河南省商丘市民权实验中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

河南省商丘市民权实验中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝2 B．y＝2x+1 C． D．y＝x2 2．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，8 3．（3分）在▱ABCD中，∠B＝140°，则∠A+∠C的度数为（　　） A．40° B．80° C．140° D．280° 4．（3分）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面南极——艾特肯盆地着陆，并采样，是世界首次在月球背面采集土壤样品，对月球的探索有着重要的意义．下表记录了甲、乙、丙、丁四种着陆方案的平均时间与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分钟） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 根据表中数据，要从中选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（3分）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣1，4） B．（﹣3，3） C．（2，5） D．（1，2） 6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）下列命题中是真命题的是（　　） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形 8．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH＝8，则CH的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E是AD边的中点．若AD＝12，OE＝3，则线段OC的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 10．（3分）如图，在菱形ABCD和菱形CEFG（点D在边CG上）中，连接AF，EG相交于点P，连接CP．若BC＝5，CE＝10，EG＝12，则CP的长是（　　） A．8 B．9 C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）若二次根式有意义，则x可以是 　 　 （写出一个符合条件x的值即可）． 12．（3分）已知点（2，在一次函数y＝kx+b的图象上，则代数式4k+2b的值为 　 　 ． 13．（3分）2024年12月4日，华为Mate70非凡大师上市，前期测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 屏幕尺寸 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、屏幕尺寸这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为　 　 分． 14．（3分）如图，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 　 　 ． 15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　 ． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（10分）计算． （1）． （2）． 17．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F． （1）求证：BC＝CF； （2）若∠1＝5∠2，求∠C的度数． 18．（9分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝10；当x＝5时，y＝1．求： （1）这个一次函数的表达式． （2）当x＝2时，函数y的值． （3）当y≤1时，自变量x的取值范围． 19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，并且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ 20．（9分）某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组x＜85，B组85≤x＜90，C组90≤x＜95，D组95≤x≤100）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）此次该校七、八年级分别有500名、600名学生参加知识比赛，估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有多少人？ 21．（9分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜18）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元，求a的值． 22．（10分）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形． （2）若∠ABC＝150°，AB＝BC＝6． ①当四边形BECD是矩形时，求BE的长； ②当BE＝　 　 时，四边形BECD是菱形．（请直接写出答案） 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝4． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（6，3），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 河南省商丘市民权实验中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A C C B B D C 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝2 B．y＝2x+1 C． D．y＝x2 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：A、函数y＝2不是一次函数，不符合题意； B、函数y＝2x+1是一次函数，符合题意； C、函数y＝不是一次函数，不符合题意； D、函数y＝x2不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 2．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．，， C．1，，2 D．，，8 【分析】根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 【解答】解：A、因为22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、因为（）2+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为12+（）2＝22，故能构成直角三角形，符合题意； D、因为（）2+（）2≠82，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，关键掌握当三角形中三边的关系为：a2+b2＝c2时，三角形为直角三角形． 3．（3分）在▱ABCD中，∠B＝140°，则∠A+∠C的度数为（　　） A．40° B．80° C．140° D．280° 【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，即可求∠A+∠C的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°． ∵∠B＝140°， ∴∠A＝∠C＝40° ∴∠A+∠C＝80°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角相等”和“平行四边形的邻角互补”是解答本题的关键． 4．（3分）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器成功在月球背面南极——艾特肯盆地着陆，并采样，是世界首次在月球背面采集土壤样品，对月球的探索有着重要的意义．下表记录了甲、乙、丙、丁四种着陆方案的平均时间与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分钟） 15 16 18 15 方差 0.2 0.2 0.3 0.3 根据表中数据，要从中选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短．据此判断即可． 【解答】解：∵平均时间短的着陆方案是甲和丁，着陆稳定的方案甲和乙， ∴选择一种平均时间短且着陆稳定的方案，应该选择甲． 故选：A． 【点评】本题考查方差以及平均数的意义，解题的关键是掌握：方差越小数据越稳定、平均数越小时间越短． 5．（3分）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣1，4） B．（﹣3，3） C．（2，5） D．（1，2） 【分析】根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【解答】解：A、当点A的坐标为（﹣1，4）时，4＝﹣k+3， 解得：k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为（﹣3，3）时，3＝﹣3k+3， 解得：k＝0， ∴选项B不符合题意； C、当点A的坐标为（2，5）时，5＝2k+3， 解得：k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，选项C符合题意； D、当点A的坐标为（1，2）时，2＝k+3， 解得：k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 6．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先将点P代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解． 【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4， 得n＝﹣3+4＝1， ∴P（3，1）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键． 7．（3分）下列命题中是真命题的是（　　） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形 【分析】分别根据四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法逐一判断即可． 【解答】解：A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题，故本选项不符合题意； B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，故本选项符合题意； C．有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题，故本选项不符合题意； D．一个角为90°且一组邻边相等的四边形不一定是正方形，可以是一个筝形，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理，掌握平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定是解题的关键． 8．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH＝8，则CH的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据直角三角形的性质得到CH＝AB，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，进而证明EF＝CH，根据EF+CH＝8计算即可得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H是边AB的中点， ∴CH＝AB， ∵点E、F分别是边BC、CA的中点， ∴EF＝AB， ∴EF＝CH， ∵EF+CH＝8， ∴CH＝EF＝×8＝4， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E是AD边的中点．若AD＝12，OE＝3，则线段OC的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【分析】先证OE是△ABD的中位线，即可求出AB的长，根据勾股定理求出BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OC的长． 【解答】解：在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E是AD边的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE＝， ∵OE＝3， ∴AB＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°， 由勾股定理得BD＝， ∵O是对角线BD的中点，∠BCD＝90°， ∴OC＝， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．（3分）如图，在菱形ABCD和菱形CEFG（点D在边CG上）中，连接AF，EG相交于点P，连接CP．若BC＝5，CE＝10，EG＝12，则CP的长是（　　） A．8 B．9 C． D． 【分析】如图：连接CF交EG于O，连接DO，由菱形的性质可得CD＝BC＝5，CG＝FG＝CE＝10、CF⊥GE、、OC＝OF、AD∥CE∥GF，再由勾股定理可得；再证明OD是△CGF的中位线，进而得到AD∥GF、A，D，O三点共线、AO＝AD+OD＝10；然后证明△FPG≌△APO（AAS）可得，最后运用勾股定理即可解答． 【解答】解：如图：连接CF交EG于O，连接DO， ∵菱形ABCD和菱形CEFG，BC＝5，CE＝10， ∴CD＝BC＝5，CG＝FG＝CE＝10，CF⊥GE，，OC＝OF，AD∥CE∥GF， ∴， ∵GD＝CG﹣CD＝5， ∴CD＝DG ∵OC＝OF， ∴OD是△CGF的中位线， ∴， ∵AD∥GF， ∴A，D，O三点共线，AO＝AD+OD＝10，∠FGP＝∠AOP， ∴AO＝GF＝10， ∵∠FPG＝∠APO， ∴△FPG≌△APO（AAS）， ∴， ∵CF⊥GE， ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）若二次根式有意义，则x可以是 　6（答案不唯一）　 （写出一个符合条件x的值即可）． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：若二次根式有意义， 则x﹣5≥0， 解得x≥5． 故答案为：6（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 12．