精品解析：河南省名校大联考2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2024—2025学年高二开学测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】因为，，所以， 故离心率为． 故选：A. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 4. 已知数列满足，设的前项和为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】确定数列周期，即可求解； 【详解】由正弦函数周期公式可知是周期为4的周期数列， 且，，，，得：， 所以． 故选：B 5. 已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先由椭圆标准方程得的值，接着由求出c，再由椭圆定义即可计算求解的周长. 【详解】因为，， 所以， 故的周长为． 故选：D. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 7. 如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线AB的方向向量，计算两向量夹角余弦值即可得解. 【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以令，得， 因为，所以， 故直线AB与平面所成角的正弦值为． 故选：D. 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由累加法可求得，进而利用裂项相消法可求的前项和，进而结合已知可得，求解即可. 【详解】因为，且， 所以当时，． 因为也满足，所以． 因为， 所以． 若成等差数列，则，即，得． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线BC的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次计算、即可判断AB；由投影向量定义求出投影向量即可判断C；依次求出直线BC的方向向量和，接着计算即可判断D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，，所以在上的投影向量为，故C错误； 因为，所以的一个单位方向向量为， 因为，所以点到直线BC的距离为，故D正确． 故选：ABD. 10. 在数列中，若对任意连续三项，，，均有，，则称该数列为“跳跃数列”．已知等比数列是“跳跃数列”，则公比的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知，可得，解出，即可得到答案. 【详解】因为等比数列是“跳跃数列”， 由已知，， 则，得，所以A，C正确． 故选：AC. 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出的最大值判断A；利用抛物线的定义转化，结合几何图形求出最小值判断B；利用点差法求出直线的斜率判断C；设出直线的方程并与抛物线联立，求出最小值即可判断D. 【详解】设．因为， 所以当三点共线时，有最大值32，故A正确； 因为点在抛物线内侧，准线为，过作于， 由抛物线的定义可得，所以， 的最小值为点到准线的距离，所以，故B错误； 由，得， 所以，故C正确； 当三点共线时，点到直线的距离， 设直线的方程为，， 由，消去得，， 所以，则 ， 所以当时，，所以，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积运算求解. 【详解】因为， 所以， ． 故答案为：-12 13. 设等比数列的前项和为，若，则_________________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质可得结果. 【详解】设，则. 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 又，所以，即， 所以， 故答案为：21. 14. “将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点，由圆的方程明确圆心与半径，根据圆外一点到圆上点的距离取最小，可得答案. 【详解】 设点关于直线对称的点为， 则,解得，故最短路径为． 记圆的圆心为，则直线BC的方程为， 联立，解得，即饮马点的坐标为． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，根据等差中项以及通项公式，建立方程组，可得答案； （2）利用等差数列的求和公式，确定数列中的所有正项与负项，分段求和，可得答案. 【小问1详解】 设的公差为．因为，所以． 因为，所以，解得， 故． 【小问2详解】 设的前项和为，则． 当时，； 当时，． 故. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线，结合线面平行的判定定理来证得结论成立. （2）通过证明、来证得平面. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 连接BD，交AC于点O，连接OM． 因为底面是矩形，所以O为AC，BD的中点． 因为M是PD的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，M是PD的中点，所以． 因为平面，所以平面． 【小问3详解】 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 由（2）知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，因为，， 所以令，得． 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知数列的前项和为，满足；是以为首项，且公差不为0的等差数列，，，成等比数列． （1）求，的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设递推关系结合等比数列定义求出是等比数列，由等比数列通项公式求出其通项公式，接着设等差数列的公差为，由等比中项公式列出关于d的关系式求出d即可得的通项公式； （2）先求出的通项公式，再结合错位相减法即可计算求解. 【小问1详解】 因为，所以当时，，所以． 当时，， 两式相减可得，所以， 所以是首项为1，公比为的等比数列，所以. 设等差数列的公差为， 因为，所以，，， 因为，，成等比数列， 所以，解得（舍去）或，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，， 两式相减得， 所以. 18. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义特征即可求出轨迹的方程. (2)设，利用设而不求的思想，结合曲线在A，B处的切线方程，求出交点坐标借助向量数量积的关系进行转化求解即可. 【小问1详解】 （1）由题意知动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹C的方程为. 【小问2详解】 （2）设，.联立得， 则，， . 易知直线，的斜率存在，设直线的方程为，联立 ，得. 由，解得，所以切线的方程为. 同理可得，切线的方程为. 由解得即点. 因为，，，且，所以， 即 化简得，因此或故. 19. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）①证明： ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的关系即可求解椭圆方程； （2）①利用设的直线与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度，，即可得到线段之积与直线系数的关系，同理计算出，再作比值，即可得到定值； ②利用弦长公式和面积公式可计算出，再利用换元法,化归到对钩函数来求值域即可. 【小问1详解】 由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二开学测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知数列满足，设的前项和为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2025 5. 已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 12 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线BC的距离为 10. 在数列中，若对任意连续三项，，，均有，，则称该数列为“跳跃数列”．已知等比数列是“跳跃数列”，则公比的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则__________． 13. 设等比数列的前项和为，若，则_________________. 14. “将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，满足；是以为首项，且公差不为0的等差数列，，，成等比数列． （1）求，的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 19. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $