4.2一元二次不等式及其解法（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

4.2一元二次不等式及其解法 题型一：一元二次不等式求解 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型二：分式不等式 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C．或 D． 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．设集合，则（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 题型三：绝对值不等式 1．下列不等式中，与的解集相同的是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解为（ ） A． B． C． D．或 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：一元二次不等式的逆用（基础） 1．若不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集为，则的解集为（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是，则的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 4．已知不等式的解集为，则实数_______________． 题型一：一元二次不等式逆用（提升） 1．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的解集为 2．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 3．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 4．（多选）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 题型三：一元二次方程的根的范围 1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 3．“”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 5．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 题型四：一元二次不等式整数解问题 1．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D．或 3．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 1．解关于的不等式：． 2．求下列关于的不等式的解集：． 3．已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 4．已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2一元二次不等式及其解法 题型一：一元二次不等式求解 1．不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为． 故选：A. 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 3．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集. 【详解】可化为， 即， 可得或， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 4．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式即： 分解因式可得：，所以解集为. 故选：C 题型二：分式不等式 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 所以不等式的解集为. 故选：D 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，由分式不等式转化为求一元二次不等式来求解即可. 【详解】由，可得，即，故， 所以解集为， 故选：C. 3．设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解分式不等式求出集合，再利用交集的运算法则即可． 【详解】， 结合，得， 即． 故选：A． 4．不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式等价转化成一元二次不等式求解即得. 【详解】因， 解得：. 故选：C. 题型三：绝对值不等式 1．下列不等式中，与的解集相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合A，然后利用交集运算求解即可. 【详解】对于集合，因为，所以， 又，则，则， 故选：C． 3．不等式的解为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值不等式法则求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C 4．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由，得或，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型四：一元二次不等式的逆用（基础） 1．若不等式的解集为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程的两根为，即可求解. 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 2．已知不等式的解集为，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得是方程的两个根，求得，代入计算即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个根， 即， 代入可得，解得或， 所以的解集为. 故选：D 3．不等式的解集是，则的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 4．已知不等式的解集为，则实数_______________． 【答案】3 【分析】根据韦达定理可求参数的值，从而可得它们的乘积. 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 题型一：一元二次不等式逆用（提升） 1．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 2．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 3．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（ ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 4．（多选）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 题型三：一元二次方程的根的范围 1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 2．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3．“”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 5．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案； （3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 题型四：一元二次不等式整数解问题 1．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 2．关于x的不等式（其中实数）恰有一个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】整理可得，分、和三种情况解不等式，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，即为， 令，解得或，且， 若，不等式的解集为， 由题意可得：； 若，不等式的解集为，不合题意； 若，不等式的解集为， 由题意可得：，解得； 综上所述：实数a的取值范围是或. 故选：B. 3．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 4．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得. 【详解】原不等式可化为， 即恰有2个整数解， ，解得或. 当时，不等式的解集为， ，个整数解为1，2， ，即，解得； 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B. 1．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】通过，和三种情况讨论即可. 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 2．求下列关于的不等式的解集：． 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小关系分类讨论求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 3．已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. （2）当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 4．已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析； 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与方程根的关系可得且，再由基本不等式中“1”的应用可得结果； （2）对参数的取值分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由关于的不等式的解集为可得是方程的两个实数根，且，； 因此可得，因此； 且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时满足题意，的最小值为； （2）整理不等式可得， 即； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式为的解集为或. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$