：D 3. 如图，直线和相交于点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，平角定义，角的计算，明确定义是解答问题的关键．根据，可知，可得和互余即可求解． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C． 4. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，可以得：，则方程①是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用代入法解方程组，将方程①代入方程②后得到的结果是，由此反推出方程①的形式. 【详解】解：方程②为， 将①式代入后得到，说明①式解出了用表示的表达式； 设方程①为，代入方程②得：， ∴， 对比， 得方程组：， 解得：， 即，即； 故选：A 5. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示一元一次不等式的解集，解题的关键是：熟练掌握一元一次不等式的解法．先由数轴得到不等式的解集，再分别解每一个不等式即可． 【详解】解：由数轴可得： A、，解得：，不符合题意； B、，解得：，不符合题意； C、，解得：，符合题意； D、，解得：，不符合题意； 故选：C． 6. 某校连续四个月开展了“海洋”知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列结论中正确的是（ ） A. 共有200名学生参加模拟测试 B. 第4个月增长的“优秀”人数最多 C. 从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 根据条形统计图和折线统计图分别判断即可． 【详解】解：A：测试的学生人数为：（名），故该选项不符合题意； B．由折线统计图可知，第月增长的“优秀”人数最多，故该选项不符合题意； C．由折线统计图可知，从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故该选项符合题意； D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（名），故该选项不符合题意．   故选：C ． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系，并据此列方程是解题的关键．本题的等量关系是：绳长木条长；木条长绳长，据此列方程组即可求解． 【详解】解：用绳子量木条时，绳子剩余4.5尺，说明绳长比木条长多4.5尺，即， 将绳子对折后长度为，此时木条剩余1尺，说明木条比对折后的绳子长1尺，即， 联立方程组：， 故选：D 8. 如图，，平分，，，则下列结论：；；；．其中正确结论有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题的主要考查平行线的性质、角平分线定义、垂线的定义等，掌握这些是解决本题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线定义即可判断正确；根据垂直的定义得为直角，由知的度数，根据角的和差即可判断正确；根据角度转换判断正确；根据题意求出和的度数即可判断错误． 【详解】解：， ， 又平分 ，故正确； ， ， ，， ， ，故正确； ，， ， ， ，故正确； ，， ， 又，， ， 由知， ， ，故错误； 故正确； 故答案为：B． 第II卷（非选择题共96分） 二、填空题（每小题3分，共计21分） 9. 把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小：___________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，不等式的性质等知识，根据夹逼法得出，，根据不等式的性质得出，进而得出，然后根据不等式的性质即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， 即，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为∶． 10. 如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为___________． 【答案】912 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．由图形可得，草坪的面积相当于长为，宽为的长方形面积，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为400元，标价为500元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于，则最低折扣是___________折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设打折，根据要保证利润率不低于，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折，由题意，得：， 解得：； 故最低折扣是8.8折； 故答案：8.8 12. 若是二元一次方程的一个解，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题关键是掌握方程组的解是能使方程组中两方程成立的未知数的值．将方程的解代入得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ， ， 故答案为：． 13. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是3，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先根据输入x的值是3，则输出y的值是，可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，因为，所以当时，代入计算求值即可． 【详解】解：把，，代入，得， 解得， 把，，代入，得， 解得， 故答案为：． 14. 为了丰富同学们的校园生活，某校开展了形式多样的活动．为了解节目效果，对节目的喜欢度进行了抽样调查，将抽样调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．A．非常喜欢，B．喜欢，C．比较喜欢，D．不喜欢；请结合图中所给的信息，计算表示“喜欢”的总人数为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，先求出调查的总人数，然后用总人数减去其余各类人数即可求解． 【详解】解∶根据题意，得表示“喜欢”的总人数为（人）， 故答案为：40． 15. 已知关于、的方程组，给出下列结论： ①值都为自然数的解有3对； ②当取某一值时，的值可能互为相反数； ③若，则； ④是方程组的解． 其中正确的有___________（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解答本题的关键．得，可判断①正确，②不正确；用含a的代数式表示出x，y，然后根据列式求解可判断③；把代入③中所求x、y，得出关于a的方程，然后解方程可判断④． 【详解】， ，即， ∴自然数解有：或或，故①正确； ∵， ∴x，y的值不可能互为相反数，故②不正确； ，得 ， ∴，代入②得， ， 解得， ∵， ∴， 解得，故③正确； 当时，得，， 解得∶左边方程的解为，右边的方程的解为， ∴是方程组的解，故④正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（共计75分） 16. （1）计算： （2）在等式中，当时，；当时，；求和的值． 【答案】（1）；（2）的值为3、． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算乘方，以及去括号和绝对值，再计算加减法即可； （2）将、的值代入等式，得到关于、的二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：将时，；时，分别代入得： ①②得：， 解得：， 将代入①得：． 因此的值为3、． 17. （1）当满足什么条件时，与1的差不大于与3的差； （2）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】（1）当时，与1的差不大于与3的差；（2），数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及解一元一次不等式． （1）先根据题意列出一元一次不等式，然后求解即可得出答案． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：（1）根据题意，得： 解得： 当时与1的差不大于与3的差 （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为： 18. （1）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．若与互为相反数，求的值； （2）已知：如图，是的角平分线，过点作，与交于点．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得和互为相反数，求出，再代入计算求值即可； （2）由角平分线的定义，推出，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， 解得：， ； （2）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解一元一次方程，代数式求值，算术平方根和立方根，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． 19. 如图，建立直角坐标系，使点、的坐标分别为和． （1）请在图中画出坐标系中的轴和轴； （2）写出点的坐标； （3）由图形可知道：___________． 【答案】（1）见解析 （2），，，，； （3）18 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求面积，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据点、的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）建立的平面直角坐标写出各点坐标即可； （3）利用割补法分别求出和，相加即可． 【小问1详解】 解：如图建立平面直角坐标系： 【小问2详解】 解：由平面直角坐标系可知，，，，，； 【小问3详解】 解：由图形可知，， ， 则， 故答案为：18． 20. 在年月日第个“爱眼日”来临之际，某校数学兴趣小组通过调查统计，形成了如下报告（不完整）．结合调查报告，回答下列问题： 调查目的 了解本校七年级学生的视力健康水平；给同学提出合理地用眼睛保护视力的建议 调查方式 ___________； 调查对象 部分七年级学生 调查内容 部分七年级学生的视力 调查结果 部分学生视力情况频数分布表 视力 频数 频率 a 0.1 40 0.2 70 0.35 60 b 10 0.05 建议 （1）调查方式应该选用___________； （2）___________，___________，补全频数分布直方图； （3）已知该校七年级有名学生，估计该校八年级视力正常（及以上为正常视力）的人数有多少？ （4）该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议． 【答案】（1）抽样调查 （2），，补图见解析 （3）人 （4）①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡（合理即可） 【解析】 【分析】（）根据题意即可求解； （）根据由频数分布直方图可得的值，进而可求出抽取的七年级学生数，即可求出的值，再根据频数分布表补全频数分布直方图即可； （）用乘以视力正常（及以上为正常视力）的人数占比即可求解； （）结合自身提出合理化建议即可； 本题考查了数据的收集，频数分布直方图和频数分布表，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：调查方式应该选用抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可得，， ∵， ∴抽取了七年级学生名， ∴， 故答案为：，， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：， 答：估计该校八年级视力正常的人数有名； 【小问4详解】 解：建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡． 21. 已知． （1）求出、、的值（用含代数式表示）； （2）求出的取值范围； （3）若，求它的最大值与最小值的差？ 