（3分）已知点（2，在一次函数y＝kx+b的图象上，则代数式4k+2b的值为 　2　 ． 【分析】把点（2，代入y＝kx+b得到2k+b＝，进一步即可求得所求式子的值． 【解答】解：∵点（2，在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴2k+b＝， ∴4k+2b＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解答本题的关键． 13．（3分）2024年12月4日，华为Mate70非凡大师上市，前期测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 屏幕尺寸 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、屏幕尺寸这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为　6.8　 分． 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该手机的综合成绩． 【解答】解：∵操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、屏幕尺寸这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩， ∴该手机的综合成绩为：（分）， 故答案为：6.8． 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 14．（3分）如图，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是 　（5，4）　 ． 【分析】根据作图可知，BG是∠ABC的角平分线，然后由平行四边形的性质可得AG的长，因而可得答案． 【解答】解：∵▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝＝5， 根据作图可知，BG是∠ABC的角平分线， ∴∠ABG＝∠GBC， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AGB＝∠GBC，点G与点A的纵坐标相等， ∴∠ABG＝∠AGB， ∴AB＝AG＝5， ∴点G的坐标是（5，4）， 故答案为：（5，4）． 【点评】此题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 15．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　2或1+　 ． 【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①如图1，当∠MND＝90°时， 则MN⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴MN∥AB， ∵M为对角线BD的中点， ∴AN＝DN， ∵AN＝AB＝1， ∴AD＝2AN＝2； ②如图2，当∠NMD＝90°时， 则MN⊥BD， ∵M为对角线BD的中点， ∴BM＝DM， ∴MN垂直平分BD， ∴BN＝DN， ∵∠A＝90°，AB＝AN＝1， ∴BN＝AB＝， ∴AD＝AN+DN＝1+， 综上所述，AD的长为2或1+． 故答案为：2或1+． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（10分）计算． （1）． （2）． 【分析】（1）先计算乘法，再计算加减即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1） ＝+2﹣3 ＝0； （2） ＝ ＝． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 17．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F． （1）求证：BC＝CF； （2）若∠1＝5∠2，求∠C的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，则∠2＝∠F，再由角平分线定义得∠2＝∠CBF，则∠F＝∠CBF，即可得出结论； （2）证∠CBF＝∠DEF＝∠2，再由∠1+∠2＝180°，∠1＝5∠2，得6∠2＝180°，则∠2＝30°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠2＝∠F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠2＝∠CBF， ∴∠F＝∠CBF， ∴BC＝CF； （2）解：∵BE平分∠ABC， ∴∠2＝∠CBF ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠DEF＝∠2， ∵∠1+∠2＝180°，∠1＝5∠2， ∴6∠2＝180°， ∴∠2＝30°， ∴∠ABC＝60°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠C+∠ABC＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 18．（9分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝10；当x＝5时，y＝1．求： （1）这个一次函数的表达式． （2）当x＝2时，函数y的值． （3）当y≤1时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求解即可； （2）将x＝2代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据k的值，可知y随x的增大而减小，分别求出y＝﹣3和y＝2对应的x的取值，即可求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， ∵当x＝﹣4时，y＝10；当x＝5时，y＝1， ∴， 解得， 函数解析式为y＝﹣x+6； （2）将x＝2代入y＝﹣x+6得，y＝﹣2+6＝4； （3）∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 把y＝1代入得，﹣x+6＝1， 解得：x＝5， ∴当x≥5时，y≤1， ∴当y≤1时，自变量x的取值范围为x≥5． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． 19．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，并且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 20．（9分）某中学在七、八年级学生中开展科技文化知识比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组x＜85，B组85≤x＜90，C组90≤x＜95，D组95≤x≤100）． 七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94． 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　90　 ，b＝　90.5　 ，m＝　25　 ； （2）你认为这次知识比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由； （3）此次该校七、八年级分别有500名、600名学生参加知识比赛，估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有多少人？ 【分析】（1）根据八年级在D组人数可求出“D组”所占的百分比，即可求出m的值，根据中位数、众数的意义可求出a、b的值； （2）通过中位数进行分析得出答案； （3）分别求出七、八年级样本中的优秀率，进而根据七、八年级的优秀率求出八、九年级的满分人数，再求出总体中的优秀人数． 【解答】解：（1）七年级成绩的众数a＝90，八年级成绩位于A、B组的人数为20×（20%+25%）＝9（人）， 所以八年级成绩的中位数b＝＝90.5， ∵D组人数为20﹣（9+6）＝5（人）， ∴m%＝×100%＝25%，即m＝25； 故答案为：90、90.5、25； （2）八年级成绩更好， 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级， 所以八年级成绩的高分人数多于七年级， 所以八年级成绩更好； （3）500×+600×＝580（人）， 答：估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有580人． 【点评】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提． 21．（9分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（0＜a＜18）出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元，求a的值． 【分析】（1）根据总利润＝甲商品的利润+乙商品的利润，即可得出答案； （2）根据商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，得出x的范围，再根据一次函数的单调性，即可得出答案； （3）先写出解析式，再进行分类讨论，进而可以得出答案． 【解答】解：（1）y＝（100﹣80）x+（130﹣100）（100﹣x） ＝﹣10x+3000， 所以y与x的函数关系式为y＝﹣10x+3000． （2）∵80x+100（100﹣x）≤9600， ∴x≥20， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y的最大值为y＝﹣10×20+3000＝2800， ∴商场可获得的最大利润是2800元． （3）y＝（100﹣80+a）x+（130﹣100）（100﹣x） ＝（a﹣10）x+3000，（20≤x≤60）， ①当0＜a＜10时，a﹣10＜0，y随x的增大而减小， ∴当x＝20时，y有最大值， ∴20（a﹣10）+3000＝3300， ∴a＝25（舍）； ②当a＝10时，a﹣10＝0，y＝3000，不符合题意； ③当10＜a＜18时， a﹣10＞0， y随x的增大而增大， ∴当x＝60时，y有最大值， ∴60（a﹣10）+3000＝3300， ∴a＝15， 综上所述，a＝15． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，分类讨论是解题的关键． 22．（10分）如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． （1）求证：四边形DBEC是平行四边形． （2）若∠ABC＝150°，AB＝BC＝6． ①当四边形BECD是矩形时，求BE的长； ②当BE＝　2　 时，四边形BECD是菱形．（请直接写出答案） 【分析】（1）由CD∥AB和CF＝BF，证明△FCD≌△FBE，得DF＝EF，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形DBEC是平行四边形； （2）①由∠ABC＝150°得∠CBE＝30°，当四边形DBEC是矩形时，则∠BEC＝90°，可证明△EFC是等边三角形，再由勾股定理可求出BE的长； ②当BC⊥DE时，四边形BECD是菱形，则∠BFE＝90°，∠FBE＝30°，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出BE的长． 【解答】（1）证明：如图1，∵CD∥AB， ∴∠FCD＝∠FBE，∠FDC＝∠FEB， ∵CF＝BF， ∴△FCD≌△FBE（AAS）， ∴DF＝EF， ∴四边形DBEC是平行四边形. （2）①如图2，∵四边形BECD是矩形， ∴∠BEC＝90°， ∴EF＝BC， ∵AB＝BC＝6，且BF＝CF＝BC， ∴EF＝BF＝CF＝3； ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝30°， ∴∠BCE＝60°， ∴△ECF是等边三角形， ∴EC＝EF＝3， ∴BE＝＝＝3． ②如图3，由（1）得，四边形BECD是平行四边形， 当BC⊥DE时，四边形DBEC是菱形，此时∠BFE＝90°， ∵∠FBE＝30°， ∴EF＝BE， 由EF2+BF2＝BE2，得（BE）2+32＝BE2， 解得BE＝2． 故答案为：2． 【点评】此题重点考查平行四边形、矩形、菱形的性质与判定、直角三角形的性质等知识和方法，中等难度但综合性较强，是很好的练习题． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝4． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（6，3），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据四边形OABC为正方形，OA＝4即可得出点B，C的坐标； （2）设直线AC的解析式为：y＝kx+b，将点A（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b之中求出k，b即可得直线AC的解析式； （3）连接OP，OE，OB交AC于点Q，过点E作EF⊥x轴于F，根据“两点之间线段最短”得：当点O，P，E在同一条直线上时，PO+PE为最小，最小值为线段OE的长，然后在Rt△OEF中，由勾股定理求出OE即可；利用待定系数法求出直线OE的解析式，然后与直线AC的解析式联立成方程组求解即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵四边形OABC为正方形，OA＝4， ∴OC＝4， ∴是B的坐标为（4，4），点C的坐标为（0，4）， （2）设直线AC的解析式为：y＝kx+b， 将点A（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b， 得：，解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+4， （3）直线AC上存在点P，使PB+PE为最小，此时点P在OE上，PB+PE的最小值是线段OE的长． 理由如下： 连接OP，OE，OB，过点E作EF⊥x轴于F， ∵四边形OABC为正方形， ∴AC⊥OB且平分OB， 即AC为OB的垂直平分线， ∴PB＝PO， ∴PB+PE＝PC+PE， 根据“两点之间线段最短”得：PO+PE≥OE， ∴当点O，P，E在同一条直线上时，PO+PE为最小， 即PB+PE为最小，最小值为线段OE的长， ∵点E的坐标为（6，3）， ∴OF＝6，EF＝3， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：， ∴PB+PE的最小值为． 设直线OE的解析式为：y＝mx， 将点E（6，3）代入y＝mx，得：3＝6m，解得：， ∴直线OE的解析式为：， 解方程组，得：， ∴点P的坐标为． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，最短路线，一次函数的交点，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，以及求一次函数交点坐标的方法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$