函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象 一、单项选择题 1．(2024·杭州二模)函数f(x)＝|sinx|的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π 2．(2024·潍坊二模)将函数f(x)＝cosx的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin2x B．sin C．－sin D．cos2x 3．(2024·南京、盐城一模)已知关于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)有下列说法： ①f(x)的最大值为3； ②f(x)的图象可由y＝3sinx的图象平移得到； ③f(x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为； ④f(x)的图象关于直线x＝对称． 若有且仅有一个说法是错误的，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题 5．(2025·潍坊期初)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则(　　) A．φ＝－ B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)图象的一个对称中心为 D．f(x)的单调递增区间为，k∈Z 6．(2024·新乡二模)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A＞0，ω＞0，φ∈(0，π]．小球从最高点出发，经过2 s后，第一次回到最高点，则(　　) A．φ＝ B．ω＝π C．t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为 D．t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度h之比为 7．(2024·烟台、德州二模)已知函数f(x)＝sinx·|cosx|，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)的最小值为－ D．f(x)在上单调递增 三、填空题 8．(2024·十堰4月调研)将函数f(x)＝4sin的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最小值是____． 9．(2024·广东大湾区二模)若函数f(x)＝(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝___． 10．(2024·景德镇三检)已知函数f(x)＝cosωx(x∈R)在[0，π]内恰有两个对称中心，|f(π)|＝1，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象．若f(α)＋g(α)＝，则cos＝____． 四、解答题 11．(2024·烟台期中)已知函数 f(x)＝sin，其中x∈R，ω＞0，函数f(x)图象上相邻的两条对称轴之间的距离为． (1) 求f(x)的解析式和单调递增区间； (2) 若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数h(x)＝(sinx＋cosx)·g(x)在 上的最大值． 12．(2024·广州冲刺训练(一))已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋． (1) 若x∈时，m＜f(x)恒成立，求实数m的取值范围； (2) 将函数f(x)图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．当x∈[0，t]时，函数g(x)有且仅有4个零点，求实数t的取值范围． 函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象 1. C 2. B　【解析】 将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得g(x)＝sin x的图象． 3. D　【解析】 由说法②可得ω＝1；由说法③可得＝，则T＝π＝，则ω＝2，②和③相互矛盾．当①②④成立时，由题知A＝3，ω＝1，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈，故k＝0，φ＝，即f(x)＝3sin ，所以f＝.当①③④成立时，由题知A＝3，ω＝2，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－∉，故不合题意．综上，f＝. 4. C　【解析】 将y＝cos 的图象向左平移个单位长度，得函数y＝cos ＝cos ＝－sin 2x 的图象，所以f(x)＝－sin 2x.又直线y＝x－过与(1，0)两点，作出f(x)的图象与直线y＝x－如图所示，由图可知，f(x)的图象与y＝x－的交点个数为3. (第4题) 5. ABD　【解析】 由图象得T＝＋⇒T＝π，所以ω＝＝2，代入x＝－可得sin ＝－1，则φ＝2kπ－且|φ|<π，所以φ＝－，故A，B正确；因为f(x)＝sin (2x－)，所以f＝sin (－－)≠0，故C错误；令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故D正确． 6. BC　【解析】 对于A，B，由题可知小球运动的周期T＝2 s，又ω>0，所以＝2，解得ω＝π.当t＝0 s时，A sin φ＝A，又φ∈(0，π]，所以φ＝，故A错误，B正确．对于C，D，h＝A sin (πt＋)＝A cos πt，所以t＝3.75 s与t＝10 s时的相对于平衡位置的高度之比为＝＝＝，故C正确，D错误． 7. AC　【解析】 对于A，函数f(x)的定义域为R，有f(－x)＝sin (－x)·|cos (－x)|＝－sin x·|cos x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于B，因为f＝sin ·＝－，f＝sin ·＝，所以f≠f，这表明π不是f(x)的周期，故B错误；对于C，f(x)＝sin x·|cos x|≥－|sin x cos x|＝－|sin 2x|≥－，而之前已计算得到f＝－，故f(x)的最小值为－，故C正确；对于D，由于f＝sin ·|cos |＝0，f(0)＝sin 0·|cos 0|＝0，故f＝f(0)，所以f(x)在上并不是单调递增的，故D错误． 8. 　【解析】 由题意可得g(x)＝4sin ，因为g(x)是偶函数，所以－2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－－(k∈Z)，又φ>0，所以φmin＝. 9. 　【解析】 由题图知f＝0，则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z.设g(x)＝sin 的最小正周期为T，易知<<，所以<T<.因为ω>0，所以<<，解得<ω<，当且仅当k＝1时，符合题意，此时ω＝. 10. 　【解析】 由x∈[0，π]得ωx∈[0，ωπ]，因为函数f(x)在[0，π]内恰有两个对称中心，所以≤ωπ<，解得≤ω<.又|f(π)|＝|cos ωπ|＝1，所以ωπ＝kπ，k∈Z，即ω＝k，k∈Z，所以ω＝2.将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos [2(x－)]＝cos 的图象，则f(α)＋g(α)＝cos 2α＋cos ＝sin 2α＋cos 2α＝sin (2α＋)＝，所以cos ＝1－2sin2＝1－2×＝. 11．【解答】 (1) 由题知ω>0，＝，所以T＝π＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin .令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2) 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度，得g(x)＝sin x的图象，所以h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sinx cos x＝＝sin (2x－)＋.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以当2x－＝，即x＝时，h(x)取得最大值1＋. 12. 【解答】 (1) f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋＝sin2x＋cos 2x＝2sin ，当x∈时，2x＋∈，则2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值2sin ＝1.因为x∈时，m<f(x)恒成立，所以m<1，即实数m的取值范围为(－∞，1). (2) 由题意，函数g(x)＝2sin ，因为x∈[0，t]，所以4x－∈.又函数g(x)有且仅有4个零点，则3π≤4t－<4π，解得≤t<，所以实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $