精品解析：山东省临沂市沂水县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学阶段性作业 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若，，连接，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 中考体育测试，小明选择考试项目是1分钟跳绳，下面记录的是他10次一分钟跳绳成绩： 成绩/次 160 175 179 180 次数 2 4 2 2 则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是（　　） A. 175次 B. 176次 C. 177次 D. 173.8次 6. 如图，在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列结论中正确的个数是（ ） ①它的图象与y轴交于点，②y随x的增大而减小，③当时，，④它的图象经过第一、二、三象限． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，对角线与相交于点，轴，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 下面的三个问题都涉及两个变量： ①如图1，高铁匀速穿越隧道（隧道长度大于高铁长度），高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ②如图2，小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，到达后在图书馆内停留一段时间看书，之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离与所用时间； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放至底部后，再把铝块以同样的速度匀速拉出，直到全部拉出水面为止，铝块所受的浮力与所用时间； 其中，变量与之间的函数关系大致符合如图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，在正方形中，，点E是的中点，连接．的垂线分别交，于点P，Q，则的长度是（ ） A. B. C. 10 D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，，则______． 12. 一个三角形三边长的比为，且其周长为，则其面积为________. 13. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 14. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 15. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如下表： 摄氏温度值/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的值一直大于值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当的取值范围是________时，值小于值． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）已知，，求的值． 17. 县射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中数据，分别计算甲、乙的平均测试成绩是多少环？甲、乙运动员测试数据的中位数分别是多少？ （2）分别计算甲、乙测试成绩的方差． 18. 如图，矩形中，，在边上取一点E，将沿折叠，使点C恰好落在边上点F处． （1）请利用尺规作图确定点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 19. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 20. 已知一次函数（）的图象经过点和点． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值； （3）若一次函数，当时，总有．求m的取值范围． 21. 某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）求用快速充电器充电时，汽车电池电量关于充电时间函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）该品牌汽车电池电量从充到，快速充电器比普通充电器少用多少小时? 22. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，，． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，，于点H，交BD于点E，点G在AB上，连接EG交AC于点F．若，求证：． 23. 【材料】 1．在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则； 2．在光的镜面反射现象中，法线垂直镜面． 【应用】 镜面，一束光线从点发出，照射到镜面上的任意一点处并被反射，其示意图如图，从点处向右上方放置一个屏幕，且．从点发出的光线经过反射后会在屏幕上留下光点，设法线与屏幕的交点为（图中的所有元素都在同一个平面内） （1）求屏幕所在直线的函数解析式； （2）求证：点的纵坐标是点的纵坐标的平均数； （3）若点的横坐标为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学阶段性作业 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2. 为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 1.5，1.5 B. 1.4，1.5 C. 1.48，1.5 D. 1，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2， 则中位数是1.5， 1.5出现次数最多，故众数是1.5． 故选：A． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】选项A：二次根式相加不能直接合并，，故错误． 选项B：计算左边：，与右边不符，故错误． 选项C：化简左边：，则，故正确． 选项D：合并同类项：，与右边不符，故错误． 综上，正确答案为C． 故选：C． 4. 嘉嘉画了一个如图所示的四边形，若，，连接，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在，中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 5. 中考体育测试，小明选择的考试项目是1分钟跳绳，下面记录的是他10次一分钟跳绳成绩： 成绩/次 160 175 179 180 次数 2 4 2 2 则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是（　　） A. 175次 B. 176次 C. 177次 D. 173.8次 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题关键是掌握加权平均数的公式． 利用加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解：（次）， 故选：D． 6. 如图，在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的各种性质是解题关键． 利用平行四边形的性质推得、、，通过勾股定理求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 7. 对于一次函数，下列结论中正确的个数是（ ） ①它的图象与y轴交于点，②y随x的增大而减小，③当时，，④它的图象经过第一、二、三象限． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：当时，，故图象与y轴交于点 ，正确． 结论②：函数中，故y随x的增大而增大，而非减小，错误． 结论③：解不等式得，即当时，，结论③错误． 结论④：，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，结论④错误． 故选：A 8. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，对角线与相交于点，轴，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据角所对直角边等于斜边一半求出，再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ 在中，，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵轴， ∴ 而 ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角所对直角边等于斜边一半以及等边三角形的判定与性质，坐标与图形，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 9. 下面的三个问题都涉及两个变量： ①如图1，高铁匀速穿越隧道（隧道长度大于高铁长度），高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ②如图2，小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，到达后在图书馆内停留一段时间看书，之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离与所用时间； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放至底部后，再把铝块以同样的速度匀速拉出，直到全部拉出水面为止，铝块所受的浮力与所用时间； 其中，变量与之间函数关系大致符合如图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据每个选项中的描述情况进行分类讨论，得出随的变化而怎样变化，再与图象表达的意义是否符合，即可作答． 