精品解析：山东省滨州市无棣县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期期末学业质量监测八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第11卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 一次函数，若随的增大而增大，则的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2. 如图，E是正方形的边上一点，是边上的延长线上一点，且，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 6 3. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 4. 已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 时，四边形菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是正方形 D. 当时，四边形是矩形 5. 在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当时， D. 不等式解集是 6. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得，，或，，． 整理得，，，，，方程无解． 整理得，配方得，，，，． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 36 B. 32 C. 16 D. 8 8. 如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（ ） A. 可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B. 可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C. 可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D. 图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 第II卷（非选择题共96分） 二、填空题（每小题3分，共计21分） 9. 数据：2,0,,4的方差是__________________． 10. 在同一平面坐标系中，点，点，那么点与点之间的距离是___________． 11. 关于一元二次方程的一个根为2，则的值为___________． 12. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为___________． 13. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，85分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是___________分． 14. 如图，菱形中，对角线在轴的正半轴上，且，直线过点，则___________． 15. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地距离千米与行驶时间小时之间的函数图象如图所示（客车速度比出租车速度慢）． （1）客车速度为___________千米/时，出租车速度为___________千米/时； （2）两车出发后___________小时相遇． 三、解答题（共计75分） 16. （1）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是．求斜边的长； （2）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，，垂足为．求证：． 17. （1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线交直线于点，若的面积是，试求的解析式； （2）解方程：． 18. 四边形是平行四边形，点在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，过点作直线将四边形的面积平分； （2）如图2，若，点为上的一点，请在上截取一点，使得．并说明理由． 19. 今年是“五卅运动”100周年，某校为了让学生了解“五卅运动”，对七、八年级开展了关于“五卅运动”的知识竞答活动，满分共100分．从中分别随机抽取了10名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理分析，成绩如下： 七年级 98 99 93 93 80 95 90 90 93 99 八年级 90 92 100 98 99 98 91 89 98 95 根据以上数据，分析得到以下统计量： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 七年级 93 b 93 28.8 八年级 96.5 15.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，___________，___________； （2）抽取的八年级学生中，有一位同学测试成绩为95分，他的成绩在这10个人中处于______（填“中上”“中等”或“中下”）水平； （3）根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由（至少从两个角度进行分析）． 20. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 … 40 43 51 … 日销售量/件 … 60 57 49 … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2500元？如果能，求出每件售价，如果不能，请说明理由． 21. 规定：若，为关于x的一元二次方程的两实根，则，．已知：关于x的方程． （1）求证：k取任何实数，方程总有实数根； （2）若的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 22. 将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，直线经过点B． （1）如图1，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．试求直线的解析式； （2）如图2，点D是中点，点E在上，求取得最小值时E点的坐标． 23. 【课本再现】如图1，在中，M、N分别是、的中点，则线段是的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________； 【触类旁通】如图2，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________； 【深度发现】已知：如图3，在中，中线，交于点O，F，G分别是，的中点．连接、、、，试判断四边形的形状； 【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（），其中，三角板从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（旋转角），在三角板旋转的过程中，取的中点G，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末学业质量监测八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第11卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 一次函数，若随的增大而增大，则的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数图象的性质．根据一次函数的增减性，由大于零得出k的取值范围，再结合选项确定答案． 【详解】一次函数中，函数值随的增大而增大的条件是， 解得， 选项中只有满足， 故选：A． 2. 如图，E是正方形的边上一点，是边上的延长线上一点，且，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，证明和全等得，，在中，由勾股定理得，进而得，由此可得的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：D． 3. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可． 【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6， ∴中位数为：9.4， 故选B． 4. 