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的应用，不等式的性质等知识，解题的关键是： （1）直接解一元一次方程即可； （2）根据已知条件得出关于k的不等式组，然后解不等式组即可， （3）先求出，然后根据（2）中的取值范围结合不等式的性质求出w的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵， ∴，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴w的最大值为，最小值为， ∴它的最大值与最小值的差． 22. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是根据课本上的一道例题进行的改编，墨水覆盖了条件的一部分． 学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给绘画比赛中获奖的学生．笔记本的价格为16元/个，中性笔的价格为4元/支．一共购买200件，，求购买笔记本和中性笔的数量各是多少？ 【情景创设】爱棣通过查看例题的解析发现：设笔记本的数量为个，则列出一元一次方程： （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________． （2）根据所列方程“”，求购买笔记本和中性笔的数量． 【类比迁移】（3）拥军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求购买笔记本和中性笔的数量． 【拓展探究】 （4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进笔记本和中性笔100件，恰逢此时商店搞“优惠促销”活动，笔记本单价打8折，中性笔单价优惠1元．若此次学校购买笔记本和中性笔总费用不超过712元，且购买笔记本不少于40个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）一共花费1880元；（2）购买笔记本的数量是90个，购买中性笔的数量是110支；（3）列方程组见解析，购买笔记本的数量是90个，购买中性笔的数量是110支；（4）买笔记本的数量为40个，中性笔的数量为60支 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）根据方程可得1800表示两种奖品共花费的费用，即可解答； （2）直接解方程即可得到答案； （3）设购买笔记本的数量是x本，购买中性笔的数量是y支，根据“购买200件，一共花费1880元”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （4）设购买买笔记本的数量是m本，购买中性笔的数量是支，根据“总费用不超过712元，且购买笔记本不少于40个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出共有3种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得被覆盖的条件是：一共花费1880元， 故答案为：一共花费1880元； （2）解方程， 解得， ∴， ∴购买笔记本的数量是90个，购买中性笔的数量是110支； （3）设购买笔记本的数量是x本，购买中性笔的数量是y支， 根据题意，得， 解得， 答：购买笔记本的数量90个，购买中性笔的数量是110支； （4）设购买买笔记本的数量是m本，购买中性笔的数量是支， 根据题意，得， 解得， ∴整数m为40，41，42， ∴共有3中方案，如下： ①购买买笔记本的数量是40本，购买中性笔的数量是支，总费用为元； ②购买买笔记本的数量是41本，购买中性笔的数量是支，总费用为元； ③购买买笔记本的数量是42本，购买中性笔的数量是支，总费用为元； ∴符合购买要求且节约资金的购买方案为：购买买笔记本的数量是40本，购买中性笔的数量是60支． 23. 【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中，，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点D，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ①___________， ___________； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移6个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为___________，点的坐标为___________； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示之间满足的数量关系，并写出求解过程． 【答案】（1）；（2）①2，；②点的坐标；；（3）①，；②或，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，实数的运算，平移的性质，平行线的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据三角形和梯形的面积公式，分别表示出，，，再根据，即可求解； （2）①根据算术平方根和平方的非负性求解即可；②过点、分别作轴、轴的垂线交于点，与轴交于点，则，根据点到坐标轴的距离可得，，，，设点的坐标为，则，再根据求解即可； （3）①过点作轴的垂线，垂足为点，则，，，设点的坐标，则，再根据求出，可得到点的坐标，根据平移的性质，得出，即可得到点的坐标； ②由平移的性质可知，，，则，分两种情况讨论：当点在线段上时，过点作；当点在线段的延长线上时，过点作，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：①，，， ，， ，， ，； ②如图，过点、分别作轴、轴的垂线交于点，与轴交于点，则， 由①可知，，； 点，， ，， ，，，， 设点的坐标为，则， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； （3）解：①如图，过点作轴的垂线，垂足为点， 由（2）可知，点，， ，，， ， 设点的坐标，则， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； 将线段沿轴向右平移6个单位得到线段， ， ， 点的坐标为； ②由平移的性质可知，，， ， 当点在线段上时，过点作， ， ，， ， ； 当点在线段的延长线上时，过点作， ， ，， ， ， ， ， 综上可知，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$