精品解析：重庆市大渡口区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024—2025学年度下期八年级（数学）期末质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，作答即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B选项为轴对称图形， 根据中心对称图形的定义可知：B选项为中心对称图形． 故选：B． 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关即可． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：A. ，不是，不符合题意； B. ，不是，不符合题意； C. ，是，符合题意； D. ，不是，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】n边形的内角和公式为（n-2）180°，由此列方程求边数n． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则（n-2）180°=540°， 解得n=5， 故选A. 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 5. 将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ） A. （4， -1） B. （2，1） C. （2，-3） D. （0，-1） 【答案】A 【解析】 【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标． 【详解】解：将点向右平移2个单位长度， 得到的点的坐标是， 即：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6. 如果，那么下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，解答即可． 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∴， 故B不符合题意； ∴， 故C不符合题意； ∴，成立 故D符合题意； 故选：D． 7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当，四边形是平行四边形， 当时，四边形是平行四边形，故A，B选项不符合题意； 当时，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； 当时，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选C． 8. 如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质即可求解． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∵， ∴， 故， 故选：C． 9. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点Q，先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点Q，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 10. 已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式恒等式的性质即不含项问题解答判断，利用求代数式的值方法，自然数的性质解答即可． 本题考查了整式恒等式的性质即不含项问题，代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数． ①：由，得，，故，正确； ②：当且时，当或或或或 或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确； ③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为， 故的最大值为63，③错误； 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 等腰三角形的顶角的度数是，则底角的度数是________度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是掌握等腰三角形的两底角相等． 等腰三角形的顶角的度数是，根据三角形内角和为和等腰三角形的两底角相等列式计算即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角的度数是，由等腰三角形的性质可得：底角为； 故答案为：． 12. 若，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先根据，得出，然后将因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握图象法解不等式是解题的关键．观察函数图象即可得出答案． 【详解】解：由图象得，当时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，由轴对称的性质得出，根据等边对等角得出，，结合已知条件可得出是等腰直角三角形，即可得出，即可得出四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值，根据时，最小，根据三角形面积公式求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， 要使四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值， ∵点D是上一点（点D不与点B，C重合）， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、、，延长交于点，根据折叠的性质得垂直平分，推出，结合平行四边形的性质进一步得到，，证明是等边三角形，得，计算，设，最后在中，利用勾股定理建立关于的方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接、、，延长交于点， ∵将四边形沿翻折，，的对应点分别是，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， ∴， ∴，， 设， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理等知识点．掌握折叠的性质，等角对等边是解题的关键． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“美好数”．将“美好数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“美好数”的千位数字的倍求和，记作．则最大的“美好数”与最小的“美好数”之和为________．有两个四位正整数，（，）均为“美好数”，若能被整除且能被整除，则满足条件的P值的平均数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据定义得出最大的“美好数”与最小的“美好数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被整除且能被整除，即可求解． 【详解】解：要想使“美好数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为，即千位最大是，最小是， ∴最大的“美好数”是，最小的“美好数”是， ∴最大的“美好数”与最小的“美好数”之和为：； ∵，， ∴，， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ， ∴ ， ， ∵能被整除且能被整除， ∴能被整除，能被整除， ∵， ∴， ∴， ∴能被整除， ∵，， 当，时，能被整除，但，不符合题意， 当，时，能被整除，但，不符合题意， 当，时，能被整除，此时， 当，时，能被整除，此时， ∴满足条件的P值的平均数为：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，有理数的四则运算等知识点，能正确理解题意并列出代数式是解题的关键． 三、解答题：（本大题9个小题，17题和18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了综合利用提取公因式与公式法分解因式，分式的混合运算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先将括号里的式子通分，再约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. （1）解不等式组； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． （1）分别求出不等式的解集，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到得出结果； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验的过程求解即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：时，分母不为0，符合题意， 则分式方程的解为． 19. 在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． （1）用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2）；；；； 【解析】 【分析】本题考查尺规作角平分线，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据中位线定理，对顶角相等，证明，得到，内错角相等，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的分式的减法，再计算除法，结果化为最简形式，然后利用零指数幂及负整数指数幂计算，再代入前面化简的式子计算即可．掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，． （1）在方格中画出关于y轴对称的图形； （2）在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标； （3）若点D在y轴，且，则点D的坐标为________． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，垂直平分线的性质，写出直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕原点O逆时针旋转后的图形，进而可以写出点的坐标； （3）根据垂直平分线的性质作出的垂直平分线与y轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图：即为所求， ； 【小问3详解】 解：如图，点D即为所求， ， 点D位于的垂直平分线上， ． 22. 如图，在中，，，点，分别是，的中点，点是的中点，的延长线交的延长线于点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，推出，，证明得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）根据勾股定理得，求出，继而得到，，利用勾股定理得，根据平行四边形的性质得，可得答案． 【小问1详解】 证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，，即， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，掌握平行四边形的判定和性质及三角形中位线定理是解题的关键． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价低5000元，用16万元购买A型机器人模型和用20万元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共80台，购买B型机器人模型不少于A型机器人模型的2倍，商家给出A型机器人在售价的基础上减免2000元，B型机器人在售价的基础上打八折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）种健身器材每套的售价为2万元，种健身器材每套的售价为万元； （2）学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． （1）设A型编程机器人模型单价是x万元，B型编程机器人模型单价是（）万元，根据：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值． 【小问1详解】 解：5000元万元， 设型机器人模型每套的售价为万元，则型机器人模型每套的售价为万元 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种健身器材每套的售价为2万元，种健身器材每套的售价为万元； 【小问2详解】 2000元万元， 设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为26， 设费用为万元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 此时，， 的最小值万元 答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为万元． 24. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 25. 在中，，，D是直线上一点，E是线段的中点． （1）如图1，若点D在边上，且，，求的长； （2）如图2，若F为直线左侧一点，D为的中点，将绕点D按顺时针方向旋转得到（G在直线的右侧），连接、，若，求证：； （3）如图3，连接，点P是的中点，连接，将绕点P逆时针旋转得到，连接，点M是射线上一点，，的面积是，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点F，连接，则为的中位线，利用三角形中位线定理求出的长度，再由求出的长度，再结合勾股定理求解即可； （2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，先证明得到，，进而推出，再由三角形外角的性质得到，推出是等腰直角三角形，再通过证明四边形、是平行四边形，得到，最后利用线段的和差以及等量代换即可证明； （3）以点为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，设，则，，根据题意分2种情况讨论：①点在点的左侧或与点重合；②点在点的右侧，设点的坐标为，利用中点坐标公式表示出，作轴于点，作于点，利用全等三角形的性质与判定表示出，利用勾股定理得到的长，结合图形表示出，再利用完全平方式的非负性即可求解． 【小问1详解】 解：取的中点F，连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E，F分别为线段，的中点， ∴，且，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接， ∵D为的中点，E是的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：以点为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系， 设， 则，， ∵， ∴，即， ①当点在点的左侧或与点重合，设点的坐标为，则， ∵点P是的中点， ∴， 作轴于点，作于点，则， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，点与点重合，点与点重合，此时， 当时，点在点的左上方，此时， ∴当点在点的左侧或与点重合时，的最小值为； ②当点在点的右侧，设点的坐标为，则， ∵点P是的中点， ∴， 作轴于点，作于点， 同理①中的方法可得，， ∴， ∵点M是射线上一点，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为； ∴综合①②可得，的最小值为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、旋转的性质、全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、勾股定理、二次根式的应用，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题是几何综合题，需要较强的几何推理能力和辅助线构造能力，同时涉及的运算量较大，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期八年级（数学）期末质量监测 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ） A. （4， -1） B. （2，1） C. （2，-3） D. （0，-1） 6. 如果，那么下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则； ②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个； ③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 等腰三角形的顶角的度数是，则底角的度数是________度． 12. 若，，则_________． 13. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为________． 14. 如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为________． 15. 如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“美好数”．将“美好数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“美好数”的千位数字的倍求和，记作．则最大的“美好数”与最小的“美好数”之和为________．有两个四位正整数，（，）均为“美好数”，若能被整除且能被整除，则满足条件的P值的平均数为________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题和18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）因式分解：； （2）化简：． 18. （1）解不等式组； （2）解方程：． 19. 在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． （1）用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，． （1）在方格中画出关于y轴对称的图形； （2）在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标； （3）若点D在y轴，且，则点D的坐标为________． 22. 如图，在中，，，点，分别是，的中点，点是的中点，的延长线交的延长线于点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价低5000元，用16万元购买A型机器人模型和用20万元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共80台，购买B型机器人模型不少于A型机器人模型的2倍，商家给出A型机器人在售价的基础上减免2000元，B型机器人在售价的基础上打八折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？ 24. 阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 25. 在中，，，D是直线上一点，E是线段的中点． （1）如图1，若点D在边上，且，，求的长； （2）如图2，若F为直线左侧一点，D为的中点，将绕点D按顺时针方向旋转得到（G在直线的右侧），连接、，若，求证：； （3）如图3，连接，点P是的中点，连接，将绕点P逆时针旋转得到，连接，点M是射线上一点，，的面积是，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $