精品解析： 辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末质量监测 七年数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是科学防控新冠知识的图片．其中的图案是轴对称图形（　　） A. B. C. D. 2. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数是( ) A. 40° B. 80° C. 100° D. 120° 5. 如图，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 7. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（ ） A. S，a是变量 B. S，h是常量 C. h，a是变量 D. S，a是常量 10. 如图，用四个长和宽分别为的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是S，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ______． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 13. 如表是某商品的数量（个）与售价（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知与之间的关系式是______． 数量（个） 售价（元） 14. 如图，，若，，则的度数为______． 15. 如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．则的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数． 18. 某公交车每天的支出费用为元，票价为元人，设每月有人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元． （1）若一个月按天计算，求与之间的关系式； （2）当时，求值； （3）请直接写出当每月乘客量最少达到多少人时，该公交车才不会亏损？ 19. 如图，在中，，为的中线，以点圆心，长为半径画弧，与、分别交于点、，连接，． （1）判断与是否全等？并说明理由： （2）若，求的度数． 20. 如图，在和中，，，，连接，，若平分． （1）判断与是否相等，并说明理由； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 21. 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具、同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出伞形图，已知，，请判断是否平分、并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点，若，判断与的数量关系，并说明理由． 22. 定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． （1）求的值； （2）若，则______； （3）若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 23. （1）已知等边和等边．点在边上，点在边上． ①如图，连接，当时，判断和的数量关系，并说明理由； ②如图，连接、以为边作等边三角形，点在右侧，连接、若，，求的长； （2）若点在等边内：，，连接． ①如图，当点为的中点，连接，，求的度数． ②如图，点为边上一点，连接，，，当的值最小时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末质量监测 七年数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是科学防控新冠知识的图片．其中的图案是轴对称图形（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答案． 【详解】解：A、摸出白球的概率为，不符合题意； B、摸出红球，符合题意； C、摸出绿球，不符合题意； D、摸出黑球，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及完全平方公式、幂的乘方、单项式乘法及合并同类项，需逐一分析各选项的正确性，据此进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：B 4. 已知等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数是( ) A. 40° B. 80° C. 100° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出顶角度数； 【详解】解：等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数是：180°-40°-40°=100°， 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意：三角形的三个内角的和等于180°，等边对等角． 5. 如图，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：D． 6. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 8. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 9. 若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（ ） A. S，a是变量 B. S，h是常量 C. h，a是变量 D. S，a是常量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了变量与常量的定义，根据变量与常量的定义，结合等腰三角形的底边长为，底边上的高为定长，且面积公式为，进行分析各量的变化情况，即可作答． 【详解】解：依题意，是定长，故为常量； 底边未限定为固定值，可以变化，故为变量； 则面积随的变化而变化（中为常量），故也是变量， 故选：A 10. 如图，用四个长和宽分别为的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是S，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积的差列方程． 【详解】解：根据大正方形的面积求得该正方形的边长是8，则a+b=8， 若S=4，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则a-b=2， 解得a=5，b=3，ab=15，故选项A、D错误； 若S=16，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是4，则a-b=4， 解得a=6，b=2，ab=12，故选项B错误；故选项C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组．此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进行选择． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13. 如表是某商品的数量（个）与售价（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知与之间的关系式是______． 数量（个） 售价（元） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．观察表格数据，可得，即可求解． 【详解】解：依题意，与的关系式为， 故答案为：． 14. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了作角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握基本作图是解决问题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用基本作图得到，然后根据三角形外角性质计算出的度数． 【详解】解：， ， 由作图过程得平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式、同底数幂相乘法则、完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项法则． （1）根据积的乘方法则和幂的乘方法则先算乘方，再根据单项式乘单项式和同底数幂相乘法则进行乘法即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项法则进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：（1） （2） ， 当时，原式 17. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数． 【答案】75° 【解析】 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数． 【详解】解：如图， 在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°， ∴∠B＝90°−∠C＝60°， ∠F＝90°−∠E＝45°， ∵BCEF， ∴∠MDB＝∠F＝45°， 在△BMD中，∠BMD＝180°−∠B−∠MDB＝75°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键． 18. 某公交车每天的支出费用为元，票价为元人，设每月有人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元． （1）若一个月按天计算，求与之间的关系式； （2）当时，求值； （3）请直接写出当每月乘客量最少达到多少人时，该公交车才不会亏损？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查求函数解析式，求函数值、一元一次不等式的应用，根据题意写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据题意，每月收入与支出的差额为元，列出关系式，即可求解； （2）将代入（1）的关系式，即可求解； （3）根据题意可得得，即，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， 与之间的关系式为． 【小问2详解】 当时， 【小问3详解】 根据题意，得，即， 解得． 答：每月乘客量最少达到人时，该公交车才不会亏损． 19. 如图，在中，，为的中线，以点圆心，长为半径画弧，与、分别交于点、，连接，． （1）判断与是否全等？并说明理由： （2）若，求的度数． 【答案】（1）与全等，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形性质得，，由作图可知，由此可依据判定与全等； （2）根据得，进而得，再根据得，由三角形内角和定理得，由此可得出的度数． 【小问1详解】 解：与全等，理由如下： 在中，，为的中线， ，， 由作图可知：， 在与中， ， ； 【小问2详解】 ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ． 20. 如图，在和中，，，，连接，，若平分． （1）判断与是否相等，并说明理由； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理，平行线的判定是解决问题的关键． （1）根据得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据平分得，进而根据和全等得，继而得，然后根据即可得出与的位置关系． 【小问1详解】 解：与相等，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， 【小问2详解】 与的位置关系是：，理由如下： 在中，，， ， 平分， ， 由（）可知：， ， ， ， ． 21. 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具、同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出伞形图，已知，，请判断是否平分、并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点，若，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，得，即可得出结论； （2）在上截取，证明，得，，再证明，得，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论． 【详解】解：（1）平分，理由如下： 在和中， ， ， ， 平分； （2），理由如下： 如图2，在上截取， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． （1）求的值； （2）若，则______； （3）若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】（1） （2） （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 23. （1）已知等边和等边．点在边上，点在边上． ①如图，连接，当时，判断和的数量关系，并说明理由； ②如图，连接、以为边作等边三角形，点在右侧，连接、若，，求的长； （2）若点在等边内：，，连接． ①如图，当点为的中点，连接，，求的度数． ②如图，点为边上一点，连接，，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，理由见解析；②；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）①等边，中，得到∠，根据，得到，得到平分，得到； ②根据等边三角形的性质得出证明，，进而可得，即可证明得出，进而可得，根据等边三角形的性质，即可求解． （2）①连接，延长到点，使，连接，，根据为的中点，得到，根据，推出，得到，，得到，根据，得到，证明，根据，得到，根据，推出，得到，； ②将绕点逆时针旋转，到，点的对应点为点，连接，，，得到，，，根据，得到，推出是等腰直角三角形，根据，，推出是等边三角形，得到，得到，时，的值最小，的值就最小，推出． 【详解】（1）证明：①在等边，中，， ∵， ∴， ∴平分， ∴； ②∵等边三角形，等边， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：①连接，延长到点，使，连接，， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，又， ∴， ∴，； ∴； ②将绕点逆时针旋转，到，点的对应点为点，连接，，，则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 当是直角三角形，时，的值最小，的值就最小， 此时， 故当的值最小时，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，全等三角形，旋转．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，旋转性质，是解决此类问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $