精品解析：浙江省台州市椒江区2024-2025学年七年级下学期6月期末考试数学试题

浙江省台州市椒江区2024-2025学年 七年级下学期6月期末考试数学试题 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应位置上，写在试卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 【详解】解：解：观察图形可知图案D通过平移后可以得到． 故选：D． 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列计算中，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】选项A：根据幂的乘方法则，，故，选项A错误． 选项B：根据同底数幂相乘法则，，故，选项B正确． 选项C：根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故，选项C错误． 选项D：根据同底数幂相除法则，，故，选项D错误． 故选B． 4. 下列采用的调查方式中，合适的为（ ） A. 了解全市学生观看“开学第一课”的情况，采用抽样调查 B. 高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，采用抽样调查 C. 出版社审核书稿中的错别字，采用抽样调查 D. 调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查与全面调查的选择，根据调查对象的范围、可行性和必要性进行判断：全面调查适用于范围小、要求精确或不可破坏的情况；抽样调查适用于范围大、耗时或具有破坏性的情况，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握抽样调查与全面调查的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：A、全市学生数量庞大，全面调查难度大，采用抽样调查合理，故原说法正确，符合题意； B、高铁安检需确保每位旅客安全，必须全面检查，不能抽样，故原说法错误，不符合题意； C、审核书稿需检查所有内容，避免遗漏错别字，应全面调查，故原说法错误，不符合题意； D、池塘鱼的总数无法逐一统计，需通过抽样估算（如标记重捕法），故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分析得出答案． 【详解】解：A、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意； B、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意； C、，没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故不合题意； D、，是因式分解，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键． 6. 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 缩小为原来的3倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 7. 若多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. 5或1 B. C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方式的结构，中间项为平方项两数乘积的2倍或倍，从而建立方程求解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：多项式是完全平方式，可表示为， 比较中间项系数得：，即， 解得：或， 因此，的值为5或1， 故选：A． 8. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】五只雀、六只燕，共重斤（等于两），设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程． 【详解】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤（等于两）， ∴， 互换其中一只，恰好一样重， ∴，即， 联立方程组得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量关系列方程是解题的关键． 9. 长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，则的度数变化情况为（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．设，根据平行线的性质定理求出，由折叠的性质可得，再根据平行线的性质定理求出，可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 若的度数增大，则， ∴若的度数增大，则减小． 故选：D． 10. 将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（ ） A. 6.75 B. 6.5 C. 6.25 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 12. 若关于的方程有一组解是，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意，把解代入计算即可求解． 【详解】解：关于的方程有一组解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13. 某班对50名同学的“上学方式”进行了调查，绘制了扇形统计图．调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为_________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的相关计算，解题的关键是明确扇形统计图中各部分圆心角的度数等于该部分占总体的比例乘以． 计算步行人数占总人数的比例；用该比例乘以，得到对应的圆心角度数． 【详解】已知总人数为50人，步行上学的有10人，那么步行上学人数占总人数的比例为． ∵扇形统计图的圆心角总和是， ∴步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为． 故答案为：． 14. 若，则分式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值以及代数式的代入运算，解题的关键是根据已知条件用含一个字母的式子表示另一个字母，再代入分式进行化简计算． 由得出；将代入分式；化简计算得出结果． 【详解】解：因，则， 将代入原分式： （，否则分式无意义）． 故答案为：． 15. 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，利用平行线的性质求出和，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算得100． 【详解】根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． 故答案为：100． 三、解答题（本题有8小题，第题每小题8分，第题每小题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂，乘方，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算出零次幂，乘方的结果，再计算加减即可； （2）运用乘法公式，整式的除法运算去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 【答案】解：不能为0，理由如下： 原式 ． 判断：原式不能等于0． 理由：当时， 此时，分母为零分式无意义． 所以此代数式的值不能为0． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式的运算法则进行化简，同时牢记分式有意义的条件（分母不为0）． 化简括号内分式，得；除法变乘法并因式分解，约分后得；假设值为0求x，结合分式有意义条件是分母不能为零，因此判断原式的计算结果不可为0． 【详解】略 19. 解方程或方程组： (1) (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）， 由②得：x=-5y+3③， 把③代入①得：-10y+6-3y=-7， 解得：y=1， 把y=1代入③得：x=-2， 则方程组的解为； （2）去分母得：3-x=4x-8， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，，求的度数． 解：因为（已知）， 所以（_________）； 因为（已知）， 所以_________（等量代换）， 所以_________（_________）， 所以_________； 因为（已知）， 所以_________． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；. 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质求角的度数是关键，根据题意得到，结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）； 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以， 因为（已知）， 所以． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；． 21. 