精品解析：河北省廊坊市三河市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024－2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项：1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答卷，答卷前，务必将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式属于最简二次根式的有（ ） A. B. C. D. 2. 长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（ ） A. 12 B. 11 C. 14 D. 13 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 7. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 一次函数与交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对于函数的图象，下列结论错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 与y轴的交点为 D. 若两点，在该函数图象上，则 11. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 96 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. D. 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 14. 把直线向下平移6个单位得到的直线解析式为：__________． 15. 某小组某次英语听写的平均成绩为80分，5名同学中有4名同学的成绩分别为：82，85，90，75，则另一名同学的成绩为________分． 16. 如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________． （1） （2） 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 19. 已知一次函数图象经过点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值及点和点的坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）若点是轴上一点，且面积是，直接写出点的坐标． 20. 科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入了的热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间（min）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？请说明理由． 21. 如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为________． 22. 为了解某校学生本学期参加志愿服务的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为_______，统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生1200人，学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计该校获“志愿者勋章”的学生人数． 23. 我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000 （1）设装运A种脐橙的车辆数为x辆，装运B种脐橙的车辆数为y辆，请填写下表，并求出y与x的函数表达式： 脐橙品种 A B C 装运车辆 x辆 y辆 _______辆 装运吨数 6x吨 5y吨 _______吨 （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 24. 正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，是对角线上一点． （1）求证：． （2）如图2，过点作，，垂足分别为，，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，是的中点，连接，，求的最小值． （4）如图4，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接，若恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 注意事项：1．本次考试试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答卷，答卷前，务必将密封线内的各项填写清楚． 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式属于最简二次根式的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含能开得尽方的数或式；②被开方数不含分母． 【详解】A、，被开方数为多项式，无法分解为平方数或因式，且不含分母，符合最简二次根式条件，符合题意； B、，被开方数，其中为完全平方数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数，其中为完全平方式，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 长度分别为3，4，5，12，13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出5个数字的平方，看哪两个的平方和等于第三个数的平方，从而可判断能构成直角三角形． 【详解】解：∵，，，，， ∴，， 即，， 故能搭成直角三角形的个数为2个． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，根据平方根的定义，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D错误． 故选：A． 4. 如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，即， ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：A． 5. 如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（ ） A. 12 B. 11 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】要使露在水杯外面的筷子长度最小，那么筷子在水杯内的长度应最长，此时筷子在水杯内的长度可看作是底面直径与高构成的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出此斜边长度，再用筷子总长度减去该长度即可得到的最小值． 【详解】解：根据勾股定理（其中为直角三角形斜边，、为两直角边）， 水杯底面直径，高度， 筷子在水杯内的最长长度， 筷子长， 露在水杯外面的筷子长度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，关键是理解当筷子在水杯内长度最长时（即构成直角三角形斜边时），露在外面的长度最小． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是菱形 C. 当时，是矩形 D. 当时，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 7. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平均数，方差作决策，理解表格信息，熟练掌握方差的意义是关键．根据平均数的大小，方差的含义进行判定即可． 【详解】解：∵平均数：， ∴先从平均数角度出发，选择甲或丁； ∵方差：， ∴从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是丁， 故选：D． 8. 一次函数与交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握两条一次函数图象的交点的横坐标即为联立解析式得到对应方程的解，据此即可解答． 【详解】∵一次函数与交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 9. 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 10. 对于函数的图象，下列结论错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 与y轴的交点为 D. 若两点，在该函数图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 求出当时y的值，求出当时，y的值即可判断A、C；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B、D． 【详解】解：A、当时，， 一次函数的图象必过点，故A不符合题意； B、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B符合题意； C、当时，， 一次函数的图象与y轴的交点为，故C不符合题意； D、， 随的增大而减小， 又点，，在一次函数的图象上，且， ，故D不符合题意． 故选：B． 11. 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离为（ ） A. 36 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分，可得，再用勾股定理解求出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 即之间的距离为． 故选：C 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，求出，，可得，求解平行四边形的面积为，过作于，再利用等面积法列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∴平行四边形的面积， 如图所示，过作于， 由平行四边形的性质可得， ∴， 解得：， ∴直线和直线的距离是为； 故选：D． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 14. 把直线向下平移6个单位得到的直线解析式为：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了函数图像的平移，解题的关键是掌握函数图象平移的规则． 根据函数图象平移的规则“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：直线向下平移6个单位，得到的直线的解析式为， 故答案为：． 15. 某小组某次英语听写的平均成绩为80分，5名同学中有4名同学的成绩分别为：82，85，90，75，则另一名同学的成绩为________分． 【答案】68 【解析】 【详解】设另一名同学的成绩为x分，则 82+85+90+75+x=80×5 解得x=68. 故答案为：68. 16. 如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________． （1） （2） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）当时，四边形为矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点E为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ，F分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点E为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 19. 已知一次函数图象经过点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值及点和点的坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）若点是轴上一点，且面积是，直接写出点的坐标． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数求得的值，再分别令、即可求解点和点的坐标； （2）由（1）求出的一次函数表达式，采用描点法作出一次函数图象即可求解； （3）根据题意，作出图形，数形结合表示出的面积，建立一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数图象经过点， 将代入，得：， 解得：． ∴一次函数解析式为， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 令时，，即， 令时，，即． 【小问2详解】 解：由（1）得：一次函数与轴交于点，与轴交于点， 过点B、C作直线即为一次函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示， ，点是轴上一点，且面积是， 设，则， 得：，解得：或． 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象与性质，求一次函数与坐标轴的交点坐标，描点法作一次函数图象，平面直角坐标系中求三角形的面积，解含绝对值的方程，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 20. 科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入了的热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间（min）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内，理由如下： 由（1）得， 依题意，（分钟）， 把代入， 得， ∵健康饮水的适宜温度是，且． ∴保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的其他应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由函数图象得在上，则把分别代入，进行解出，即可作答． （2）先整理得（分钟），再把代入，得，结合健康饮水的适宜温度是，且，即可作答． 【小问1详解】 解：∵保温壶内的水温与测试时间（min）之间满足一次函数关系， ∴设 把分别代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形：再由四边形是矩形，则得四边形是菱形； （2）由矩形的性质得；利用菱形的性质及勾股定理求得的长，从而求得菱形的两条对角线长，即可求得菱形的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22. 为了解某校学生本学期参加志愿服务的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为_______，统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生本学期参加志愿服务的次数数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有学生1200人，学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计该校获“志愿者勋章”的学生人数． 【答案】（1）40，25，7，7 （2）7 （3）840人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，正确掌握上述知识点是解题的关键． （1），，根据中位数和众数的定义即可得出结果； （2）根据条形统计图，可知平均数，计算即可； （3）用样本估计总体，可知该校共有学生1200人中， 本学期参加志愿服务不少于7次的学生占比为，用计算即可． 【小问1详解】 解：参加志愿服务5次的有4人，占总人数的， ， 参加志愿服务8次的有10人， ， ， 志愿服务7次的人数最多，所以志愿服务的众数是7；因为总的数据共40个，按志愿服务次数由小到大排列，志愿服务的中位数是第20，21位的两个数据的平均数，由图②条形统计图可知，中位数是7， 故答案为：40，25，7，7； 【小问2详解】 观察条形统计图， ， 这组数据的平均数是7. 【小问3详解】 在所抽取的样本中，本学期参加志愿服务7次的学生占37.5%，参加志愿服务8次的学生占25%，参加志愿服务7次的学生占7.5%， ． 根据样本数据，估计该校学生1200人中，本学期参加志愿服务不少于7次的学生占，有． 估计该校获“志愿者勋章”的学生人数约为840人． 23. 我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000 （1）设装运A种脐橙的车辆数为x辆，装运B种脐橙的车辆数为y辆，请填写下表，并求出y与x的函数表达式： 脐橙品种 A B C 装运车辆 x辆 y辆 _______辆 装运吨数 6x吨 5y吨 _______吨 （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】（1）；； （2）安排方案共有种 （3）当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车，销售获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，列一次函数解析式，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出函数解析式． （1）根据题意列出列代数式，然后根据运完A、B、C三种脐橙共100吨，列出等式即可； （2）根据每种脐橙的车辆数都不少于4列出不等式组，解不等式组即可； （3）设利润为W元，根据表格中利润关系，列出关系式，然后根据一次函数增减性，进行判定即可． 【小问1详解】 解：设装运A种脐橙的车辆数为x辆，装运B种脐橙的车辆数为y辆，则装运C种脐橙的车辆数为辆，可以运C种脐橙吨，根据题意， ∴， 整理得． 【小问2详解】 解：由（1）知，装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x辆，辆，（辆）， 由题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴x的值为，，，，， ∴安排方案共有种． 【小问3详解】 解：设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 24. 正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，是对角线上一点． （1）求证：． （2）如图2，过点作，，垂足分别为，，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，是的中点，连接，，求的最小值． （4）如图4，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接，若恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） （4）10 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； （2）连接，根据矩形的性质，证明，再利用（1）的结论，进而得证； （3）连接，与交于点，连接，．由可知，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长，据此求解即可． （4）过点作于点，于点，先证明四边形是矩形，再证明得，从而四边形为正方形，由勾股定理求出，然后根据正方形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，． 在与中， ， ． 【小问2详解】 解：． 证明：如图，连接． ，，四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． 由（1）可知， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，与交于点，连接，． ，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长． 四边形是正方形，是的中点，， ，，， ， 的最小值是． 【小问4详解】 如图，过点作于点，于点， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 四边形为正方形． 连接， ∵恰好为的中点， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $