精品解析：广东省揭阳市揭西县2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024～2025学年度教学质量监测 七年级数学科试卷 温馨提示： 1．将答案填写在答题卷上； 2．考试时间为120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（　　）． A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 4. 某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节．数据0.0000024用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 7. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 8. 等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 9. 声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 30 声音速度/（） 318 324 330 336 342 当空气温度为时，声音在空气中的传播速度为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知单项式与的积为，则______． 12. 在四边张分别写有词语“诚信”、“友善”、“和谐”、“美丽”的卡片中，随机摸出一张卡片，则摸出写有“诚信”的卡片的概率是______． 13. 某等腰三角形的周长是50cm，底边长是xcm，腰长是ycm，则y与x之间的关系式是________________． 14. 如图，在中，，，平分，于E，则的度数为______． 15. 如图，科学兴趣小组发现，将光线照在平面镜上会形成反射光线，且两条光线与形成的夹角相等，即．将一条平行于的光线照在平面镜上，两条反射光线交于点P，若，，则与形成的夹角（锐角）为_______°． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知△ABC． ①请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线，交AB于D点；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在（1）的条件下，连接CD，若AB=15，BC=8，求△BCD的周长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 20. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km． (2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ． (3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km． 21. 如图，在等边中，点D在边上，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）作出点E关于直线的对称点M，连接、，猜想与的数量关系，并说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉数学公式：______； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 23. 已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，． （1）如图1，当点D线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，度数为______； （3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度教学质量监测 七年级数学科试卷 温馨提示： 1．将答案填写在答题卷上； 2．考试时间为120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据同底数幂相乘底数不变，指数相加．故选A 3. 下列说法正确的是（　　）． A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、“购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误，不符合题意； B、“概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误，不符合题意； C、“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确，符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误，不符合题意. 故选：C. 4. 某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节．数据0.0000024用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 详解】解：． 故选：B． 5. 下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式，，判断各选项是否符合“一项相同，另一项互为相反数”的结构，再逐一分析即可. 【详解】解：选项A：可变形为，属于完全平方公式，不符合平方差公式； 选项B：中，两括号内的项系数不同，无法构成相同项与相反项的组合，需用多项式乘法展开； 选项C：可提取负号得，属于完全平方公式，不符合平方差公式； 选项D：中，为相同项，和互为相反数，符合平方差公式结构，即； 故选：D 6. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A、对顶角相等，是真命题， B、同旁内角相等，是假命题， C、全等三角形的对应边相等，是真命题， D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题． 故选：B． 【点睛】题目主要考查真假命题，掌握对顶角的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质定理，是解题的关键． 7. 如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8. 等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 当腰长为时，则底边长为：， 则，不符合三角形三边关系，构不成三角形， 故等腰三角形的腰长为． 故选：C． 9. 声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度/℃ 0 10 20 30 声音速度/（） 318 324 330 336 342 当空气温度为时，声音在空气中的传播速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是利用表格表示变量之间的关系，由表格数据可得：温度每升高，声音速度增加，根据时的速度，可推算出时的速度. 【详解】解：由表格数据可得，温度每升高，声音速度增加， 当温度为时，声音速度为， 因此，当温度升至时，声音速度为：， 故选：B． 10. 如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知单项式与的积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算单项式乘以单项式，再比较求解，从而可得答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 12. 在四边张分别写有词语“诚信”、“友善”、“和谐”、“美丽”的卡片中，随机摸出一张卡片，则摸出写有“诚信”的卡片的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，摸出写有“诚信”的卡片的概率是， 故答案为：． 13. 某等腰三角形的周长是50cm，底边长是xcm，腰长是ycm，则y与x之间的关系式是________________． 【答案】y＝（0＜x＜25） 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的函数解析式，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质可以确定x的取值范围，从而本题得以解决． 【详解】由题意可得， y＝， ∵ ∴0＜x＜25， 即y关于x的函数解析式是y＝（0＜x＜25）． 故答案为：y＝（0＜x＜25）． 【点睛】本题考查函数关系式、函数的自变量的取值范围、三角形三边的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据三角形三边关系和等腰三角形的性质确定自变量的取值范围． 14. 如图，在中，，，平分，于E，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 先根据三角形的内角和求出，再根据角平分线可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故答案为： 15. 如图，科学兴趣小组发现，将光线照在平面镜上会形成反射光线，且两条光线与形成的夹角相等，即．将一条平行于的光线照在平面镜上，两条反射光线交于点P，若，，则与形成的夹角（锐角）为_______°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的相关计算，过点P作，则，由平行线的性质得出，根据角的和差关系得出，再根据平行线的性质得出，过点B作，根据入射角等于反射角，，再根据角的和差关系得出． 【详解】解：过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 过点B作，根据入射角等于反射角， ∴， ∴， 故答案为：75． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘方，绝对值的含义，先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，绝对值，再合并即可. 【详解】解： ； 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，原式中括号中利用多项式乘多项式法则，完全平方公式计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，然后把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，． 18. 如图，已知△ABC． ①请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线，交AB于D点；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在（1）的条件下，连接CD，若AB=15，BC=8，求△BCD的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）23． 【解析】 【分析】利用基本作图作AC的垂直平分线即可； 利用线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：（1）①如图，点D为所作； ②∵点D为AC的垂直平分线与AB的交点， ∴CD=AD ∴BD+CD=BD+AD=AB=15， ∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AB+BC=15+8=23． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及作法，熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】（1） （2）不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【小问1详解】 解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 20. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km． (2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ． (3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km． 【答案】（1）t，s，60；(2) 1,60,小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ;(3)30或45． 【解析】 【分析】（1）直接利用常量与变量的定义得出答案；直接利用函数图象结合纵坐标得出答案； （2）利用函数图象求出爸爸晚出发1小时，根据速度=路程÷时间求解即可；根据函数图象横纵坐标的意义得出A点的意义； （3）利用函数图象得出交点的位置进而得出答案． 【详解】（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60； （2）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km； （3）当20t=60(t-1)，解得：t=15 则离家20×1.5=30（千米） 当20t=120-60(t-1),解得：t=2.25 则离家20×2.25=45（千米） 小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45． 【点睛】此题主要考查了函数图象以及常量与变量，利用函数图象获取正确信息是解题关键． 21. 如图，在等边中，点D在边上，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）作出点E关于直线的对称点M，连接、，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）猜想：，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出根据，得出，由，，即可证明结论； （2）根据轴对称的性质得出，，证明，求出，根据，说明是等边三角形，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：猜想：．理由如下： ∵点M、E关于直线对称， ∴，， 又由（1）知， ∴． ∵， 即， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2 （2）76 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （2）根据完全平方公式变形即可求解； （3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 【小问2详解】 解：（2）∵a+b＝10，ab＝12， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76； 【小问3详解】 解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b， ∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2， ∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6， ∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20， ∴ab＝8， ∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 23. 已知是等腰三角形，且，点D是射线上的一动点，连接，以为腰在右侧作等腰，使，． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在射线上运动时，取中点M，连接，且．当为等腰三角形时，的度数为______； （3）如图3，当点D在线段的延长线上，时，在线段上截取，使，并连接．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）或或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线和进行分类讨论是解题的关键． （1）证明即可解答； （2）根据（1）可得，分类讨论即可解答； （3）延长点，使得，证明为等边三角形，可得，再证明，得到，最后证明，即可得到． 【小问1详解】 证明：， ， 即， ， ， ； 【小问2详解】 解：根据（1）中可得， ， 当时，， ； 当时，； 当时，， ， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或； 【小问3详解】 证明：如图，延长点，使得， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$