为进一步加强国防教育，激发学生的爱国情怀，某学校组织了全校学生参加“国防达人知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数表和频数直方图，解答下列问题： 某校部分学生成绩频数表 组别/分 组中值/分 频数 频率 16 40 50 m 24 n （1）学校共抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：______，______； （2）补全频数直方图； （3）若该校共有2000名学生参与此次竞赛，且成绩在90分以上的学生被评为“国防达人”，则该校获得“国防达人”称号的学生约有多少人？ 【答案】（1）200，70，； （2） 解：根据（1）的频数分布表补图如下： （3）240人． 【解析】 【分析】本题主要考查了全频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体等知识点，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）根据的频数和频率先求出总数，再根据频数、频率和总数之间的关系分别求出m、n的值； （2）根据（1）的结果可补全频数分布直方图即可； （3）用全校的总人数乘成绩在90分以上的学生所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：学校共抽取的学生数为（名）， （名），． 故答案为：200，70，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由样本估计总体得：（人）． 答：该校荣获“国防达人”称号的学生约有240人． 22. 如图，，点E，F分别在上，且和互余． （1）比较和的大小关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解： ．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、余角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，进而得到，再结合运用同角的余角相等即可解答； （2）由余角的定义可得，即；再根据平角的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 由（1）得， ∵， ∴． 23. 小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． （1）类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） （2）基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； （3）拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【答案】（1） 展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边；． 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）①0；②； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程． （1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律； （2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算； 基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项； （3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得： 解得． 24. 近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 （1）求大小两款无人机的单次运输价格； （2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； （3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】（1）大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； （2）小无人机实行九折优惠； （3）①；②这两天总营收的最小值为18840元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． 【小问1详解】 解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． 【小问2详解】 解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． 【小问3详解】 ①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ② 由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省台州市椒江区2024-2025学年 七年级下学期6月期末考试数学试题 亲爱的考生： 欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应位置上，写在试卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列采用的调查方式中，合适的为（ ） A. 了解全市学生观看“开学第一课”的情况，采用抽样调查 B. 高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检，采用抽样调查 C. 出版社审核书稿中的错别字，采用抽样调查 D. 调查某池塘中现有鱼的数量，采用全面调查 5. 下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的2倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 缩小为原来的3倍 7. 若多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. 5或1 B. C. 5 D. 2 8. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，则的度数变化情况为（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 10. 将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（ ） A. 6.75 B. 6.5 C. 6.25 D. 6 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 若关于的方程有一组解是，则的值为_________． 13. 某班对50名同学的“上学方式”进行了调查，绘制了扇形统计图．调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为_________． 14. 若，则分式的值为__________． 15. 如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为______． 16. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 三、解答题（本题有8小题，第题每小题8分，第题每小题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 19. 解方程或方程组： (1) (2) ． 20. 如图，，求的度数． 解：因为（已知）， 所以（_________）； 因为（已知）， 所以_________（等量代换）， 所以_________（_________）， 所以_________； 因为（已知）， 所以_________． 21. 为进一步加强国防教育，激发学生的爱国情怀，某学校组织了全校学生参加“国防达人知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数表和频数直方图，解答下列问题： 某校部分学生成绩频数表 组别/分 组中值/分 频数 频率 16 40 50 m 24 n （1）学校共抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：______，______； （2）补全频数直方图； （3）若该校共有2000名学生参与此次竞赛，且成绩在90分以上的学生被评为“国防达人”，则该校获得“国防达人”称号的学生约有多少人？ 22. 如图，，点E，F分别在上，且和互余． （1）比较和的大小关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 23. 小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． （1）类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） （2）基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； （3）拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 24. 近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 （1）求大小两款无人机的单次运输价格； （2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； （3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $