精品解析：2025年宁夏银川市金凤区中考数学模拟试卷

2025年宁夏银川市金凤区中考数学模拟试卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，负数（    ） A. B. C. D. 2. 近年来，如浩荡春风，席卷各领域，为创新变革注入蓬勃活力以下是部分世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既为中心对称图形又属轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看不同的是（ ） A 正方体 B. 球 C. 棱柱 D. 圆柱 5. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（，，）三角尺固定不动，将三角尺绕点转动当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 比较大小： ______． 10. 如果一组数据2，3，x，6，7的众数为2，那么这组数据的中位数为__________． 11. 如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为______． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______． 13. 如图，在中，，，，是边的中点．在上找一点，使得，求_____________． 14. 小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为________________． 15. 如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点A，B坐标分别为，，将沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，平移的距离为___________． 16. 如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于______度；、两点间的距离等于_____结果精确到米，参考数据：． 三、解答题：本题共10小题，17-22每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共72分． 17. 如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）． 18. 解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 化简并求值：，其中x、y满足 20. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 21. 在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图．下面给出了部分信息． a．平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示． 成绩 频数 m 20 n 7 3 b．其中这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m= ，n= ，参与问卷调查的学生共有 人； （2）补全频数分布直方图； （3）为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号．已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号． 22. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 23. 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，． （1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； （2）求证：； （3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标． 25. 已知一块矩形草坪两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，请补充完整： （1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是　 　，这个函数值y的取值范围是　 　． （2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝-2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象； （3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题： ①求出方程|﹣2|＝0的根； ②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围． 26. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年宁夏银川市金凤区中考数学模拟试卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，负数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，负指数幂，零次幂的计算．根据乘方，负指数幂，零次幂，负数的概念判定即可． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是负数，符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：C． 2. 近年来，如浩荡春风，席卷各领域，为创新变革注入蓬勃活力以下是部分世界著名人工智能品牌公司的图标，其中既为中心对称图形又属轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形、轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题的关键．直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得到答案． 【详解】解：A.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法则以及去括号法则，需逐一验证各选项的正确性 【详解】解：A：，而非 ，故此选项错误，不符合题意； B：，此选项正确，符合题意； C：，此选项错误，不符合题意； D：，此选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看不同的是（ ） A. 正方体 B. 球 C. 棱柱 D. 圆柱 【答案】C 【解析】 【分析】从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即俯视图，结合图形找出各图形的主视图和俯视图，然后进行判断即可． 【详解】解：A：正方体从正面看和从上面看均为正方形，故选项A不符合题意； B：球从正面看和从上面看均为圆，故选项B不符合题意； C：棱柱从正面看为长方形，从下面看为三角形，故选项C符合题意； D：圆柱从正面看和从上面看均为长方形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，注意从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即为俯视图． 5. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出最后球在乙手上的的情况，即可得最后球在乙手上的概率． 【详解】解：用甲→乙→丙表示一种传球方法， 所有传球方法共有：甲→乙→甲； 甲→乙→丙； 甲→丙→甲； 甲→丙→乙； 则共有4种传球方法，最后球在乙手上有1种情况， ∴最后球在乙手上的概率为， 故选：A 6. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　） A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系 【答案】B 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点分别规律即可得出结论． 【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，： 观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上， ∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质推出，，再利用角的和差和对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（，，）三角尺固定不动，将三角尺绕点转动当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换及性质，平行线的性质等，分两种情况，运用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图①，当时， ∵， ∴， ∴． 如图②， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 综上，的度数为或， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 比较大小： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即 故答案为：． 10. 如果一组数据2，3，x，6，7的众数为2，那么这组数据的中位数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据众数是2，得，根据中位数的概念，求解即可． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，6，7的众数为2， ∴， ∴数据为2， 2，3，6，7， ∴这组数据的中位数为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 11. 如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为：3． 13. 如图，在中，，，，是边的中点．在上找一点，使得，求_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-相似变换，勾股定理，线段中点的定义，过D作于E，根据勾股定理得到，根据线段中点的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图所示，过D作于E， ∴， ∵在中，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点的坐标为得，连接，过点B作轴于点，则，再求出，可得，从而得点B的坐标． 