精品解析：山西省长治市长子县2024-2025学年下学期期末八年级数学试卷

2024—2025学年第二学期期末教学质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，共8页． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式无意义，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列函数图象能近似的刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( ) A. 中位数 B. 众数 C. 方差 D. 以上都不对 9. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 10. 如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 请你写出一个一次函数，使它经过二、三、四象限_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为___________． 13. 立德树人 最美人间四月天，正是读书好时节．总书记习近平曾指出，阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，涵养浩然之气．某中学在今年读书日来临之际，举行相关朗诵比赛，更好地落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读．下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩（如表所示），每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 95分 90分 93分 评委（老师） 90分 95分 92分 经过最后汇总，总分最高的是______________选手（填“甲、乙、丙”）． 14. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 15. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是（ ）； A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想 （2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是_________； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 18. 如图1，中，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案． （1）正确的方案有______种； （2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 19. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95. 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　　，　　　，　　　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有500名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名? 20. 如图，在矩形中，是对角线的中点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由． 21. 生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 22. 项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤： ①选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． ②每工作1记录1次油箱内的油量． ③分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： （1）通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的________函数．（填“一次”或“反比例”） （2）求出该挖掘机油箱内剩余油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）若该挖掘机油箱内剩余12油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 23. 综合与探究 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，如图3，若线段恰好经过点，如果正方形的边长为9，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末教学质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，共8页． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式无意义，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 3. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 4. 在升旗仪式上，国旗冉冉上升，下列函数图象能近似的刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实际问题的函数图象，根据题意描述，结合选项图象即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：在升旗仪式上，国旗冉冉上升，上升的国旗离旗杆顶端的距离随着时间的增加逐渐减小，图象是下降的，最后距离为，则符合题意的是： 故选：A． 5. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 6. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可． 【详解】A．， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B．在和中， ， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C． ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D．由，不能判定四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵由题意可知CF是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠DCE=∠E， ∴∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE-AB=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 8. 中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( ) A. 中位数 B. 众数 C. 方差 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，掌握方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立是关键．根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立． 【详解】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差． 故选：C． 9. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】四边形是正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，不能证明，故⑤错误； 综上所述，其中正确的有①②④，正确的个数是3． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 请你写出一个一次函数，使它经过二、三、四象限_____． 【答案】答案不唯一：如y＝﹣x﹣1． 【解析】 【分析】根据已知可画出此函数的简图，再设此一次函数的解析式为：y＝kx+b，然后可知：k＜0，b＜0，即可求得答案． 【详解】∵图象经过第二、三、四象限，∴如图所示． 设此一次函数的解析式为：y＝kx+b，∴k＜0，b＜0，∴此题答案不唯一：如y＝﹣x﹣1． 故答案为答案不唯一：如y＝﹣x﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用． 12. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可． 【详解】解：，两点在反比例函数的图象上， ， 由条件可知，， 四边形的面积为， ， 解得， 故答案为：． 13. 立德树人 最美人间四月天，正是读书好时节．总书记习近平曾指出，阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，涵养浩然之气．某中学在今年读书日来临之际，举行相关朗诵比赛，更好地落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读．下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩（如表所示），每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 95分 90分 93分 评委（老师） 90分 95分 92分 经过最后汇总，总分最高的是______________选手（填“甲、乙、丙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的计算，根据加权平均数的定义先计算三人各自的平均数，再进行比较即可． 【详解】解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ， ∴总分最高的是乙选手． 故答案为：乙 14. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，如解图，根据题意，易得，，，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理，连接，先判断垂直平分线得到，进而判断，然后利用勾股定理求解即可．解答本题的关键是证明． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，又， ∴垂直平分线， ∴，又， ∴，则， ∴，则， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题含8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、乘方运算、负整数指数幂及零指数幂，再计算有理数乘法，最后由有理数加减运算求解即可得到答案； （2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解，再验根即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得， 解得， 检验：当时，最简公分母得， 即是原分式方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查有理数混合运算、解分式方程等知识，涉及绝对值、乘方运算、负整数指数幂、零指数幂、有理数乘法运算、有理数加减运算等知识，熟记有理数混合运算法则、解分式方程方法步骤是解决问题的关键． 17. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是（ ）； A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想 （2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是_________； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 【答案】（1）C （2）三，分式的基本性质 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据分式加减运算进行解答即可； （2）根据通分的定义进行解答即可； （3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可． 【小问1详解】 解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：C． 【小问2详解】 解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 如图1，中，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案． （1）正确的方案有______种； （2）针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 【答案】（1）三 （2）任选一种，证明见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由题意，逐个分析即可得到答案； （2）三种作图方案均正确，逐一论证即可得到答案． 【小问1详解】 解：正确的方案有三种， 故答案为：三； 【小问2详解】 解：方案甲中，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故方案丙正确． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形判定与性质、平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 19. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95. 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　　，　　　，　　　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有500名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名? 【答案】（1），， （2） 八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，20，78； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 20. 如图，在矩形中，是对角线的中点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法和证明，标清字母）． （2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图所示，直线即为所求； （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——过一点作已知直线的垂线，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本的尺规作图和以上图形的性质． （1）利用过一点作已知直线垂线的方法进行作图即可； （2）利用矩形的性质和已知条件得出和，再得出四边形是平行四边形，最后利用有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 【答案】任务1：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元；任务2：购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设A种型号自行车的进货单价是x元，则B种型号自行车的进货单价是元，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设购进A种型号自行车m辆，则设购进B种型号自行车辆，则，可得，又设该商店利润为w元，则，结合，从而根据一次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）设种型号自行车的进货单价是元，则种型号自行车的进货单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元； （2）设购进种型号自行车辆，则设购进种型号自行车辆， 根据题意得：， 解得， 设该商店利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 且为正整数 当时，有最大值， ， 此时（辆）， 答：该商店购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元． 22. 项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤： ①选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． ②每工作1记录1次油箱内的油量． ③分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： （1）通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的________函数．（填“一次”或“反比例”） （2）求出该挖掘机油箱内剩余油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）若该挖掘机油箱内剩余12油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 【答案】（1）一次 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及一次函数定义、待定系数法确定一次函数表达式、已知函数值求自变量等知识，读懂题意，准确求出函数表达式是解决问题的关键． （1）通过数据分析，当工作时间每增加1个小时，油箱内油量减少12升，从而在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的一次函数； （2）设该挖掘机油箱内油量与工作时间的函数解析式为，由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案； （3）结合（2）中所得表达式，由题意得到，代入表达式解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 当工作时间每增加1个小时，油箱内油量减少12升，从而在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的一次函数， 故答案为：一次； 【小问2详解】 解：设该挖掘机油箱内油量与工作时间的函数解析式为， 把、分别代入得： ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， 解得， ∴自变量的取值范围为； 即； 【小问3详解】 解：在中， 当时，得， 解得， 答：该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间为． 23. 综合与探究 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为______；说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，如图3，若线段恰好经过点，如果正方形的边长为9，，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的“十字架”模型，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （2）先证，再利用全等三角形的“十字架”模型构造全等，过点作，结合两个三角形全等的判定定理可证，进而得解； （3）过点作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 理由如下： 如图所示： 将沿翻折得到，则垂直平分， ∴， 在正方形中，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴； 故答案为：； （2）猜想线段之间的数量关系：， 证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 将四边形沿所在直线翻折得到四边形，则， ∴， 过点作，垂足为点，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点作，垂足为，交线段于点，连接，如图所示： ∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点， ∴关于直线对称，则， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，则由勾股定理得， 在中，，则由勾股定理得， 又∵， ， 则， 解得，即的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了折叠的性质、垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理及解方程等内容，熟记折叠性质，掌握相关几何性质及判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $