精品解析：山东省临沂市沂水县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学单元作业 2024年7月 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9，8 B. 9，9 C. 8.5，9 D. 8，9 3. 直线经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限． 4. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 5. 如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随增大而增大 B. ， C. 当时， D. 当时， 6. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）： 年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法中错误的是（ ） A. 赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B. x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C. 赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D. 赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm 8. 用一根长的铁丝围成一个矩形，阿颖发现矩形的邻边，及面积是三个变量，下面有三个说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数．其中所有正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为73分钟 B. 极差为21分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简的结果是 ____________________． 12. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________． 13. 若直线向上平移3个单位后经过点，则a的值为__________． 14. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定运动员参加比赛，应选择___________． 15. 如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_________． 16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）； （2）． 18. 已知一次函数，它的图象经过两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 19. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 20. 平面直角坐标系中，已知直线交轴点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点，交． （1）画出图形； （2）当时，利用图象求的取值范围； （3）若点是直线上在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系． 21. 希望中学八年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩（单位：个） 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 89 100 95 119 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题： （1）求两班比赛数据的中位数； （2）计算两班比赛数据的方差，并比较哪一个小； （3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由. 22. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 23. 小李在某网店选中A、B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两 款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 40 30 销售价（元/个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：） 24. 操作与探究 （1）上图中，每个小方格边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； （2）已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学单元作业 2024年7月 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2.答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9，8 B. 9，9 C. 8.5，9 D. 8，9 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义进行解答即可． 【详解】解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，因此众数为9； 从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数为8，因此中位线是8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的定义，解题的关键是熟练掌握将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值．如果一组数据有偶数个，那么中位数就是处于中间位置的两个数的平均值． 3. 直线经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时函数的图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴此函数的图象经过第一、二、四象限． 故选B． 4. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，选择方差即可求解． 【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差， 故选：B． 【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键． 5. 如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随增大而增大 B. ， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 根据一次函数的图象逐一判断即可． 【详解】解：A：图象经过二四象限，随增大而减小，故A错误，不符合题意； B：图象经过一，二，四象限，，，故B错误，不符合题意； C：由图象可得到：当，，故C正确，符合题意； D：由图象可得到：当时，，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 7. 赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）： 年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法中错误的是（ ） A. 赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B. x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C. 赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D. 赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了表格法表示函数． A．计算每相邻3年身高的增量并通过比较即可得出结论； B．根据表格中的信息和自变量、因变量的定义判断即可； C．通过对比21岁和24岁这两年的身高变化即可得出结论； D．根据“从0岁到12岁身高的增加量”计算判断即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， 赵老师的身高增长速度总体上先快后慢，故A正确，不符合题意； 与都是变量，随的变化而变化，即是自变量，是因变量，故B正确，不符合题意； 赵老师的身高21岁时，24岁时， 赵老师的身高在21岁以后基本不长了，故C正确，不符合题意； 赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高，故D错误，符合题意． 故选：D． 8. 用一根长的铁丝围成一个矩形，阿颖发现矩形的邻边，及面积是三个变量，下面有三个说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数．其中所有正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，常量与变量，熟练掌握函数的定义是解题的关键．根据题意可得，从而可得，即可判断①；再利用矩形的面积可得，从而可得，即可判断②；根据，然后利用配方法可得，从而可得，即可判断③． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 是的函数，故①正确； ， ， 是的函数，故②正确； ， ， ， ， ， ， 不是S的函数，故③不正确； 所以，所有正确的结论的序号是：①②， 故选：A． 9. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为73分钟 B. 极差为21分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数、极差、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．分别求出平均数、极差、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项正确，符合题意； B．