【详解】解：①∵高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ∴当时，则， 当车头开始进入隧道至车尾也刚好进入隧道，此时高铁在隧道内的长度随的增大而增大， 当整个高铁进入隧道后，此时高铁在隧道内的长度不随的变化而变化， 当车头开始离开隧道至整个高铁完全离开隧道，此时高铁在隧道内的长度随的增大而减小， 故①符合题意； ②当小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，此时他离家的距离随着所用时间的增大而增大， 当到达后在图书馆内停留一段时间看书，此时他离家的距离不随的变化而变化， 当之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离随着所用时间的增大而减小， 故②符合题意； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放到整个进入水前，此时铝块所受的浮力随所用时间的增大而增大， 当整个铝块完全进入水放至底部后；此时铝块所受的浮力不随所用时间的变化而变化， 当把铝块以同样的速度从水面匀速拉出，直到全部拉出水面为止，此时铝块所受的浮力随所用时间的增大而减小， 故③符合题意； 故选：D 10. 如图，在正方形中，，点E是的中点，连接．的垂线分别交，于点P，Q，则的长度是（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过P作于F，由正方形得到，，证明出四边形是矩形，得到，，证明出，得到，然后求出，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过P作于F， ∵正方形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 12. 一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 13. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 14. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误． 故答案为：①②． 15. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如下表： 摄氏温度值/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的值一直大于值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当的取值范围是________时，值小于值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用和解不等式，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键． 根据表格中的数据，判断与的函数关系是一次函数，设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，结合题意得到不等式，求解即可． 【详解】解：由表格可知，每增加，就增加，则两种温标计量值的对应关系是一次函数， 设华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为， 由表中的数据，得， 解得， ， ∵值小于值 ∴，解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）已知，，求的值． 【答案】（1）9 （2）21 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 17. 县射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中数据，分别计算甲、乙的平均测试成绩是多少环？甲、乙运动员测试数据的中位数分别是多少？ （2）分别计算甲、乙测试成绩的方差． 【答案】（1）甲的平均数为9，中位数为9；乙的平均数为9，中位数为9.5 （2）； 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数和方差，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据平均数和中位数的计算方法，进行求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（环）， （环） 甲的测试成绩由小到大为：8、8、9、9、10、10， 则甲的中位数是：． 乙的测试成绩由小到大为：7、8、9、10、10、10， 则乙的中位数是：（环）； 【小问2详解】 ； ； 18. 如图，矩形中，，在边上取一点E，将沿折叠，使点C恰好落在边上点F处． （1）请利用尺规作图确定点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，尺规作图—作线段和角平分线，勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）设，中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：连接． 由折叠的性质可知：． 设． ∵矩形， ∴； 在中，， ∴ 解得：． ∴． 19. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）7.5，7， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； 【小问2详解】 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 20. 已知一次函数（）的图象经过点和点． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值； （3）若一次函数，当时，总有．求m的取值范围． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键． （1）点和点代入解方程组即得； （2）根据一次函数随x的变化情况求解即可； （3）求出两直线交点横坐标，根据图象确定m的取值范围． 【小问1详解】 解：（1）将，代入，得 . 解得，. ∴； 【小问2详解】 根据题意画出如下草图： 由图象可知，在范围内， 当时，的值最大，此时， ∴最大值为10； 【小问3详解】 由题意画出如下草图： 由图象可知，两条直线交点的左侧，总有. 而两直线交点的横坐标为， 故.所以. 21. 某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）求用快速充电器充电时，汽车电池电量关于充电时间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）该品牌汽车电池电量从充到，快速充电器比普通充电器少用多少小时? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． （1）分，，利用待定系数法求得关于充电时间的函数解析式； （2）利用待定系数法，求出的函数解析式，把把代入解析式，求得普通充电器充电时间，根据图象得到快速充电器充电时间，最后相减即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 由题意得， 解得， ∴， 当时，设， 由题意得， 解得， ∴. ∴， 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式为， 由题意得，， 解得， ∴关于的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 答：该品牌汽车电池，快速充电器比普通充电器少用． 22. 四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，，． （1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，，于点H，交BD于点E，点G在AB上，连接EG交AC于点F．若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的证明和性质，等边三角形的性质，等边对等角． （1）根据得，结合对顶角，证明，由对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形对称性作辅助线，得，根据，，计算角度，证明为等腰直角三角形，得，等量代换，得． 【小问1详解】 证明：（1）∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 如图：连接， 由（1）可知四边形是菱形， ， ∵， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 23. 【材料】 1．在平面直角坐标系中，若直线与直线互相垂直，则； 2．在光的镜面反射现象中，法线垂直镜面． 【应用】 镜面，一束光线从点发出，照射到镜面上的任意一点处并被反射，其示意图如图，从点处向右上方放置一个屏幕，且．从点发出的光线经过反射后会在屏幕上留下光点，设法线与屏幕的交点为（图中的所有元素都在同一个平面内） （1）求屏幕所在直线的函数解析式； （2）求证：点的纵坐标是点的纵坐标的平均数； （3）若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）根据，设直线的解析式为，代入，即可求解． （2）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而证明，可得，而，即可得证； （3）先求得，根据材料1可设直线的解析式为，得出直线的解析式为，联立直线的函数解析式求得的坐标，根据（2）的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， 设直线的解析式为，代入得， 解得： ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 证明：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 依题意， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∵，即 ∴，即点的纵坐标是点的纵坐标的平均数； 【小问3详解】 解：，点的横坐标为， ∴ ∴， 由材料1，可设直线的解析式为，代入 得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 由（2）可得，的纵坐标为 代入，得 解得： ∴点的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$