精品解析：云南省怒江傈僳族自治州民族中学2024-2025学年高三下学期第二次高考模拟测试数学试卷

怒江州民族中学2025届高三下学期第二次高考模拟测试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，且，则（ ） A. 1000 B. C. D. 100 5. 已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数是偶函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ） A. 投掷2次骰子，最终得分期望为 B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D. 设最终得分为分的概率为，则 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D 若，则， 11. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（ ） A. 存在点使得点.都在以为圆心的圆上 B. 存在点使得点是的垂心 C. 存在点使得点是的重心 D. 点到直线最短距离为4 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则其离心率为__________. 13. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为________． 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知中，. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 16. 已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度． 17. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点． （1）证明：⊥面； （2）求二面角的正切值； （3）当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值． 18. 已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，设数列的前项和为，求； （3）证明： 19. 已知函数，，当时， （1）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值； （2）求证：； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怒江州民族中学2025届高三下学期第二次高考模拟测试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4. 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】∵复数满足 ∴ ∴复数在复平面内对应的点位于第四象限 故选D. 3. 某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设男生被抽取的人数是，由条件结合分层抽样性质列方程求解即可. 【详解】设男生被抽取的人数是， 由已知可得， 解得，. 故选：C. 4. 若向量，且，则（ ） A. 1000 B. C. D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解； 【详解】因为，所以， 则． 故选：A 5. 已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，以及函数的零点，结合排除法，可得结论. 【详解】由，得是奇函数，故C不符合题意． 令，得或，故D不符合题意． 当时，，所以，故A不符合题意． 故选：B． 6. 用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求，由即可求解. 【详解】由题意：用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数， 则共有6种情况，共有2种情况， 共有4种情况，所以， 所以， 故选：A. 7. 已知函数是偶函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称且对称轴为轴，即可得处答案. 【详解】由题意得出 由于函数是偶函数，则 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题. 8. 投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ ） A. 投掷2次骰子，最终得分的期望为 B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D. 设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【解析】 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， ， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本相关系数为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错. 故选：ABC. 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 11. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（ ） A. 存在点使得点.都在以为圆心的圆上 B. 存在点使得点是的垂心 C. 存在点使得点是的重心 D. 点到直线的最短距离为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆的性质，以及抛物线的对称性，即可判断A，根据光学性质，利用点的坐标表示点的坐标，再根据垂心，重心，即可判断BC，利用坐标表示点到直线的距离，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，三点共线，根据对称性可知，若存在点使得点.都在以为圆心的圆上，则为通径，则,，则以点为圆心的圆的半径为2，但，所以不存在点使得点.都在以为圆心的圆上，故A错误； B.由，则，，则直线，与抛物线方程联立，得， 则，所以，则，即，若存在点使得点是的垂心，则，， ，，则，① ，，则，②，且，③，联立①③，得， 联立①②，得，则，得成立，故B正确； C.若存在点使得点是的重心，则，， 得，，即，故C正确； D.点到直线的最短距离为，当时，即时等号成立，点到直线的最短距离为4，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合光学性质，利用点的坐标表示点的坐标. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则其离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据渐近线斜率得到，利用求出离心率. 【详解】的渐近线方程为， 故，故离心率为. 故答案为： 13. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正切公式化简可得，再根据三角形形状以及正弦、余弦定理可限定出，将参数表示成再利用函数单调性即可求得其范围. 【详解】在中，由可得, 又因为， 所以，即 则， 所以可得，由正弦定理得． 又可知．又为锐角三角形，所以， 由余弦定理得．所以， 即，所以， 解得． 又，所以． 又因，所以， 即． 令，则，则． 因为在上单调递增，又，， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等公式的灵活运用，再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等求出参数取值范围. 14. 已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即. 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知中，. （1）求的大小； （2）若，求面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解得解， （2）由余弦定理以及基本不等式即可求解，进而由面积公式求解. 【小问1详解】 由和正弦定理可得, 又， 故， 因此，由于，故，即， 由于，故； 【小问2详解】 由余弦定理可得, 由于，故，当且仅当时取到等号， 故面积为， 故面积的最大值为， 16. 已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】(1)由焦点到渐近线的距离为，可得，再代入点，即可求得双曲线方程; (2)由中点为，可求得直线的方程为，联立直线与双曲线的方程可得，再由弦长公式计算即可. 【小问1详解】 解：若焦点，其到渐近线的距离， 又因为双曲线：经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 解：设点，， 因为是弦的中点， 则． 由于， 则， 所以， 从而直线的方程为， 即． 联立， 得， 所以， 从而． 17. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且AC为斜边，为等边三角形．若，为的中点，为线段上的动点． （1）证明：⊥面； （2）求二面角的正切值； （3）当的面积最小时，求与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解答 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，可证面； （2）由题意可证，进而可证平面，过点作于， 为二面角的平面角，求解即可； （3）当最小时，的面积最小，此时，进而可证平面平面，（或其补角）是CF与底面ABD所成的角，求解即可. 【小问1详解】 因为E为AC的中点，为等腰直角三角形，所以， 又为等边三角形，所以， 又，平面，所以面； 【小问2详解】 为等腰直角三角形，且AC为斜边，，可得， 为等边三角形．若，所以， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，， 过点作于，因为，平面， 所以平面，平面，从而可得， 所以为二面角的平面角， 又，所以，所以， 所以， 所以二面角的正切值为； 【小问3详解】 因为AC⊥平面，平面，所以， 所以当最小时，的面积最小，此时， 由面，面，可得，又，， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）是CF与底面ABD所成的角， 由（2）可知，且，所以， 由勾股定理可求得， 在中，由余弦定理可得， 所以. 18. 已知为数列的前项和，且，数列前项和为，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，设数列的前项和为，求； （3）证明：. 【答案】（1）， . （2） . （3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可得到，根据得到，即可得到； （2）首先根据得到，再计算即可； （3）首先根据题意得到，再根据得到，即可证明. 【小问1详解】 由， 当时，， 当时，， 检验时，，所以； 因为，（）， 所以，即（）， 而，故满足上式， 所以是以，公比等于的等比数列，即； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 因为， . 所以 ， ， 因为，，所以， 即，即证：； 综上，，， . 19. 已知函数，，当时， （1）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值； （2）求证：； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）求导数，根据题意g'(0)=0,求得a的值；（2）①当时，，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明，从而证得；②当时，，令，利用导数研究单调性，进而证明，，综上可知：；（3）利用（2）的结论放缩后得，令，利用导数研究单调性可得．得到．从而当时，在上恒成立．同样利用放缩后可得．利用导数进行研究可证得当时，在上不恒成立． 【详解】解：（1）， 函数在处的切线与轴平行，则，得． （2）证明：①当时，， 令，则．当时，， ∴在上是增函数，∴，即． ②当时，，令，则． 当时，，∴在单调递增，∴， ∴，综上可知：； （3）解：设 ． 令，则， 令，则． 当时，，可得是上的减函数， ∴，故在单调递减， ∴．∴． ∴当时，在上恒成立． 下面证明当时，上不恒成立． ． 令，则． 当时，，故在上是减函数， ∴． 当时，．∴存在，使得，此时，． 即在不恒成立．综上实数的取值范围是． 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数证明不等式和解决不等式恒成立求参数范围问题，属于中高档题，难度较大.关键难点是利用第（2）的结论，对进行放缩，从正反两方面证明a≤-3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $