精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 圆面积计算公式为（R为圆的半径），变量是（ ）． A. B. C. D. 2. 学校为了了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上均可 3. 在某班30位男生跳高成绩绘制的频数直方图中，若各个小矩形的高的比依次是2：3：4：1，则第二个小矩形表示的频数是（ ） A. 14 B. 12 C. 9 D. 8 4. 在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A B. C. D. 7. 如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（　 　） A. 四边形ABCD是梯形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 对角线AC=BD D. AD=BC 11. 如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 3 12. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为______. 14. 在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为_____． 15. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为______． 16. 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=_____． 三、解答题（共72分） 17. 老师想知道学生们每天在上学的路上要花多少时间，于是让大家将每天来校上课的单程时间写在纸上．下面是全班30名学生单程所花的时间（单位：）： 20，20，30，15，20，25，5，15，20，10，15，35，45，10，20，25，30，20，15，20，20，10，20，5，15，20，20，20，5，15． （1）请选择适当的统计图描述学生上学单程所花时间的分布情况． （2）根据调查结果分析，这个班每天单程以内（不包括）到校学生有多少名?占全班学生的百分比是多少?你认为老师还能获得哪些信息?（写出两条即可） 18. 同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 19. 如图，在中，，垂足为E，点F在CD上，且． 求证：四边形是矩形． 20. 2023年前10月，河北省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长，并且全省新能源汽车“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）当时，汽车每消耗1千瓦时电量能行驶的路程为_____千米； （2）求当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量． 21. 周末，李叔叔开车从青岛出发去350千米远的济南游玩，张大伯在同一时间从济南去往青岛．李叔叔行驶2小时到达潍坊时，他停车休整了半小时，离开时恰好遇见了张大伯．两人继续行驶，李叔叔到达济南用时5小时，李叔叔、张大伯与青岛的距离、（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． （1）求李叔叔遇到张大伯后，与之间函数关系式； （2）张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有多远？ 22. 已知第一象限点在直线上，点的坐标为，设的面积为． （1）当点的横坐标为2时，求的面积； （2）当时，求点的坐标； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 23. 如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF． （1）求证：∠HEA＝∠CGF； （2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． 24. 如图1，P是线段上的一点，在的同侧作和，使，，连接，点E、F、G、H分别是的中点，顺次连接E、F、G、H． （1）猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； （2）当点P在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 圆的面积计算公式为（R为圆的半径），变量是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变量就是在一个变化过程中发生变化的量，数值不发生变化的量是常量，根据定义判断即可． 【详解】解：圆的面积计算公式为（R为圆的半径），变量是：R，S． 故选：B． 【点睛】本题考查了常量与变量的定义，属于基础定义题型，正确理解概念是关键． 2. 学校为了了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上均可 【答案】B 【解析】 【分析】根据各统计图的特征与优缺点进行选择即可． 【详解】解：了解七年级学生喜欢的社团课中竹艺手工、竹影社及竹乐社所占的比例，通常采用扇形统计图， 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、折线统计图的特点，熟练掌握扇形统计图能反映部分与整体的关系，更容易看出部分占整体的比例是解题的关键． 3. 在某班30位男生跳高成绩绘制的频数直方图中，若各个小矩形的高的比依次是2：3：4：1，则第二个小矩形表示的频数是（ ） A. 14 B. 12 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出第二个小矩形表示的频数． 【详解】解：∵各小矩形的高的比依次是2：3：4：1， ∴第二个小矩形表示的频数是， 故选C． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，求出相应的频数． 4. 在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键；因此此题可根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由点经过平移后到达点处，可知平移方式为向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；所以点经过这样的平移后到达的点的坐标是； 故选A． 5. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B.当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 6. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 7. 如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，证明，得到，，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，则，，， ∵将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 9. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作轴于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性质可得． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵菱形的顶点A的坐标为，． ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键． 10. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（　 　） A. 四边形ABCD是梯形 B. 四边形ABCD是菱形 C. 对角线AC=BD D. AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点， ∴EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG； 同理，HE∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形； A、若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH=FE相矛盾；故本选项错误； B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误； C、若对角线AC=BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误； D、当AD=BC时，GH=GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确； 故选D． 考点：1．菱形判定；2．三角形中位线定理． 11. 如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，，而点G是的中点， ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 12. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．根据图象求出和，再分析当点在上运动时，当点在上运动时的的高为4，据此求出的值即可． 【详解】解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， ， 当点在上运动时，， ， ， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案． 【详解】∵平行四边形两条对角线互相平分，两条对角线的长分别为4和， ∴它们的一半分别为2和， ∵， ∴两条对角线互相垂直， ∴这个四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半． 14. 在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换——平移，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象平移规律“横坐标左加右减”，“纵坐标上加下减”，是解题的关键 根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A， ∴当时，， 解得， ∴， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度， ∴平移得到， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故答案为：3． 15. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得棋子“马”所在的点的坐标为， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为， ， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为． 故答案为： 16. 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD、AGFE是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG， ∴∠EAB=∠GAD， 在△AEB和△AGD中， ， ∴△EAB≌△GAD（SAS）， ∴EB=GD， ∵四边形ABCD是正方形，AB=， ∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2， ∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1， ∵AG=1， ∴OG=OA+AG=2， ∴GD=， ∴EB=． 故答案是． 考点：1.正方形的性质2.全等三角形的判定与性质3.勾股定理． 三、解答题（共72分） 17. 老师想知道学生们每天在上学的路上要花多少时间，于是让大家将每天来校上课的单程时间写在纸上．下面是全班30名学生单程所花的时间（单位：）： 20，20，30，15，20，25，5，15，20，10，15，35，45，10，20，25，30，20，15，20，20，10，20，5，15，20，20，20，5，15． （1）请选择适当的统计图描述学生上学单程所花时间的分布情况． （2）根据调查结果分析，这个班每天单程以内（不包括）到校的学生有多少名?占全班学生的百分比是多少?你认为老师还能获得哪些信息?（写出两条即可） 【答案】（1）见解析 （2）12名，，信息见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）先将已知数据按时间和人数制作表格，进而根据表格制作条形统计图， （2）根据条形统计图求解即可 【小问1详解】 解：先将已知数据按时间和人数制作表格： 单程时间（分钟） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 人数 3 3 6 12 2 2 1 0 1 根据表格制作条形统计图： 【小问2详解】 解：根据调查结果，每天单程20分钟以内到校的学生有12名，所以单程20分钟到校的学生占全班学生人数的百分比是； 我认为老师还能获得：（1）用20分钟到校的人最多；（2）单程时间最长的需要45分钟． 18. 同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，， 五边形的内角和等于，，的内角和的和， 五边形的内角和． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键． 19. 如图，在中，，垂足为E，点F在CD上，且． 求证：四边形是矩形． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， ，即 又， ∴四边形是平行四边形 ， 矩形． 20. 2023年前10月，河北省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）当时，汽车每消耗1千瓦时电量能行驶的路程为_____千米； （2）求当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量． 【答案】（1）5 （2）30千瓦时 【解析】 【分析】本题主要考查了根据函数图象获得信息，解题的关键是从函数图象中获得有用的信息． （1）根据函数图象列式解答即可； （2）根据待定系数法求出一次函数解析式，将代入解析式计算出值即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米， 1千瓦时用电量能行驶的路程为（千米） 故答案为：5； 【小问2详解】 设，把点，代入得： ，解得， ， 当时，． 答：当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时． 21. 周末，李叔叔开车从青岛出发去350千米远的济南游玩，张大伯在同一时间从济南去往青岛．李叔叔行驶2小时到达潍坊时，他停车休整了半小时，离开时恰好遇见了张大伯．两人继续行驶，李叔叔到达济南用时5小时，李叔叔、张大伯与青岛的距离、（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． （1）求李叔叔遇到张大伯后，与之间函数关系式； （2）张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有多远？ 【答案】（1） （2）50千米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）设汽车修好后与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先求出两人出发小时后，张大伯到达青岛，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：设汽车修好后与之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 （千米/时） （时） 即两人出发小时后，张大伯到达青岛． 将代入得，，（千米） 答：张大伯到达青岛时，李叔叔离济南还有50千米． 22. 已知第一象限点在直线上，点的坐标为，设的面积为． （1）当点的横坐标为2时，求的面积； （2）当时，求点的坐标； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先根据点的横坐标求出点的坐标，再求出，的边上的高，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先求出，再求出，的边上的高为，然后根据三角形的面积公式建立方程，解方程求出的值，代入一次函数的解析式求解即可得； （3）先求出点的坐标为，再根据点位于第一象限建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，然后求出，的边上的高，利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：将点的横坐标2代入得：， ∴， ∵点坐标为， ∴，的边上的高为， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：∵点位于第一象限， ∴， ∵点的坐标为， ∴，的边上的高为， ∵的面积为，且， ∴， 解得， 将代入一次函数得：，解得， 所以点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵第一象限点在直线上， ∴， ∴， 又∵点位于第一象限， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴，的边上的高为， ∴， 综上，关于的函数解析式为，的取值范围为． 23. 如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF． （1）求证：∠HEA＝∠CGF； （2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）连接GE，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE，利用两个角的差求解即可； （2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可． 【详解】证明：（1）连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG=∠CGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠HEA=∠CGF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形EFGH菱形， ∴HG=HE， 在Rt△HAE和Rt△GDH中， ， ∴Rt△HAE≌Rt△GDH， ∴∠AHE=∠DGH， ∵∠DHG+∠DGH=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°， ∴∠GHE=90°， ∴菱形EFGH为正方形. 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键. 24. 如图1，P是线段上的一点，在的同侧作和，使，，连接，点E、F、G、H分别是的中点，顺次连接E、F、G、H． （1）猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； （2）当点P在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）四边形是菱形 （2）成立，理由见解析 （3）四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，可得，根据三角形中位线的性质，可得，进而可得，即可得出结论； （2）连接，．证明，可得，同（1）的方法，即可得证； （3）连接，．证明，同理可得四边形是菱形，证明，即可得证． 【小问1详解】 解：四边形是菱形． 如图所示，连接， ∵ ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 小问2详解】 成立． 理由：连接，． ， ． 即． 又，， ， ． ，，，分别是，，，的中点， ，，，分别是，，，的中位线． ，，，． ． 四边形是菱形． 【小问3详解】 解：补全图形，如图． 判断四边形是正方形． 理由：连接，． （2）中已证：， ． ， ． 又， ， ． 由（2）知，分别是，的中位线， ，． ． 又（2）中已证四边形是菱形， 菱形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $