精品解析：山东省临沂市兰陵县2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2024-2025学年度下学期期末质量检测试题 七年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下面各数中是无理数的是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（ ） A B. C. D. 3. 一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 矩形相邻两边长分别、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 5. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ） A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月 7. ，是平面直角坐标系中的两点，当线段的长度最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 9 9. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生碳排放量为400公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据如图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ） 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A. 153天 B. 154天 C. 155天 D. 156天 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是______． 12. 关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的值可以是________．（填写一个满足题意的值即可） 13. 下列表格中给出的几组数都是关于x，y的二元一次方程的解，表格中m的值为________． x 0 1 2 5 y 3 1 m 14. 如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为________ 15. 按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是________ 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算； （1）； （2）． 17. （1）解方程组 （2）解不等式组 18. 如图一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行与地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． （1）求证：； （2）若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 19. 某校为了解七年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中a的值为________，圆心角β的度数为________； （4）若该校七年级有1200名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？ 20. 类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： （1）81的四次方根为______；的五次方根为______． （2）若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． （3）解方程： ① ② 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过600元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的6倍，扫把簸箕套装不少于20套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需35元，买2条毛巾和4套扫把簸箕套装共需50元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的9折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打5折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ； （2）当分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使求出点P的坐标． （3）在的运动过程中，当时，请你直接写出和的数量关系， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期末质量检测试题 七年级 数学 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下面各数中是无理数的是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，化简二次根式． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数. 【详解】解：选项A：；将20分解为，则；由于是无理数，因此也是无理数 选项B：，是整数，属于有理数； 选项C：；2025是整数，属于有理数； 选项D：；分数形式，分子分母均为整数，属于有理数； 故选：A. 2. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和邻补角互补，根据邻补角互补与两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ 依题意，， ∴． 故选：B 3. 一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画平面直角坐标系，根据平面直角坐标系求点的坐标． 根据题意作平面直角坐标系，再判断即可． 【详解】解：∵一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示， ∴平面直角坐标系如下： ∴原点可能点B， 故选：B 4. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ） A 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算矩形的面积，再利用平方数的范围估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：矩形的面积， ∵， ∴，即， 故在3和4之间， 故选：C． 5. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项解不等式，选择符合题意的一项． 【详解】图中数轴表示的解集是x<2． A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意， B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意， C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意， D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，主要是要细心． 6. 如图是某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ） A. 1月 B. 2月 C. 3月 D. 4月 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，利润等于售价减去进价，据此根据统计图中的数据分别求出对应月份的利润即可得到答案． 【详解】解：1月该商品单个利润为元， 2月该商品单个利润大于元， 3月该商品单个利润小于元， 4月该商品单个利润为元， ∴售出该商品单个利润最小的是3月， 故选：C． 7. ，是平面直角坐标系中的两点，当线段的长度最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点在轴上的动点，根据垂线段最短，长度的最小值即为点到轴的最短距离，此时点为从向轴作垂线的垂足，最短距离即为点的纵坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 此的长度最小， ∵，， 即当时，线段长度的值最小， 此时线段长度的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，垂线段最短，确定点的位置是解题的关键． 8. 已知方程组中，a，b互为相反数，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，解二元一次方程组是关键． 首先根据，应用加减消元法，用m表示出a、b；然后根据a，b互为相反数，可得：，据此求出m的值是多少即可． 【详解】解： ①+②，可得， 解得， 把代入①，解得， ∵a，b互为相反数， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 9. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 10. 小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生碳排放量为400公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据如图的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为20公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ） 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 ●自行车：0公斤 ●公交车：0.04公斤 ●机车：0.05公斤 ●汽车：0.17公斤 A. 153天 B. 154天 C. 155天 D. 156天 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设改搭公交车上下班天， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为154， 至少要改搭公交车上下班154天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据“频数即出现次数”进行解答． 【详解】解：由题意得：“强”字出现了3次． 