河南省名校大联考2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2024—2025学年高二开学测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知数列满足，设的前项和为，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2025 5. 已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 6 B. 16 C. D. 12 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线BC的距离为 10. 在数列中，若对任意连续三项，，，均有，，则称该数列为“跳跃数列”．已知等比数列是“跳跃数列”，则公比的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则__________． 13. 设等比数列的前项和为，若，则_________________. 14. “将军饮马”问题源自唐代诗人李颀的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________，在河边饮马点的坐标为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，满足；是以为首项，且公差不为0的等差数列，，，成等比数列． （1）求，的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程. （2）已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 19. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 2024—2025学年高二开学测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】21 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【17题答案】 【答案】（1），； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①证明： ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $