专题15.3 等腰三角形（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题15.3 等腰三角形 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：等腰三角形的性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：尺规作图——作等腰三角形 2 知识点梳理04：等边三角形的性质 2 知识点梳理05：等边三角形的判定 3 知识点梳理06：含30°角的直角三角形性质 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：等边对等角 3 考点2：三线合一 4 考点3：斜边的中线等于斜边的—半 7 考点4：根据等角对等边证明等腰三角形 10 考点5：根据等角对等边证明边相等 12 考点6：根据等角对等边求边长 12 考点7：格点图中画等腰三角形 14 考点8：等腰三角形的性质和判定 16 考点9：等边三角形的性质 20 考点10：等边三角形的判定 22 考点11：等边三角形的判定和性质 24 考点12：最短路径问题 27 中考真题 实战演练 30 难度分层 拔尖冲刺 34 基础夯实 34 培优拔高 45 知识点梳理01：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【注意】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴. 知识点梳理02：等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点梳理03：尺规作图——作等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点梳理04：等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点梳理05：等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点梳理06：含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 考点1：等边对等角 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【规范解答】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， 又∵ ， ∴， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点2：三线合一 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】见详解 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟悉等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出，，平分，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【规范解答】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 即平分． 【变式训练】（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【思路引导】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【考点剖析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 考点3：斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则 ， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点，当在内绕点旋转时，下列结论错误的有 ．（填序号） ； ； 为等腰直角三角形； ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线等知识，根据全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线逐一判断即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不能证明，故错误，符合题意； 由可知， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由可知， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，故正确； ∵， ∴，故正确； 综上可知：错误， 故答案为：． 考点4：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【规范解答】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键．根据相关知识分别进行判断即可． 【规范解答】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 考点5：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，E是AB上的一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质．由“等角对等边”得到，再由“”证明，由全等三角形的性质即可得证． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 考点6：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查角平分线的对应、平行线的性质及等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，根据等角对等边即可得答案． 【规范解答】解：∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积，则 ． 【答案】12 【思路引导】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、等角对等边等知识． 根据折叠的性质得到，而，则，得，然后由阴影部分的面积，求出，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【规范解答】解：∵将该矩形沿对角线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴平行于BC， ∴， ∴， ∴， ∵，阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴． 故答案为： 考点7：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形． (2)在图中画出四边形（点都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了作图轴对称图形、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵利用数形结合的思想解决问题成为解题的关键． （1）直接画出等腰三角形即可（答案不唯一）； （2）画出四边形，使四边形为轴对称图形且面积为3即可． 【规范解答】（1）解：如图a中：即为所求． （2）解：如图b中：四边形即为所求． 【变式训练】（21-22八年级上·江苏连云港·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1； （2）在图2中画出∠ABC的角平分线； （3）在正方形网格中存在　 　个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8． 【思路引导】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）取格点G，H，R，连接AR，GH，交于点P，作射线BP，射线BP即为所求． （3）画出满足条件的点即可判断． 【规范解答】解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求． （2）如图2中，射线BP即为所求． （3）如图2中，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形的格点有8个， 故答案为：8． 【考点剖析】本题考查作图−轴对称变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 考点8：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（23-24八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】发现问题：；类比探究：；拓展延伸： 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题：设与交于点O，证明，则，由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究：证明，则，由，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸：证明，则，得到，即，由及等量代换即可得到结论． 【规范解答】解：发现问题：， 如下图，设与交于点O， ， ， 即， ， ， ， ， ； 类比探究：，理由如下： 如下图， ， ， 即， ， ， ， ； 拓展延伸：，理由如下：如下图， ， ， 即， ， ， ， ， ，即， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在中，，在中，，，． (1)求证：； (2)若点D在边上，证明； (3)在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，， 【思路引导】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行线判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意证明，即可证明； （2）利用全等三角形性质和等腰三角形性质推出，再结合平行线判定定理求解即可； （3）根据全等三角形性质，以及等腰三角形判定分析求解，即可解题． 【规范解答】（1）证明： ，，， ， ； （2）证明： ， ， ， ， ， ； （3）解： ， 为等腰三角形； ， ， ， ， ， ， ，为等腰三角形； 综上所述，，，为等腰三角形． 考点9：等边三角形的性质 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【规范解答】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点10：等边三角形的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【思路引导】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， 【变式训练】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． （）根据角平分线的作法作出图形即可； （）由（）知，是的角平分线，，然后证明，所以，则有，从而求证． 【规范解答】（1）解：如图所示，角平分线即为所求； （2）证明：由（）知，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形． 考点11：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点，连接．则下列结论正确的是 ．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解． 【规范解答】解：若， ∵为边上的中线， ∴， ∵为边上的高线，且三角形的三条高线交于一点， ∴，故①正确； 若， ∵为边上的高线，为边上的中线， ∴无法得到点F的位置，无法得到与的关系，故②错误； 若， ∵为边上的高线， ∴为边上的中线， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 若， ∴点F是的三条垂直平分线的交点， ∴，， ∵为边上的高线，为边上的中线， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴点F是的三条角平分线的交点， ∴是的角平分线， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 考点12：最短路径问题 【典例精讲】（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 【答案】（1）见详解；（2）6；（3）见详解 【思路引导】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； （2）作点E关于直线BC的对称点，连接，交于P，点P即为所求；． （3）分别作Q关于的对称点，连接，交于，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【规范解答】解：（1）如图，点即为所求作的点．    （2）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    在中，， ， ，， 因为点E是的中点，由对称性可得， ， 的最小值E′A的值为：． （3）作法：（Ⅰ）作Q关于的对称点C， （Ⅱ）作点Q关于的对称点D， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小．    【考点剖析】本题考查了轴对称的应用-最短距离问题，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州·期中）已知：如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在y轴上画出点P，使最小，不写出作法． 【答案】(1)、、，图见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图-轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，在垂线上，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． （1）写出点A、B、C关于x轴对称的对应点、、，然后描点即可； （2）作点A关于y轴的对称点；连接交x轴于点P，则，利用两点之间线段最短可判断此时最小． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， 、、； （2）①作点A关于y轴的对称点； ②连接交y轴于点P， 点P即为所求点． 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【规范解答】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【思路引导】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【规范解答】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 3．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 4．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【规范解答】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 5．（2021·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【规范解答】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【考点剖析】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【规范解答】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 4．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【规范解答】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    【答案】/26度 【思路引导】本题主要查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边中线的性质，可得，从而得到，，即可求解． 【规范解答】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/30度 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案． 【规范解答】解：∵，， ， ∵垂直平分， ， ， ， ∵平分， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，结合，利用三角形内角和定理求出，由得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出，再利用三角形内角和定理列出方程，求出的值即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，则可证明． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 【答案】[提出问题]等边；[解决问题]见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出，因为平分以及进行角的等量代换得，再证明，然后进行角的整理，得，即可作答． 【规范解答】解：[提出问题] ∵根据所测的数据得出 ∵ ∴是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在边上截取，连接． 是等边三角形， ， ∵ ∴ ． 平分 ． 在和中， ． ， 是等边三角形． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 培优拔高 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【规范解答】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 13．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 【规范解答】解： ，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【规范解答】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、角形的内角和定理等知识点，掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键． 由题意可得，由折叠可知，又，所以，，最后根据角的和差即可解答． 【规范解答】解：∵三角形为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明垂直平分即可； （）先证明是等边三角形，由垂直平分，则有，然后根据即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵，是不同的两点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∵垂直平分， ∴是的中点， ∴， ∵ ∴ ， ∴四边形的面积为． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)∠ (3)见解析 【思路引导】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解； （2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而； （3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作，交于点H， 则， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长交于点T，连接，，如图： ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． ∵， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理． 20．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质，证明即可； （2）①过点A分别作于点P，于点Q，证明，利用角的平分线的判定定理解答即可． ②在延长线上取点T，使得，连接，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，角平分线的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【规范解答】（1）解：和都是等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为． （2）①证明：如图，过点A分别作于点P，于点Q， ， ∴， ∴，，即， 解得， ∵，， ∴平分． ②解：． 理由如下：在延长线上取点T，使得，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由， ∴是等边三角形 ∴， 由， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.3 等腰三角形 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：等腰三角形的性质 2 知识点梳理02：等腰三角形的判定 2 知识点梳理03：尺规作图——作等腰三角形 2 知识点梳理04：等边三角形的性质 2 知识点梳理05：等边三角形的判定 3 知识点梳理06：含30°角的直角三角形性质 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：等边对等角 3 考点2：三线合一 4 考点3：斜边的中线等于斜边的—半 5 考点4：根据等角对等边证明等腰三角形 5 考点5：根据等角对等边证明边相等 6 考点6：根据等角对等边求边长 6 考点7：格点图中画等腰三角形 7 考点8：等腰三角形的性质和判定 8 考点9：等边三角形的性质 10 考点10：等边三角形的判定 11 考点11：等边三角形的判定和性质 12 考点12：最短路径问题 13 中考真题 实战演练 14 伴读分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 19 知识点梳理01：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【注意】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴. 知识点梳理02：等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点梳理03：尺规作图——作等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点梳理04：等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点梳理05：等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点梳理06：含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 考点1：等边对等角 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点2：三线合一 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【变式训练】（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 考点3：斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点，当在内绕点旋转时，下列结论错误的有 ．（填序号） ； ； 为等腰直角三角形； ． 考点4：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【变式训练】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 考点5：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，E是AB上的一点，且，．求证：． 考点6：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积，则 ． 考点7：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出（点在小正方形的顶点上），使为轴对称图形． (2)在图中画出四边形（点都在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形且面积为3． 【变式训练】（21-22八年级上·江苏连云港·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1； （2）在图2中画出∠ABC的角平分线； （3）在正方形网格中存在　 　个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形． 考点8：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（23-24八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【变式训练】（24-25八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在中，，在中，，，． (1)求证：； (2)若点D在边上，证明； (3)在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 考点9：等边三角形的性质 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 考点10：等边三角形的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 考点11：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【变式训练】（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点，连接．则下列结论正确的是 ．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 考点12：最短路径问题 【典例精讲】（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州·期中）已知：如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在y轴上画出点P，使最小，不写出作法． 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    3．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 5．（2021·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 4．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 9．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 培优拔高 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 17．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若N是的中点，求证：． 20．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$