【详解】解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点坐标为． 故答案为：． 15. 如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，平移的距离为___________． 【答案】11 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，即可得平移的距离． 【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示． ∵点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），AC=BC=13， ∴AD=BD=AB=5， ∴． ∴点C的坐标为（7，12）． 当y=12时，有12=-x+8， 解得：x=-4， ∴点C平移后的坐标为（-4，12）． ∴△ABC沿x轴向左平移7-（-4）=11个单位长度． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、坐标与图形变化中的平移以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点C平移后的坐标是解题的关键． 16. 如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于______度；、两点间的距离等于_____结果精确到米，参考数据：． 【答案】 ①. ②. 米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、坡度，根据山坡的坡度，利用正切即可求出的度数；根据俯角的度数可以求出，从而可知是等腰直角三角形，即，在直角三角形中求出的长度，即为、两点间的距离． 【详解】解：山坡的坡度即为， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 米， 米． 故答案为：米． 三、解答题：本题共10小题，17-22每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共72分． 17. 如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）． 【答案】图见详解 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 18. 解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式以及一元一次不等式组的解集，并把数轴上表示出解集等知识，先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由得：， 由得：， 整理得：， 则不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式的解集如下： 19. 化简并求值：，其中x、y满足 【答案】 【解析】 【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简；根据绝对值和偶次幂的非负数性质求得，，整体代入求值． 【详解】解：原式=． ∵x、y满足，∴，即 ∴原式=． 20. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件． 21. 在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图．下面给出了部分信息． a．平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示． 成绩 频数 m 20 n 7 3 b．其中这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m= ，n= ，参与问卷调查的学生共有 人； （2）补全频数分布直方图； （3）为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号．已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号． 【答案】（1）5，15，50 （2）见解析 （3）396 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、由样本所占百分比估计总体的数量： （1）结合频数分布直方图、频数分布表以及数据的个数可得到结果； （2）根据（1）中的信息补充频数分布直方图即可； （3）根据数据中所占的百分比可得到结果； 结合频数分布直方图、频数分布表得到结果是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据频数分布直方图可得：， 根据其中这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89， 可得：， ∴学生共有：人， 故答案为：5，15，50； 【小问2详解】 解：由（1）可得，补全频数分布直方图如下图： 【小问3详解】 解：∵成绩在的人数为：7人， 成绩在的人数为：3人， 成绩在的人数为：10人， ∴每天阅读时长在75分钟及以上的学生人数为：， ∴990名学生中获得“阅读达人”称号的人数为：人， ∴该年级共有396名学生获得“阅读达人”称号． 22. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 （2）商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式是关键． （1）设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克，根据题意得到，设利润为，则，根据一次函数求最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； 【小问2详解】 解：计划购进两种茶叶共30千克， ∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的， ∴， 解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 23. 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，． （1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； （2）求证：； （3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）、、、；； （2）证明见详解； （3）四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案； （2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明； （3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明； 【小问1详解】 解：∵是等边三角形的外接圆， ∴是的角平分线，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的角有：、、、， ∵是的角平分线， ∴，， 与中， ∵， ∴， 故答案为：、、、，； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：连接，， ∵，， ∴ ，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系． 24. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）画图见解析，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值等知识，解题的关键是： （1）设抛物线的解析式为，将代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ， ， 将代入，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为，点B到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点，则，， ， 当共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为，位置如下图所示： 25. 已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，请补充完整： （1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是　 　，这个函数值y的取值范围是　 　． （2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝-2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象； （3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题： ①求出方程|﹣2|＝0的根； ②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）x≠-3，y≠-2；（2）见解析；（3）①x=3；②0＜a＜2或a＞2 【解析】 【分析】（1）根据分式有意义的条件确定自变量x的取值范围，根据，确定y的值即可． （2）的图象的x轴的上方部分沿x轴翻折，可得函数的图象． （3）①②利用图象法解决问题即可． 【详解】解：（1）的自变量x的取值范围是x≠-3，这个函数值y的取值范围是y≠-2； 故答案为：x≠-3，y≠-2． （2）函数的图象，如图所示： （3）①方程有1个实数根，该方程的根是x=3， 故答案为x=3． ②如果方程有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2． 故答案为：0＜a＜2或a＞2． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，函数图象等知识，解题的关键是正确画出函数图象，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题． 26. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， . （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$