在7个数据中，最大的是88，最小的是，则极差为，故选项错误，不符合题意； C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意； D．方差为： ，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简的结果是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、分母有理化，先把分子和分母同时乘上，得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：如图，根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：5． 13. 若直线向上平移3个单位后经过点，则a的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得a的值， 本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：7． 14. 为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择___________． 【答案】丁 【解析】 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是， 从甲，丙，丁中选取， 甲的方差是，丙的方差是，丁的方差是， 发挥最稳定的运动员是丁， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_________． 【答案】（400，800） 【解析】 【详解】连接AC， 由题意可得：AB=300m，BC=400m， 在△AOD和△ACB中， ∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC， ∴△AOD≌△ACB（SAS）， ∴∠CAB=∠OAD， ∵B、O在一条直线上， ∴C，A，D也一条直线上， ∴AC=AO=500m， 则CD=AC=AD=800m， ∴C点坐标为：（400，800）． 故答案为（400，800）． 【点睛】考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用． 16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米． 【答案】350． 【解析】 【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案． 【详解】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b， 将(8，960)、(20，1800)代入，得： ， 解得：， ∴s=70t+400； 当t=15时，s=1450， 1800﹣1450=350， ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米． 故答案为：350． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再化简算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法，可以利用平方差公式简化运算． 【详解】（1） （2） ． 18. 已知一次函数，它的图象经过两点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法，把把代入，建立方程组再解方程，即可作答． （2）根据一次函数的性质：，一次函数的随的增大而减小，然后分别算出当，时，所对应的函数值，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 故一次函数的随的增大而减小 则当时，则； 当时，则； ∴当时，函数值y的取值范围为． 19. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数作决策即可． 【小问1详解】 解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 【点睛】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，已知直线交轴点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点，交． （1）画出图形； （2）当时，利用图象求的取值范围； （3）若点是直线上在第四象限内的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题为一次函数综合，主要考查了一次函数的图象性质，三角形的面积等知识点，熟悉掌握一次函数的点的坐标特征是解题的关键． （1）分别求出函数与坐标轴的交点坐标即可作出图象； （2）求出两函数交点后，比较函数图象解答即可； （3）利用三角形的面积之和列式即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴把代入可得：，即， 把代入可得：，即； ∵， ∴把代入可得：，即， 代入可得：，即； 作出图象可得： 【小问2详解】 令可得：， 解得：； ∴当时，结合图象可得：； 【小问3详解】 解：如图所示： 把代入可得：， ∴， ∵，， ∴， ∵点是直线在第四象限内的一个动点， ∴， ． 21. 希望中学八年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩（单位：个） 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 100 98 110 89 103 500 乙班 89 100 95 119 97 500 经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题： （1）求两班比赛数据的中位数； （2）计算两班比赛数据的方差，并比较哪一个小； （3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由. 【答案】（1）甲班的中位数为100，乙班为97；（2）甲班的方差为，乙班为；；（3）冠军应发给甲，理由见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）中位数就是一组数据中先把所有数据按从大到小或从小到大的顺序排列起来，如果是奇数个时，就是中间的那一个数，如果是偶数个时，就是中间两个数的平均数. （2）方差就是就是反映一组数据波动大小的幅度，方差大，波动大，方差小则波动小． （3）根据计算出来的统计量的意义分析判断． （1）两班5名学生踢毽子个数近大小排列为 甲班 89 98 100 103 110 乙班 89 95 97 100 119 ∴甲班的中位数为100，乙班为97. （2）甲的平均数为：100+98+110+89+103）÷5=100， ； 乙的平均数为：（89+100+95+119+97）÷5=100， . ∵；∴. （3）∵甲班的中位数比乙班高；甲班的方差比乙班低，比较稳定，综合评定甲班比较好， ∴冠军应发给甲． 考点：1.中位数；2.方差． 22. 如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1）平行四边形，见解析 （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． （2）根据对角线相等、平分且垂直四边形是正方形判定即可． 小问1详解】 四边形是平行四边形．理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 23. 小李在某网店选中A、B两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两 款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 40 30 销售价（元/个） 56 45 （1）第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量一半．小李计划购进两款玩偶共30 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？（注：） 【答案】（1）A款购进20个，款购进10个 （2）款个，款个，最大利润是元． （3）第二次更合算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，利润率求解等问题，一次函数最值问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设A，两款玩偶分别为个，根据小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据条件求得利润的解析式，再判断最大利润即可； （3）分别求出第一次和第二次的利润率，比较之后即可知道哪一次更合算． 【小问1详解】 解：设A，两款玩偶分别为个，根据题意得： 解得： 答：两款玩偶，A款购进20个，款购进10个． 【小问2详解】 解：设购进款玩偶a个，则购进款个，设利润为y元， 则 ， 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半 ， ，又 且为整数， 当时，y有最大值 ， 款个，款个，最大利润是元． 【小问3详解】 解：第一次利润（元） 第一次利润率为：， 第二次利润率为：， ， 第二次的利润率大，即第二次更划算． 24. 操作与探究 （1）上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； （2）已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 【答案】（1）详情见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了图形的割补，勾股定理的证明等知识点，熟悉掌握图形的面积公式是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）利用割补法建立图形，然后利用图形面积建立式子即可． 【小问1详解】 解：如图所示建立完整的四边形： 则：； ； ； 【小问2详解】 解：以边建立正方形，割补出以下图形，则此时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$