已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是正方形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：A选项：平行四边形的对角线互相垂直时，该平行四边形为菱形．正确； B选项：当有一个角为直角时，平行四边形为矩形，而非菱形．错误； C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，要成为正方形还需对角线垂直或邻边相等．错误； D选项：邻边相等的平行四边形是菱形，而非矩形．错误． 故选：A 5. 在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 方程解是 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 6. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得，，或，，． 整理得，，，，，方程无解． 整理得，配方得，，，，． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据因式分解法，公式法，配方法需逐一分析各项的正确性，熟练掌握因式分解法、公式法，及配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：甲：两边直接除以得，因未考虑的可能，漏解，错误． 乙：移项时应为，正确因式分解为，乙的移项符号错误． 丙：整理后方程应为，此时，，，，方程有实根，丙错误． 丁：整理为，配方得，解得，，正确． 综上，只有丁的解法正确， 故选D． 7. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 36 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键．过点作于点，于点，先求出，，证明四边形是正方形得，，，再证明，得到，则，据此即可得出答案． 详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ∵正方形边长为6， ∴，，， 中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， 解得（负值舍去）， ∴正方形的面积为：， ∴． 故选：C． 8. 如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（ ） A. 可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B. 可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C. 可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D. 图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 第II卷（非选择题共96分） 二、填空题（每小题3分，共计21分） 9. 数据：2,0,,4的方差是__________________． 【答案】5 【解析】 【分析】新计算平均数,再根据方差的公式计算即可． 本题考查了平均数，方差的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为， 故方差为：, 故答案为：5． 10. 在同一平面坐标系中，点，点，那么点与点之间的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，得到计算即可． 本题考查了两点间距离公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】先证明，得到，再利用“三线合一”解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 故答案为：． 13. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，85分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是___________分． 【答案】85 【解析】 【分析】根据加权平均数计算公式解答即可． 本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，（分）． 故答案为：85． 14. 如图，菱形中，对角线在轴的正半轴上，且，直线过点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，对角线的交点为M，根据题意，点B与点C关于y轴对称，得到，根据，结合解析式，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，对称，解析式的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设，对角线的交点为M， 由菱形， 故，轴， 根据题意，得点B与点C关于y轴对称，得到， 根据，得， 故， 故， 根据菱形的性质，得, 故答案为：． 15. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离千米与行驶时间小时之间的函数图象如图所示（客车速度比出租车速度慢）． （1）客车速度为___________千米/时，出租车速度为___________千米/时； （2）两车出发后___________小时相遇． 【答案】 ①. 60 ②. 100 ③. 【解析】 【分析】（1）根据图象信息，得客车速度为（千米/时），出租车速度为（千米/时），解答即可； （2）确定甲车的解析式为，乙车的解析式为，联立方程组解答即可． 本题考查了图象信息的读取，待定系数法求解析式，方程组法求交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：（1）根据图象信息，得客车速度为（千米/时），出租车速度为（千米/时）， 故答案为：60，100； （2）解：设甲车的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 甲车的解析式为， 设乙车的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙车的解析式为， 根据题意，得， 解得， 两车出发后小时相遇． 故答案为：． 三、解答题（共计75分） 16. （1）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是．求斜边的长； （2）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，，垂足为．求证：． 【答案】（1）斜边长为；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）设直角三角形的一条直角边为，另一条直角边为，根据三角形面积建立方程求解； （2）证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】（1）解：设直角三角形的一条直角边为，另一条直角边为，根据题意得： 解方程，得：（舍去），， 另一边长为： ． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形 ． 17. （1）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线交直线于点，若的面积是，试求的解析式； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设，根据的面积是，结合已知，确定B的坐标，代入的解析式解答即可； （2）选择公式法解答即可． 本题考查了待定系数法，公式法求解方程，熟练掌握待定系数法,灵活解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：令， 又的面积是，设 ． 将代入得： 将代入， 得：， 得解析式为：； （2）解：根据题意，得， ； 18. 四边形是平行四边形，点在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，过点作直线将四边形的面积平分； （2）如图2，若，点为上的一点，请在上截取一点，使得．并说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连接、交于点，作直线即可； （2）如图，连接、交于点，连接延长交于点即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、交于点，作直线， ∵平行四边形的对角线交于点，且直线过点， ∴直线平分四边形的面积， 则直线即为所作； 【小问2详解】 如图，连接、交于点，连接延长交于点， 则点即为所作． 