2026届高三数学一轮复习优生加练38：函数y=Asin(ωx+φ)

第38练　函数y=Asin(ωx+φ) 一、单项选择题(每小题5分,共10分) 1.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)等于(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 2.若要得到函数f(x)=sin的图象,只需将函数g(x)=cos的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 3.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则该函数的解析式为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=cos D.y=cos 4.如图所示,一半径为4米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则(　　) A.点P第一次到达最高点需要20秒 B.当水轮转动155秒时,点P距离水面1米 C.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米 D.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=4sin+2 三、填空题(共5分) 5.(2024·嘉定模拟)已知函数f(x)=2sin将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,则φ=　　　　　.  四、解答题(共13分) 6.(13分)(2025·武汉模拟) 已知向量a=(2sin ωx),b=(cos2ωx,2cos ωx),函数f(x)=a·b-(ω>0),f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为. (1)求f(x)的单调递减区间；(6分) (2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的再向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=m在上只有一个解,求实数m的取值范围.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第38练　函数y=Asin(ωx+φ) (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分,共10分) 1.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)等于(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　B 解析　依题意,将y=sin的图象向左平移个单位长度,再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到f(x)的图象,所以y=sin的图象y=sin的图象f(x)=sin的图象. 2.若要得到函数f(x)=sin的图象,只需将函数g(x)=cos的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　D 解析　因为sin=cos=cos=cos 所以将函数g(x)的图象向右平移个单位长度即可得到函数f(x)的图象. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 3.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则该函数的解析式为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=cos D.y=cos 答案　BC 解析　由题图可知,函数的最小正周期 T=2×=π,∴=π,ω=±2. 当ω=2时,y=sin(2x+φ),将点代入得, sin=0, ∴2×+φ=2kπ+π,k∈Z, 即φ=2kπ+k∈Z,故y=sin. 由于y=sin=sin=sin故B正确； y=sin=cos=cos 故C正确； 对于A,当x=时,sin=1≠0,故A错误； 对于D,当x==时,cos=1≠-1,故D错误； 当ω=-2时,y=sin(-2x+φ),将代入, 得sin=0, 结合函数图象,知-2×+φ=π+2kπ,k∈Z, 得φ=+2kπ,k∈Z,∴y=sin 但当x=0时,y=sin=-<0,与图象不符合,舍去. 4.如图所示,一半径为4米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时,则(　　) A.点P第一次到达最高点需要20秒 B.当水轮转动155秒时,点P距离水面1米 C.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,距离水面2米 D.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=4sin+2 答案　ACD 解析　设点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B 由题意,hmax=6,hmin=-2, ∴解得 ∵T==60, ∴ω==则h=4sin+2. 当t=0时,h=0, ∴4sin φ+2=0,则sin φ=- 又|φ|<则φ=-. 综上,h=4sin+2,故D正确； 令h=4sin+2=6, 则sin=1, 令t-=得t=20,故A正确； 当t=155时,h=4sin+2=4sin 5π+2=2,故B不正确； 当t=50时,h=4sin+2=4sin +2=-2,故C正确. 三、填空题(共5分) 5.(2024·嘉定模拟)已知函数f(x)=2sin将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,则φ=　　　　　.  答案　 解析　把函数f(x)=2sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后, 得到函数y=g(x)=2sin的图象, 再根据y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1, 设g(x)的对称轴为x=x0,则最高点的坐标为(x0,2), 它与点(0,3)的距离的最小值为1, 即=1,即x0=0,则g(0)=2, 即g(0)=2sin=2,0<φ<π,解得φ=. 四、解答题(共13分) 6.(13分)(2025·武汉模拟) 已知向量a=(2sin ωx),b=(cos2ωx,2cos ωx),函数f(x)=a·b-(ω>0),f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为. (1)求f(x)的单调递减区间；(6分) (2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的再向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=m在上只有一个解,求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)f(x)=a·b-=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx- =(1+cos 2ωx)+sin 2ωx- =2sinω>0, 因为f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为 所以f(x)的最小正周期为π, 所以=π,即ω=1,所以f(x)=2sin 令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 则+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为k∈Z. (2)由(1)知f(x)=2sin将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数y=2sin的图象, 再向左平移个单位长度,得到g(x)=2sin=2sin的图象, 令t=4x+ x∈ 则t∈ 所以2sin t∈ 由题意知2sin t=m在t∈上只有一个解, 由y=2sin t,t∈的图象可得,-≤m<或m=2, 所以m的取值范围是[-)∪{2}. 学科网（北京）股份有限公司 $$