精品解析：四川省成都市新都区2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷

2025年（春季）七年级期末测试 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将答题卡、试卷和草稿纸一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 2020年7月，北斗三号导航系统正式开通全球服务，在全球范围其授时精度优于20纳秒，已知1纳秒秒，则20纳秒可用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：20纳秒． 故选：D． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，合并同类项，根据以上知识逐一分析判断即可. 【详解】解：A.，故A选项不符合题意； B.，故B选项不符合题意； C.，故C选项符合题意； D.和不是同类项，不能合并，故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ） A. 只有可以 B. 只有可以 C. ，都可以 D. ，都不可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截． 理由：，满足两边之和大于第三边． 故选：A． 5. 如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角角边 D. 角边角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 6. 下列事件中，属于随机事件的有（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和 B. 投一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7 C. 经过有交通信号灯的路口，刚好是绿灯 D. 从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是白球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A. 三角形的内角和恒为，是必然事件，不符合题意； B. 骰子只有1至6点，出现7点不可能，属于不可能事件，不符合题意； C. 交通信号灯有红、黄、绿三种可能，遇到绿灯是随机事件，符合题意； D. 袋中无白球，掏到白球不可能，属于不可能事件，不符合题意； 故选：C. 7. 将木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条b绕点B按顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等，在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．要使木条a与b平行，旋转后，再进一步求解即可． 【详解】解：要使木条a与b平行， ∴旋转后， ∵， ∴旋转后， ∴木条b至少旋转：， 故选A． 8. “乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是列函数关系式，根据题意，总运费由运往A村和B村的费用组成。设运往A村的机器为x台，则运往B村的机器为台；分别计算两部分的运费并求和，化简后即可得到总运费y关于x的关系式. 【详解】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元， 运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元， ∴总运费y为两部分之和，即：； 故选：D. 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 10. 一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同， ∴从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是， 故答案为：． 11. 某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示： 每天生产的个数 … 生产的天数 … 则该厂家要想天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数的表示方法，根据变量的变化规律写出与之间的关系式是解题的关键．根据变量的变化规律写出与之间的关系式，当时，求出对应的值即可． 【详解】解：根据表格，得， 与之间的关系为， 当时，得， 解得， 每天需要生产个． 故答案：． 12. 已知，为整数，且，则______(填“”，“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及因式分解的应用；将两式作差并利用完全平方公式计算后再与0比较大小即可． 【详解】解： ∵ ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，整数指数幂、负整数指数幂以及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）先将括号内的式子利用平方差及完全平方公式展开并合并同类项，然后算除法，最后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 当时， 原式． 15. 如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． (1）根据轴对称的性质作图即可． (2）连接，交直线于点，则点即为所求． (3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 【小问3详解】 的面积为 16. 今年4月在某中学校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校名学生最喜爱的节目类型，学校艺术节筹备组随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）被抽取的问卷数量是 ，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为 度； （3）请你估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数． 【答案】（1），补全图形见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由“课本剧”人数及其所占百分比可得总数量，再根据各类型人数之和等于总人数求出“舞蹈”人数即可补全图形； （2）用乘样本中“舞蹈”人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中“歌曲”人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：被抽取的问卷数量是（份）， “舞蹈”人数为（人）， 补全图形如下： 故答案为：； 【小问2详解】 扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为， 故答案为：； 【小问3详解】 （名）， 答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名． 17. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （）先根据平行线的性质得出，再根据，得出，根据平行线的判定可得出，根据平行线的性质即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 若平分，， ， ， ， ． 18. 在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ； （2）当点在线段的延长线上时， ①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论； ②连接，，若，，请求出的面积． 【答案】（1）；； （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键． （1）由等腰直角三角形性质得，由旋转的性质得，，进而得，由此可依据判定和全等得，，进而得，，据此可得出答案； （2）①由得，进而可依据证明和全等得，继而可得出线段、、的数量关系； ②由，得，由和全等得，，进而得，再由三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：中，，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 故答案为：；； 【小问2详解】 ①线段、、的数量关系是：，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②，， ， 由①可知：， ，， 在中，，， ， ， ， ， 即， 的面积是：． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式的特点：两数的平方和与这两数乘积的二倍的和（或差）等于这两个数的和（或差）的平方，熟练掌握完全平方式的特点是解题． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为，和，则白色区域面积占整个面积的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，关键是掌握圆的面积公式．由圆的面积公式求出整个图形的面积，白色区域面积的面积，即可得到答案． 【详解】解：∵整个图形的面积，白色区域面积的面积， ∴白色区域面积占整个面积的比值为 故答案为：． 21. 如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是______；第次输出的结果是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、求代数式的值，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第次输出的结果，本题得以解决．解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果． 【详解】解：由题意可得， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第次输出的结果是． 故答案为：；． 22. 七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定；正确地识别图形是解题的关键．根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又， ， 同理可得，， ， 射线为的平分线； ③：由作图痕迹可知，，， 可得， 又由图可知， ， ， 射线为的平分线； ④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形， 射线是的垂直平分线， 也是的平分线． 故答案为：①②③④． 23. 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．求的度数，由翻折的性质可得，，故，即得，求的度数分两种情况，画出图形，根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可得， ， ，， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 如图： ， ， 由翻折可知，， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：，或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． （1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； （3）若，请求出的值． 【答案】（1） ， （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）分别令和，得出即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； 【小问2详解】 由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即 ∴ 25. 如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示． （1）请问 ， ， ； （2）图2中(？)处该填 ； （3）当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，得出，根据当点运动到点点时，，取得最大值，求得，进而勾股定理求得，即可求解； （2）根据（1）的结论，结合函数图象，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即， 当点运动到点点时，，取得最大值，此时 在中， ∴； 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴当时，取得最小值，此时运动到点，则 故答案为：． 【小问3详解】 解：点在线段上运动时不与端点重合，则 ∴ 26. 某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． （1）如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：； （2）如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； （3）如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据折叠的性质得出，，进而根据即可证明； （2）根据折叠的性质可得，进而证明， （3）如图，设交于点，当时，，此时取得最小值，进而同（1）证明得出，，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 【小问2详解】 解：，理由如下， ∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点， 由（2）可得 当时，，此时取得最小值， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴ ∴ 又∵ 又∵ ∴ ∴，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年（春季）七年级期末测试 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将答题卡、试卷和草稿纸一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2020年7月，北斗三号导航系统正式开通全球服务，在全球范围其授时精度优于20纳秒，已知1纳秒秒，则20纳秒可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ） A. 只有可以 B. 只有可以 C. ，都可以 D. ，都不可以 5. 如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角角边 D. 角边角 6. 下列事件中，属于随机事件有（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 投一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7 C. 经过有交通信号灯的路口，刚好是绿灯 D. 从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是白球 7. 将木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条b绕点B按顺时针旋转的度数至少是（ ） A. B. C. D. 8. “乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，，则______． 10. 一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球概率是______． 11. 某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示： 每天生产的个数 … 生产的天数 … 则该厂家要想天完成这批货物生产任务，则每天需要生产______个． 12. 已知，整数，且，则______(填“”，“”或“”)． 13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 15. 如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）； （3）求的面积． 16. 今年4月在某中学校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校名学生最喜爱的节目类型，学校艺术节筹备组随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）被抽取的问卷数量是 ，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为 度； （3）请你估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数． 17. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点，，求的度数． 18. 在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ； （2）当点在线段的延长线上时， ①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论； ②连接，，若，，请求出的面积． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若是一个完全平方式，则的值为______． 20. 如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为，和，则白色区域面积占整个面积的比值为______． 21. 如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是______；第次输出的结果是______． 22. 七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为_____． 23. 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． （1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； （3）若，请求出的值． 25. 如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示． （1）请问 ， ， ； （2）图2中(？)处该填 ； （3）当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)． 26. 某班数学兴趣小组同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． （1）如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：； （2）如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； （3）如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$