2026届高三数学一轮复习优生加练16：嵌套函数

第16练　嵌套函数 (分值：52分) 我们把形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式： (1)“f(f(x))”型 这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题,求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元,即设f(x)=t,然后根据题设条件解出相应t的值或范围,最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图象关系解得问题. (2)“f(g(x))”型 这一类型是两个函数f(x),g(x)的互嵌问题,求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元,即设g(x)=t,然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值,又是y=f(t)的自变量,或利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的性质,或作出并利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的图象来解决问题. 一、单项选择题(每小题5分,共25分) 1.若函数f(x)在[0,+∞)上单调递增且f(f(x)-x)=2,则f(2 025)等于(　　) A.1 B.2 C.2 025 D.2 026 答案　D 解析　∵f(x)在[0,+∞)上单调递增且f(f(x)-x)=2, ∴令f(x)-x=t, ∴f(x)=x+t, ∴f(t)=2, 又f(x)=x+t, ∴f(t)=t+t=2t=2, ∴t=1, ∴f(x)=x+1, ∴f(2 025)=2 025+1=2 026. 2.已知函数f(x)=若f(f(t))+3≥0,则实数t的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,-2] C.(-∞,3] D.[-2,+∞) 答案　D 解析　作出函数f(x)=的图象如图, 由图可知,当f(x)=-3时,仅有一解x=3； 当f(x)=3时,仅有一解x=-2. 令f(t)=a,则f(f(t))+3≥0,即f(a)≥-3, ∴a≤3,即f(t)≤3,则t≥-2. ∴实数t的取值范围是[-2,+∞). 3.已知f(x)=则满足2f(f(m))+1=2f(m)+1的实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1]∪(0,e2] C.(-∞,1] D.(-∞,-1)∪(0,1] 答案　B 解析　令t=f(m),则2f(t)+1=2t+1, 所以f(t)=2t- 当t>0时,f(t)=ln t-2=2t-无解； 当t≤0时,f(t)=2t-恒成立, 所以f(m)=t≤0. 当m>0时,ln m-2≤0,解得0<m≤e2； 当m≤0时,2m-≤0, 解得m≤-1. 综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-1]∪(0,e2]. 4.(2024·沈阳模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.2 D.1 答案　A 解析　令μ=f(x),g(x)=0,则f(μ)-2=0,当μ>1时,f(μ)=ln(μ-1),则ln(μ-1)-2=0,μ=e2+1,当μ≤1时,f(μ)=-μ+1,则-μ+1-2=0,μ=-1,作出函数μ=f(x)的图象如图所示,直线μ=-1与函数μ=f(x)的图象只有1个交点,直线μ=e2+1与函数μ=f(x)的图象有2个交点,因此函数g(x)有3个零点. 5.已知函数f(x)=若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,则实数a的取值范围是 (　　) A.a≤0 B.a≤1 C.a≤2e D.a≤3e 答案　C 解析　根据题意, 函数f(x)= 当x≤1时,f(x)=a-2ex-1为减函数； 当x>1时,f(x)=xln x-2x+a,则f'(x)=ln x-1, 当x∈(1,e)时,f'(x)<0；当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0, 可知f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,又函数f(x)是连续的, 所以f(x)在(-∞,e)上单调递减,在[e,+∞)上单调递增, 所以f(x)的值域为[a-e,+∞), 若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,即需满足a-e≤e即可,则a≤2e. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 6.若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数,且方程x-f(g(x))=0有实数解,则g(f(x))可能是(　　) A.ex-1 B.cos x C.|x|+1 D. 答案　ABD 解析　设s为x-f(g(x))=0的实数解,即f(g(s))=s,令g(s)=t,则f(t)=s,所以g(f(t))=g(s)=t,即t为g(f(x))=x的实数解,g(f(x))=x有实数解,故结合各选项的函数,判断其图象与直线y=x是否有交点即可,如图所示.由图可知,当g(f(x))=|x|+1时,无交点,即g(f(x))=x无实数解. 7.已知函数f(x)=若关于x的方程4[f(x)]2-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根,则实数a的取值可以为(　　) A.- B.- C.- D.- 答案　BCD 解析　令f(x)=m,记g(m)=4m2-4am+2a+3的两个零点为m1,m2,不妨设m1<m2, 则由f(x)的图象可知,方程4[f(x)]2-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根⇔y=m1,y=m2与f(x)的图象共有5个交点⇔-2<m1≤-1,且-1<m2<0. 则 解得-<a≤-. 三、填空题(每小题5分,共15分) 8.已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.  答案　2 解析　因为>2,所以f()=6-4=2,所以f(f())=f(2)=1+a=3,解得a=2. 9.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实数根的个数是　　　　　　.  答案　3 解析　f'(x)=3x2+2ax+b,x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根, 由3[f(x)]2+2af(x)+b=0,得f(x)=x1或f(x)=x2, 即3[f(x)]2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解. 如图所示. 由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实数根的个数为3. 10.已知函数f(x)=g(x)=x2-ax+4,若y=g(f(x))有6个零点,则a的取值范围为　　　　　　.  答案　∪(4,5] 解析　作出函数f(x)=的图象如图所示, 根据图象可得,当k=0或6≤k≤8时,f(x)=k有2个解； 当0<k<1时,f(x)=k有4个解； 当1≤k<6时,f(x)=k有3个解； 当k>8时,f(x)=k有1个解. 因为方程x2-ax+4=0最多有2个解, 因此要使y=g(f(x))有6个零点,则方程x2-ax+4=0有2个解,设为k1,k2. 则存在下列几种情况： ①f(x)=k1有2个解,f(x)=k2有4个解,即k1=0或6≤k1≤8,0<k2<1,显然g(0)≠0, 则此时应满足 解得≤a≤； ②f(x)=k1有3个解,f(x)=k2有3个解,设k1<k2,即1≤k1<6,1<k2<6, 则应满足 解得4<a≤5, 综上所述≤a≤或4<a≤5, 即a的取值范围为∪(4,5]. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16练　嵌套函数 我们把形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式： (1)“f(f(x))”型 这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题,求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元,即设f(x)=t,然后根据题设条件解出相应t的值或范围,最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图象关系解得问题. (2)“f(g(x))”型 这一类型是两个函数f(x),g(x)的互嵌问题,求解这一类型的策略：首先将“内层函数”换元,即设g(x)=t,然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值,又是y=f(t)的自变量,或利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的性质,或作出并利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的图象来解决问题. 一、单项选择题(每小题5分,共25分) 1.若函数f(x)在[0,+∞)上单调递增且f(f(x)-x)=2,则f(2 025)等于(　　) A.1 B.2 C.2 025 D.2 026 2.已知函数f(x)=若f(f(t))+3≥0,则实数t的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,-2] C.(-∞,3] D.[-2,+∞) 3.已知f(x)=则满足2f(f(m))+1=2f(m)+1的实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1]∪(0,e2] C.(-∞,1] D.(-∞,-1)∪(0,1] 4.(2024·沈阳模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为(　　) A.3 B.4 C.2 D.1 5.已知函数f(x)=若函数y=f(x)与y=f(f(x))有相同的值域,则实数a的取值范围是 (　　) A.a≤0 B.a≤1 C.a≤2e D.a≤3e 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 6.若f(x)和g(x)是定义在实数集R上的函数,且方程x-f(g(x))=0有实数解,则g(f(x))可能是(　　) A.ex-1 B.cos x C.|x|+1 D. 7.已知函数f(x)=若关于x的方程4[f(x)]2-4a·f(x)+2a+3=0有5个不同的实根,则实数a的取值可以为(　　) A.- B.- C.- D.- 三、填空题(每小题5分,共15分) 8.已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　.  9.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实数根的个数是　　　　　　.  10.已知函数f(x)=g(x)=x2-ax+4,若y=g(f(x))有6个零点,则a的取值范围为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$