所以，“强”字出现的频数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了频数，熟练掌握“频数即出现次数”是解题的关键． 12. 关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的值可以是________．（填写一个满足题意的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式及求不等式的整数解，正确得出两个负整数解是解题关键．先求出不等式的解集，再根据恰有两个负整数解得出不等式的整数解，即可得答案． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式恰有两个负整数解， ∴负整数解为、， ∴， ∴的值可以为． 故答案为： 13. 下列表格中给出的几组数都是关于x，y的二元一次方程的解，表格中m的值为________． x 0 1 2 5 y 3 1 m 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，首先可知四边形面积 =梯形面积=15，然后根据平移的性质得到，进而根据梯形面积求解即可． 【详解】解：∵把沿点A到点E方向平移至处 ∴四边形面积 =梯形面积 ∵， ∴ ∴，解得： 故答案为：2. 15. 按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了规律题，正确分析得出规律的变化情况是解题的关键； 先确定系数及字母指数的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：因为第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， 所以第4049个式子为 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，掌握立方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再进行加减运算； （2）先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. （1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个方法与步骤是解题的关键． （1）利用加减消元法计算即可； （2）分别计算出两个不等式的解集，然后再利用解集的规律确定不等式组的解集．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 【详解】解：（1） ，得， 解得：， 把代入①，得， 即． 原方程组的解为：． （2） 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集是． 18. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行与地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． （1）求证：； （2）若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，则有，根据，得即可求解． 【小问1详解】 证明： ， ； 【小问2详解】 解：扶手与底座都平行与地面， ， ， ， 平分， ． 由（1）知 ． 19. 某校为了解七年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：A（），B（），C（），D（），将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中a的值为________，圆心角β的度数为________； （4）若该校七年级有1200名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？ 【答案】（1）60 （2）见解析 （3）20；144° （4）600人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体的思想， 对于（1），根据B类别有18人，占样本的可得样本容量； 对于（2），先求出C类别的人数，再补全统计图即可； 对于（3），用选择A类别的人数除以抽查的总人数可得a，再用C类别所占的百分比乘以可得； 对于（4）用总人数1200乘以成绩少于54分的学生所占的百分比可得答案. 【小问1详解】 解：， ∴本次抽样样本容量为60； 故答案为：60； 【小问2详解】 解：C组的人数为， 【小问3详解】 解：，， ∴. 故答案为：20，； 【小问4详解】 解：全校低于54分的学生的人数（人）． 答：全校低于54分的学生的人数600人． 20. 类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： （1）81的四次方根为______；的五次方根为______． （2）若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． （3）解方程： ① ② 【答案】（1）； （2），全体实数 （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查新定义——四次方根与五次方根的定义．求解时注意正数的四次方根有2个． （1）根据四次方根、五次方根的定义即可解答； （2）根据四次方根、五次方根意义即可解答； （3）①根据四次方根的定义即可求解；②根据五次方根的定义即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴81的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：， 【小问2详解】 若有意义，则， ∴a的取值范围为：． 若有意义，则a的取值范围为全体实数． 故答案为：，全体实数 【小问3详解】 ①∵，又 ∴； ②∵ ∴， ∵， ∴． 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求a的值； （3）若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】（1）4 （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【小问1详解】 解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过600元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的6倍，扫把簸箕套装不少于20套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需35元，买2条毛巾和4套扫把簸箕套装共需50元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的9折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打5折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为5元，扫把簸箕套装的单价为10元；任务2：学校购买扫把簸箕套装20套，毛巾120条 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】任务1： 解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得： 解得 答：毛巾单价为5元，扫把簸箕套装的单价为10元． 任务2： 设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一： 依题意，得， 解得， ∵扫把簸箕套装不少于20套． 即， 则方案一不符合题意，故舍去； 方案二： ∵扫把簸箕套装不少于20套，即， ∴总费用， ∴根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴ 答：学校选择方案2，购买扫把簸箕套装20套，毛巾120条． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）直接写出点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ； （2）当分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使求出点P的坐标． （3）在的运动过程中，当时，请你直接写出和的数量关系， 【答案】（1）BC//AO （2）点P的坐标为(﹣4，0) （3）∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠OPQ＝∠PQB﹣30°或∠OPQ＝150°﹣∠PQB； 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性求出a、b的值，从而得到点B的坐标，根据点B和点C的纵坐标相同得出BC∥AO； （2）表示出t秒时点P和点Q的坐标，用含t的式子表示出△PAB和△QBC的面积，根据题意列出关于t的方程，求出t即可确定P的坐标； （3）分Q在C的上方、Q在C的下方两种情况，过点Q作QH∥x轴，交AB与点H，根据平行线的性质即可确定∠OPQ和∠PQB的数量关系； 【小问1详解】 解：∵（a+8）2+＝0， ∴（a+8）2≥0，≥0， ∴a+8＝0，c+4＝0， 解得：a＝﹣8，b＝﹣4， ∴点B的坐标为（﹣4，﹣4）， ∵B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4）， ∴AO∥BC， 故答案为：（﹣4，﹣4）；AO∥BC； 【小问2详解】 解：由题意可知t秒时P的坐标为（﹣8+2t，0），Q的坐标为（0，﹣t）， ∴S△ABP＝×2t×4＝4t，S△QBC＝×（4﹣t）×4＝8﹣2t， ∵S△PAB＝2S△QBC， ∴4t＝2（8﹣2t）， 解得：t＝2， ∴﹣8+2t＝﹣4， ∴P（﹣4，0）； 【小问3详解】 解：过点Q作QH∥x轴，交直线AB与点H， ∵QH∥AO，BC∥AO， ∴QH∥BC， ∴∠OPQ＝∠PQH，∠CBQ＝∠BQH， 如图（1），当Q在C的上方时，∠PQH＝∠PQB﹣∠HQB， ∴∠OPQ＝∠PQB﹣∠QBC， 当∠QBC＝30°时，∠OPQ＝∠PQB﹣30°， 如图（2）当Q在C的下方时， ∵QH∥BC， ∴∠HQB＝∠CBQ＝30°， ∵∠HQB+∠PQB＝∠HQP＝180°﹣∠OPQ， ∴∠OPQ＝150°﹣∠PQB， 综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠OPQ＝∠PQB﹣30°或∠OPQ＝150°﹣∠PQB； 【点睛】本题考查的是平行线的性质、非负数的性质、平面直角坐标系和三角形的面积公式，解题的关键是能利用非负数的性质求出a和c的值，确定点A，B，C的坐标，灵活运用分情况讨论思想也是解答此题的关键环节． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$