理由：∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则点即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 今年是“五卅运动”100周年，某校为了让学生了解“五卅运动”，对七、八年级开展了关于“五卅运动”的知识竞答活动，满分共100分．从中分别随机抽取了10名学生的成绩（成绩均为整数，单位：分）进行整理分析，成绩如下： 七年级 98 99 93 93 80 95 90 90 93 99 八年级 90 92 100 98 99 98 91 89 98 95 根据以上数据，分析得到以下统计量： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 七年级 93 b 93 28.8 八年级 96.5 15.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，___________，___________； （2）抽取的八年级学生中，有一位同学测试成绩为95分，他的成绩在这10个人中处于______（填“中上”“中等”或“中下”）水平； （3）根据上表中的统计量，你认为哪个年级的总体成绩较好？说明理由（至少从两个角度进行分析）． 【答案】（1）95，93，98 （2）中下 （3）八年级的总体成绩较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握平均数，中位数，众数的计算，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法即可求解； （2）根据中位数的判定方法即可求解； （3）根据平均数，中位数，众数，方差的性质进行判定即可求解． 【小问1详解】 解：八年级成绩的平均数， 八年级成绩出现次数最多的是， ∴， 七年级成绩从小到大排序为：80，90，90，93，93，93，95，98，99，99， ∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数， 故答案为：95，93，98； 【小问2详解】 解：∵八年级的中位数是，一位同学测试成绩为95分， ∴该同学的成绩在这10个人中处于中下， 故答案为：中下； 【小问3详解】 解：八年级的总体成绩较好，理由如下， 七年级的成绩平均数为分，八年级的成绩平均数为95分， 七年级的成绩中位数为分，八年级的成绩中位数为分， 七年级的成绩众数为分，八年级的成绩众数数为分， 七年级的成绩方差为分，八年级的成绩方差为分， ∴八年级的总体成绩较好． 20. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 … 40 43 51 … 日销售量/件 … 60 57 49 … （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2500元？如果能，求出每件售价，如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）该商品日销售额能达到2500元，每件售价为50元 【解析】 【分析】（1）解：设与之间的函数表达式为，将代入解答即可； （2）根据题意，得，方程有解则可，否则不可． 本题考查了待定系数法，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，准确解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将代入得： 解得． 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：该商品日销售额能达到2500元， 理由如下： 依题意得， 整理得， 解得：． 该商品日销售额能达到2500元，每件售价为50元． 21. 规定：若，为关于x的一元二次方程的两实根，则，．已知：关于x的方程． （1）求证：k取任何实数，方程总有实数根； （2）若的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，然后分三种情况利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， 无论取任何实数，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 方程的根为： ． ①当斜边长为4时， 即， 解得：，或（舍去）； ②当直角边长为4，斜边为时，． ③当直角边长为4，斜边为时，不成立． 综上，或． 22. 将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，直线经过点B． （1）如图1，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．试求直线的解析式； （2）如图2，点D是中点，点E在上，求取得最小值时E点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解，设，则，证明，结合根据勾股定理得： ，再求解直线的解析式为：； （2）过点作与点关于点对称，连接，与交于点，则点为所求的点，可得，设直线的解析式为：，可得直线的解析式为：，可得点的坐标为：． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，， ， 又直线经过点，将代入， 得：， ， ， 设，则， 又， ， 又折叠， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式为：， 将：点的坐标代入解析式，得：， 直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：点是中点， ， 过点作与点关于点对称，连接，与交于点，则点为所求的点 ， ∵， 设直线的解析式为：， 代入得：， 解得： 直线的解析式为：， 令，则 点的坐标为：． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，矩形的性质，轴对称的性质，熟练的利用一次函数的性质解题是关键． 23. 【课本再现】如图1，在中，M、N分别是、的中点，则线段是的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________； 【触类旁通】如图2，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________； 【深度发现】已知：如图3，在中，中线，交于点O，F，G分别是，的中点．连接、、、，试判断四边形的形状； 【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（），其中，三角板从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（旋转角），在三角板旋转的过程中，取的中点G，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】课本再现：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 触类旁通： 深度发现：是平行四边形，理由见解析 探索运用： 【解析】 【分析】课本再现：根据三角形的中位线定理即可得到结论； 触类旁通：由点，，，分别是，，，的中点， 根据中线求得F的面积的面积，同理可得的面积的面积， 的面积的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论； 深度发现：由，都是的中线，得到是的中位线，根据三角形中位线定理得到，得到且，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； 探索运用：取中点， 连接、， 由是中点，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】课本再现：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； 触类旁通：∵点， ， ， 分别是， ，， 的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线， 是的中线，是的中线， ∴的面积 的面积的面积的面积， 同理可得的面积的面积， 的面积的面积， 又∵是的中位线， ∴的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：； 深度发现：证明： ∵ ，都是的中线， ∴是 的中位线， ， ∵，分别是，的中点， ， 且 ， ∴四边形是平行四边形； 探索运用：取中点， 连接、， 如图： ∵是中点， ， 在中，， ， ， ∵是斜边上中线， ， 当、、不在同一直线上时， ， 当在线段上时，， ， ∴、、三点共线时， 最大值． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形中位线定理，三角形的中线，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$