精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年度（下）八年级期末数学学科试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 4. 某校组织了一场禁毒知识比赛，某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选一名发挥比较稳定的同学去参赛．通过三次选拔测试．四名同学成绩（满分100分）的平均数和方差统计如表： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 95 95 96 方差 0.25 0.25 027 0.27 如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 6. 若，为一次函数图象上两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 现有一组数据10，7，8，9，10，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为8 B. 众数为9 C. 中位数为8 D. 中位数为9 8. 如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，若直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 代数式有意义的条件为______． 12. 如图，四边形是平行四边形，当______时，是矩形．（只能添加一个条件） 13. 若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数为__________． 14. 将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为______． 16. 某公司为了激发员工工作积极性，规定员工每天的薪金如下：生产的产品不超过20件，则每件3元，超过20件，超过的部分每件元，如图是一名员工一天获得的薪金（元）与其生产的产品件数之间的关系图象，则________． 17. 如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为_____． 18. 已知一次函数与（k是常数且）的图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是________． 19. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是__________． 20. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）3 （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． （1）求的周长； （2）判断的形状，并求边上的高； 24. 猕猴桃营养丰富，中国是猕猴桃的起源地．小雨爸爸的果园里种植了棵猕猴桃树，今年已进入收获期，小雨想用所学的数学知识帮爸爸分析收成情况． 猕猴桃收获时，随机选取了部分猕猴桃树作为样本，对所选取的每棵树上的猕猴桃产量进行统计，并将得到的结果绘制了如图统计图． 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 a b c 问题解决： （1）通过计算补全条形统计图，m=___________； （2）填空：上述表中___________，___________； （3）求表中a的值，并估算小雨的爸爸种植的这200棵猕猴桃树的总产量． 25. 甲、乙两车在依次有三地的公路上行驶，甲车从地出发，匀速向地行驶，途中到达地，并在地停留后以原速驶向地，乙车在甲车出发后，从地出发匀速驶向地，到达地后立即掉头原路原速返回地（掉头时间忽略不计）．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：）与甲车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，回答下列问题： （1）甲车的速度是 ，，两地的路程是 ； （2）求甲车从地到地行驶过程中的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距地的路程和为？请直接写出答案． 26. 如图1，三角形为等腰直角三角形，，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、． （1）猜想图1中线段、的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； （2）将图1中正方形，绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点，交于点，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． 27. 为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． （1）求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； （2）便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 28. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线与直线相交于点． （1）求长： （2）求直线的解析式： （3）在x轴上存在点P，当的值最小时，点P的坐标为 ； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）八年级期末数学学科试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等，即可解答． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； D．∵， ∴， ∴，，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 某校组织了一场禁毒知识比赛，某班准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选一名发挥比较稳定的同学去参赛．通过三次选拔测试．四名同学成绩（满分100分）的平均数和方差统计如表： 甲 乙 丙 丁 平均数 96 95 95 96 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，根据题意可知要选择平均数大且方差小的人参赛，据此求解即可． 【详解】解：从平均数来看，应该从甲和丁中选择一人参加比赛， 从方差来看，应该从甲和乙种选择一人参加比赛， ∴应选甲参赛， 故选：A． 5. 如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，设的长度为．利用正方形的性质推导出，，在中，，代入数据解答即可． 【详解】解：设的长度为． 四边形正方形， ． 是的中点， ． ， ． 在中，， ． ． ． 故选：D． 6. 若，为一次函数图象上两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键．根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵，为一次函数图像上两点，且，， ∴随着的增大而减小， ∴； 故选：D． 7. 现有一组数据10，7，8，9，10，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为8 B. 众数为9 C. 中位数为8 D. 中位数为9 【答案】D 【解析】 【分析】先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时），再据此分析这组数据． 本题主要考查了众数和中位数的概念，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据、中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数）是解题的关键． 【详解】解：数据10出现2次，7、8、9各出现1次， ∴众数是10 ． 将数据排序为7，8，9，10，10 ，数据个数5（奇数），中间的数是9， ∴中位数是9 ． 故选：D． 8. 如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴， ∴函数的图象经过一、二、三象限，如图： ， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，若直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 观察函数图象得到，即直线的图象在直线图象的下方，再由交点即可得出不等式的解集． 【详解】解：由图知，，即直线的图象在直线图象的下方， 直线与直线交于点， 的解集为， 故选：A． 10. 如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC. 【详解】根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF， ∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE， ∵DA=DF，DG=DG， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG， ∴AG=FG，∠ADG=∠FDG， ∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =（∠ADF+∠CDF） =45°， ∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG， ∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG =AB+AC， 是定值， ∴正确的结论有①③④， 故选C. 【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 代数式有意义的条件为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，理解条件是解题的关键．根据被开发数为非负数以及分母不为进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴， 解得：且． 故答案：且． 12. 如图，四边形是平行四边形，当______时，是矩形．（只能添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，根据众数求未知数据的值，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可得，再把原数据按照从小到大的顺序排列，找到第3位的数据即可得到答案． 【详解】解：数据，，，，的众数是， ∴， 将数据，，，，按照从小到大的顺序排列为：3，3，4，6，7，在第位的数是， 因此中位数是． 故答案为：． 14. 将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是， 即， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的性质，根据中位线的性质可得，根据菱形的性质可得，，根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴， ∵在菱形中，对角线，相交于点，， ∴，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 16. 某公司为了激发员工工作积极性，规定员工每天的薪金如下：生产的产品不超过20件，则每件3元，超过20件，超过的部分每件元，如图是一名员工一天获得的薪金（元）与其生产的产品件数之间的关系图象，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据题意当时，得出，进而根据超过的部分每件元，用即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 已知一次函数与（k是常数且）的图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数且）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为：． 19. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是__________． 【答案】15°或75° 【解析】 【分析】由图1和图2根据正方形的性质和等边三角形的性质就可以求出△ADE是等腰三角形，再由等边三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图1，当△CDE在正方形外部时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=90°， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD=DE，∠CDE=60° ∴AD=DE，∠ADE=150°， ∴∠DAE=∠DEA． ∵∠DEA+∠DAE+∠ADE=180°， ∴∠AED=15°． 如图2，当△CED在正方形内部时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=90°， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD=DE，∠CDE=60° ∴AD=DE，∠ADE=30°， ∴∠DAE=∠DEA．， ∵∠DEA+∠DAE+∠ADE=180°， ∴∠AED=75°． 故答案为：15°或75° 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用．解答时求出AD=DE，分类讨论是关键． 20. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）3 （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简成最简二次根式然后合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可. 【详解】解：（2） （2） 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． （1）求的周长； （2）判断的形状，并求边上的高； 【答案】（1） （2）直角三角形；2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理求出每条边的长度即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解，再根据等面积法即可求出上的高； 【小问1详解】 解：，， 的周长； 【小问2详解】 解：，，， ，故是直角三角形， 设边上的高为， 即， 解得：， 则边上的高为2； 24. 猕猴桃营养丰富，中国是猕猴桃的起源地．小雨爸爸的果园里种植了棵猕猴桃树，今年已进入收获期，小雨想用所学的数学知识帮爸爸分析收成情况． 猕猴桃收获时，随机选取了部分猕猴桃树作为样本，对所选取的每棵树上的猕猴桃产量进行统计，并将得到的结果绘制了如图统计图． 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 a b c 问题解决： （1）通过计算补全条形统计图，m=___________； （2）填空：上述表中___________，___________； （3）求表中a的值，并估算小雨的爸爸种植的这200棵猕猴桃树的总产量． 【答案】（1），补图见解析 （2）， （3），这200棵猕猴桃树的总产量为 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，用样本估计总体，扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确理解定义是解题关键． （1）用产量为的核桃树数量除以其数量占比求出选取的核桃树，进而求出产量为的核桃树，再根据频率频数总数求出的值，进而补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）先根据加权平均数的定义求出的值，进而求出总产量即可． 【小问1详解】 解：（棵）， ∴一共选取了棵核桃树， ∴产量为的核桃树有（棵）， ∴， ∴， 故答案为： 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：∵产量为核桃树最多， ∴， 把这棵核桃树的产量从低到高排列，处在第和位的是和， ∴中位数， 故答案为：， 【小问3详解】 解：， （）， 答：小雨的爸爸种植的这200棵猕猴桃树的总产量为． 25. 甲、乙两车在依次有三地的公路上行驶，甲车从地出发，匀速向地行驶，途中到达地，并在地停留后以原速驶向地，乙车在甲车出发后，从地出发匀速驶向地，到达地后立即掉头原路原速返回地（掉头时间忽略不计）．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：）与甲车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，回答下列问题： （1）甲车的速度是 ，，两地的路程是 ； （2）求甲车从地到地行驶过程中的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距地的路程和为？请直接写出答案． 【答案】（1）， （2） （3）当乙车出发或或小时，两车距地的路程和为 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、求一次函数解析式、一元一次方程的应用，采用数形结合和分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象结合速度路程时间，计算即可得出甲车的速度，再由路程速度时间即可得出，两地的路程； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的速度，设乙车出发小时，两车距地的路程和为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得： 甲车的速度是， ，两地的路程是； 【小问2详解】 解：由题意可得：、两地的路程为， 设甲车从地到地行驶过程中的函数解析式为， 将，代入函数解析式得：， 解得：， ∴甲车从地到地行驶过程中的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由图可得：乙车的速度为：， 设乙车出发小时，两车距地的路程和为， 当甲未到达地前， 由题意得：， 解得：， 当甲到达地时，由图象可得，当时，两车距地的路程和为； 当甲到达地后再次出发时， 由题意得：， 解得：； 综上所述，当乙车出发或或小时，两车距地的路程和为． 26. 如图1，三角形为等腰直角三角形，，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、． （1）猜想图1中线段、的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； （2）将图1中的正方形，绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点，交于点，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． 【答案】（1） （2）仍然成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． （1）结论：，；证明，推出，，即可得出结论； （2）证推出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，； 理由：如图1中，延长交于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上可知，； 【小问2详解】 ，仍然成立， 证明：如图2中， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 27. 为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需390元． （1）求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价； （2）便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； （2）甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程组是解题关键． （1）设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个，根据题意列出不等式求解得出，设利润为w元，根据题意列出一次函数解析式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元； 【小问2详解】 解：设甲种头盔购进个，则乙种头盔购进个， 由题意得：， 解得， 设利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∵a为整数， ∴a最大为16，， ∴元， ∴甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元． 28. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线与直线相交于点． （1）求的长： （2）求直线的解析式： （3）在x轴上存在点P，当的值最小时，点P的坐标为 ； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； 【小问2详解】 解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得 ∴直线的解析式为 【小问3详解】 解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线解析式为 把和代入 得出 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ 【小问4详解】 解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为或或。 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$