精品解析：山东省德州市夏津县2024-2025学年下学期八年级数学期末试题

2024-2025学年第二学期期末学习成果阶段展示八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第I卷（选择题共40分） 一、选择：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（    ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 观察选项，只有D符合题意； 故选：D． 2. 某中学八年级一班和二班各选取了20名学生进行安全教育竞赛答题，得分情况经统计整理为如图所示的折线图．请结合图象分析：哪个班级的成绩更稳定（　　） A. 一班 B. 二班 C. 一样稳定 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和数据离散程度，掌握读图方法是解决问题的关键．通过折线统计图观察成绩波动的大小确定数据的离散程度可解决问题． 【详解】解：观察折线图，二班的波动小，所以二班的成绩更稳定． 故选：B． 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值， 由题意可知，a是方程的根，代入方程可得，将其代入所求代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， 将代入代数式，得：． 故选：A． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 设秋千绳索的长为尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：根据题意，设秋千绳索的长为尺， 则； 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先求出，，根据一次函数的图象不经过第四象限，得出，，结合，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ，， ， 函数值随的值增大而增大， 函数图象不经过第四象限， ， ，， ， ， ， 解得（负值已舍去）， 的值为4． 故选：C． 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空：本大题共5小题，共记20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. 当______时，是关于的一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 将一次函数 的图象向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据平移性质：上加下减，进行作答即可． 【详解】解：∵一次函数 的图象向下平移2个单位， ∴所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 13. 已知，化简_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边的中点，过点E作于点于点G，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵E是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 15. 定义：在平面直角坐标系中，直线是平行于轴的一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．那么函数关于直线的“镜面函数”的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的轴对称变换及分段函数解析式的求解，解题的关键是理解“镜面函数”的定义，掌握关于垂直于y轴的直线对称的点的坐标变换规律． 确定原函数在时的解析式（直接保留）；通过对称点坐标关系，求出时对称部分的解析式；整合两部分解析式得到“镜面函数”． 【详解】解：设函数上一点，其关于直线的对称点为，则，即． 将代入原函数，得． ∴时，“镜面函数”的解析式为． 综上，“镜面函数”的解析式为． 故答案为：． 三、解答：本大题共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程；． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，因式分解法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． （2）先整理，得，故，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 17. 某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下： 甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8； 乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10． 请根据信息回答问题： 级别 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 乙 8 8 0.8 （1）求的值； （2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由． 【答案】（1），，， （2） 解：选择甲参加市里比赛． 理由如下： ∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等， ∵方差越小，成绩越平稳， ∴选择甲． 【解析】 【分析】（1）根据甲乙数据，结合平均数、众数、中位数和方差的计算方法求解即可得到答案； （2）由平均数、众数、中位数及方差四个数据作比较，即可作出决策． 【小问1详解】 解：甲：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10， ，，， 乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查统计综合，涉及平均数、众数、中位数、方差的求法以及根据相关统计量作决策等知识．熟记相关统计量的意义与求法是解决问题的关键． 18. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】（1）的长度为 （2）该车符合安全标准 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； 【小问2详解】 解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ， ， ， ， ， 或1， ， ． 20. 已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上． （1）尺规作图：使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，则菱形的面积为__________． 【答案】（1） 下图为所求： （2）20 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）运用尺规作线段的垂直平分线，由菱形的判定方法“对角线互相垂直的平行四边形”可知四边形是菱形； （2）根据矩形和菱形的性质设，则，在中，，由此列式得到，根据菱形面积的计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，线段垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵线段垂直平分线段， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 21. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】 （1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②一次函数，； （2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①略 ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 23. 活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形； 【操作探究】 （2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出： ①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________． 【答案】 （1）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， 四边形是矩形，是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形； （2）；（3）①；②点运动的路径长为． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，则可证明是等腰直角三角形，得到，据此可证明结论； （2）先证明四边形是矩形，得到，，则；可证明，得到，，则，；由折叠的性质可得，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）①可证明，得到，则，故当时，有最小值，即此时有最大值，可证明此时四边形是矩形，则，即； ②当点E与点N重合时，同理可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；如当点P恰好与点重合时，由折叠的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】证明：（1）略 （2）四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得， 四边形是矩形， ， ； 由折叠的性质可得， ， 又， ， ， ， ； 由折叠的性质可得， ， 设，则， 在Rt中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）①如图3-1所示，由折叠的性质可得， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 当最小时，有最大值， 当时，有最小值，即此时有最大值， 此时四边形是矩形， ， ； ②如图3-2所示，当点与点重合时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； 如图3-3所示，当点恰好与点重合时， 由折叠的性质可得， ， 点运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末学习成果阶段展示八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第I卷（选择题共40分） 一、选择：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（    ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 某中学八年级一班和二班各选取了20名学生进行安全教育竞赛答题，得分情况经统计整理为如图所示的折线图．请结合图象分析：哪个班级的成绩更稳定（　　） A. 一班 B. 二班 C. 一样稳定 D. 无法判断 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 10. 如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是______． 第II卷（非选择题共110分） 二、填空：本大题共5小题，共记20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. 当______时，是关于的一元二次方程． 12. 将一次函数 的图象向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为______． 13. 已知，化简_______． 14. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边的中点，过点E作于点于点G，若，则的长为______． 15. 定义：在平面直角坐标系中，直线是平行于轴的一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．那么函数关于直线的“镜面函数”的解析式为___________． 三、解答：本大题共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程；． 17. 某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下： 甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8； 乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10． 请根据信息回答问题： 级别 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 乙 8 8 0.8 （1）求的值； （2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由． 18. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 20. 已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上． （1）尺规作图：使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，则菱形的面积为__________． 21. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 23. 活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形； 【操作探究】 （2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出： ①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $