2.2基本不等式 （第1课时）（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

2.2.1基本不等式 （第1课时） 题型一：基本不等式求和的最小值 1.设恒成立，则实数的最大值为 A．2 B．4 C．8 D．16 2.已知，那么的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3.若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.若实数满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型二：基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 1.下列各式中，最小值是2的为 A． B． C． D． 2.已知，，则的最小值是 A． B． C． D． 3.已知，且满足，则的最大值为____________________. 4.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 题型三 基本不等式求积的最大值 1.若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 2.若圆的面积被直线（，）平分，则的最大值是 A． B． C． D． 3.某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4.若正数a，b满足 ，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 题型四：由基本不等式比较大小 1.若、，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2.如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（    ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 3.已知，下列各不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4.已知，，，，，则，，的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 题型一：基本不等式“1”的妙用求最值 1.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 2.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3.已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4.下列结论正确的是（    ） A．当，且时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 题型二：基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析 1.已知，，且，那么（    ） A． B． C． D． 2.不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝5 B．x＝－3 C．x＝3 D．x＝－5 3.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 4.（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型三 基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 1.已知，那么函数有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4 2.（多选题）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 3.（多选题）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 4.（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 1. （多选题）设，且，，则必有（    ） A． B． C． D． 2.若实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）下列表达式的最小值为2的有（    ） A．当时， B．当时， C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1基本不等式 （第1课时） 题型一：基本不等式求和的最小值 1.设恒成立，则实数的最大值为 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得的最大值. 【详解】由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为. 故选B. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题. 2.已知，那么的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【解析】，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3.若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3. 故选：C 4.若实数满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用均值不等式即可得解. 【详解】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 题型二：基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 1.下列各式中，最小值是2的为 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据基本不等式应用的条件对四个选项逐一判断即可. 【详解】选项A:只有当时，才有（当且仅当时取等号）成立，此时的最小值为2，当时， 没有最小值，因此选项A是错误的； 选项B:只有当时，才有（当且仅当时取等号）不等式成立，此时的最小值为2，当时，没有最小值，因此选项B是错误的； 选项C:因为，所以（当且仅当 时取等号），因此的最小值为2，所以本选项是正确的； 选项D: 因为，所以， 方程无实数根，故不等式取不到等号，因此本选项是错误的，故本题选C. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，在应用基本不等式时要注意必须有三个条件:一正二定三相等. 2.已知，，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【详解】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立． 考点：均值定理 3.已知，且满足，则的最大值为____________________. 【答案】3 【知识点】条件等式求最值、基本（均值）不等式的应用 【详解】本题考查了基本不等式求最值，考查了同学们的转化能力．因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为3． 4.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 题型三 基本不等式求积的最大值 1.若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】∵0<x<1， ∴f(x)＝x(4－3x)＝·3x(4－3x) ≤×()2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取得“＝”，故选D. 2.若圆的面积被直线（，）平分，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】圆的圆心为 有题意可得 即有 当且仅当时，取得最大值 故答案选 3.某产品的产量第一年的增长率为，第二年的增长率为．设这两年的年平均增长率为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【详解】，所以，所以，当且仅当时，等号成立． 4.若正数a，b满足 ，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由求解. 【详解】由题意得：，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为9. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题. 题型四：由基本不等式比较大小 1.若、，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】利用特殊值法以及基本不等式进行判断即可得出结论. 【详解】对于A选项，取，，，不等式不成立； 对于B选项，由于，若、同为负数，则不等式不成立； 对于C选项，，则且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则不等式恒成立； 对于D选项，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则不等式不恒成立. 故选：C. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（    ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小 【分析】结合基本不等式、差比较法确定正确选项. 【详解】依题意， 根据基本不等式可知， ， ， 所以. 所以，即. 故选：B 3.已知，下列各不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】针对A，B，C选项代入特值即可得到答案，D选项利用基本不等式可得出结论. 【详解】取时，，可判断选项A，B不正确； 取时，，可判断选项C不正确； 因为同号，， 当且仅当时，等号成立，选项D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到基本不等式的知识点，属于简单题. 4.已知，，，，，则，，的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】由题意结合均值不等式可比较AB的大小，然后结合不等式的性质比较BC的大小即可. 【详解】由于，，故，则，即， 结合可得：，两边乘以可得：，即. 据此可得：. 故选D. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 题型一：基本不等式“1”的妙用求最值 1.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时，即时取“”，所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用“1”的妙用，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 2.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 3.已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为3. 故选：A. 【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 4.下列结论正确的是（    ） A．当，且时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据结合基本不等式，即可判断A； 直接利用基本不等式即可判断BC，注意取等号的条件； 根据结合基本不等式，即可判断D. 【详解】解：因为，且， 所以，当且仅当，，即，时等号成立，所以，故A错误： 当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，当且仅当．即时等号成立，但已知条件中，故C错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故D错误． 故选：B. 题型二：基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析 1.已知，，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，，由基本不等式可得，， 上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 2.不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝5 B．x＝－3 C．x＝3 D．x＝－5 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立. 【详解】当时，， 等号成立的条件是 ， ，解得：. 故选A. 【点睛】本题考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，常用不等式包含， ，. 3.如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 【答案】C 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可 【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明, 故选C 【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题 4.（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式的内容及辨析 【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可. 【详解】解：对于A选项，由，得，故A正确； 对于B选项，由，得，即，故B正确； 对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确； 对于D选项，由基本不等式，得，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的应用，属于基础题. 题型三 基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 1.已知，那么函数有（    ） A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】 ，等号成立当且仅当， 函数的最小值2， 故选：B. 2.（多选题）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件. 【详解】因为，， 所以，仅当时，即等号成立， 令，则，故， 所以，即，仅当时右侧等号成立， 所以的最大值为，A错误； 由，则， 所以， 仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16，D正确. 故选：BCD 3.（多选题）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 4.（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为3 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】ABD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】因为正实数m、n， 所以， 当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确； 由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确； 因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误； ，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确. 故选：ABD 1. （多选题）设，且，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【解析】利用基本不等式计算出的取值范围，再结合求解出的取值范围，从而可判断出结果. 【详解】解：由基本不等式可得，，∴， 又， ∴，所以， 所以A错B对C错D对， 故选：BD. 【点睛】结论点睛：基本不等式链如下： ，其中，取等号时. 2.若实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】两次应用基本不等式可得最值，注意等号成立的条件是一致的． 【详解】解：因为，则， 当且仅当且时取等号，即时取等号， 此时取得最小值3． 故选：B． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，本题两次应用了基本不等式，应强调两次应用基本不等式时等号成立的条件必须相同，即等号同时取到． 3.（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】因为正实数,满足,可用“乘1法则”再根据基本不等式判断判断每个选项的正误. 【详解】解:,,且,,,A错误; , ,B错误;, ,C正确;, ,D正确. 故选CD 【点睛】利用基本不等式的性质判断即可.需要注意“一正二定三相等”. 4.（多选题）下列表达式的最小值为2的有（    ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】BC 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式及二次函数性质判断． 【详解】解：①对选项A，当均为负值时，，故最小值不为2; ②对选项B，因为，所以同号，所以， 所以，当且仅，即时取等号，故最小值为2; ③对选项C，，当时，取最小值2; ④对选项D，， 当且仅当，即时，取等号，但等号显然不成立， 故最小值不为2. 故选：BC． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等需同时满足才能确定最值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$