函数的主元法处理双变量问题典型考点专项练-2026届高三数学一轮复习备考

函数的主元法处理双变量问题 一、单选题 1．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设为正实数，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 5．设角A，B，C分别是的三个内角，则的最大值（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 6．已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（    ） A．b的最小值为4 B．b的最小值为6 C．b的最小值为8 D．b的最小值为10 二、多选题 7．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．若实数x，y满足，则的最大值是 ． 9．已知实数、满足，则的最小值为 . 10．若关于的不等式在定义域内恒成立，则的最大值为 ． 11．的取值范围是 ． 12．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为 . 13．若a，b为实数，且，，则的取值范围是 . 四、解答题 14．已知，，，求的最大值． 15．我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立． (1)证明“三元不等式”： ． (2)已知函数． ①解不等式； ②对任意，恒成立，求实数的取值范围． 16．已知函数，. (1)求证：； (2)任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数．求证：当且时，有． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 19．设，，求证：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A D C B ACD 1．C 利用基本不等式可得最值. 根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 2．B 利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 3．A 由题意可得进而，则，解得，即可求解. 由，得， 由，且为正实数，所以， 于是，故， 所以，所以， 解得. 故选：A 4．D 由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）min≤t2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论． ∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数， ∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有0， ∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增． ∵f（1）＝1， ∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，最大值为f（1）＝1， 若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立， 即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立， ∴t2﹣2at≥0， 设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2， 则满足， 即， ∴t≥2或t≤﹣2或t＝0， 故选D． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质． 5．C 利用辅助角公式和余弦函数的性质可得正确的选项. 根据题意， ， 等号当时取得． 因此所求的最大值为． 故选：C. 6．B 转化条件得，设，，根据、分类，分别求出函数的最值即可得解. 由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当即时，，； 当即时，，； 若要对于任意，均成立， 则即，所以b的最小值为6. 故选：B. 本题考查了绝对值不等式和利用函数单调性求函数的最值，考查了恒成立问题的解决和分类讨论思想，属于中档题. 7．ACD 对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果. 对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 8． 由已知可得，，代入，结合二次函数的性质即可求解. 因为实数x，y满足， 所以，所以， 所以，， 所以当时，有最大值，最大值为. 故答案为：. 9． 设，，可得出，令，结合基本不等式可求得的最小值. 由可得，设，， 所以， 令，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 10．/ 令分类讨论求其最大值，再结合题意可得，再构造函数求其最大值即可. 令，， 若，即时，则在上恒成立， 则在上单调递增， 当且时，，即与矛盾； 若，即时，令得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 因不等式在定义域内恒成立，则，即， 则， 令，则， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 则的最大值为. 故答案为： 11． 由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含的关系式表示，再借助二次函数最值求解即得. 由，得， 令，则，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 且，当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 12． 设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可. 设，可得， 1.若，则， 可得对恒成立， 则，解得， 所以成立； 2.若，设，则， 可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上， 可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增， 可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减， 可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得， 即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 13． 构造函数，根据其在单调性，得到两边含有的不等式组，结合的范围、基本不等式，应用导数研究的最值，即可求的范围. 设， 故上单调减， ∴， 令，则， 即在上单调减，在上单调增， 有， 令，则， 即在上单调减，在上单调增， 而，，所以， 综上，有 故答案为：. 本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用导数研究函数最值，结合已知条件求目标式的范围. 14．3 法一：由已知可得，利用换元法令，则得，解出，即可求得的最大值； 法二：由已知可得，则，再利用基本不等式即可求得的最大值． 法一：因为，，， 则，， 令，，，即， 解得，，， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． 法二：因为，，，则， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． 15．(1)见解析 (2)①；②. （1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明； （2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案； ②由三元不等式求出在的最小值，可以将题意转为在恒成立，即，解不等式即可得出答案. （1）因为， 则 （当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 同理（当且仅当时取等）， （当且仅当时取等）， 三式相加可得：， 又因为， 所以， 所以（当且仅当时取等）. （2）①由可得：， 所以，即， 即，则， 所以， 解得：. ②因为当时，， 当且仅当，即时取等， 所以当时，， 对任意，恒成立， 则， 所以，解得：. 所以实数的取值范围为：. 16．(1)证明见解析 (2) （1）由已知分别求解和的解析式，即可证明； （2）由已知可得，由，不等式等价变形为恒成立，换元令，构造新函数设，求解的取值范围，通过求导判断函数的单调性求解最值即可得到答案. （1）因为，所以， 因为，， 所以， 所以. （2）因为，所以， 由，得. 因为，所以（当且仅当时取等号），故， 所以原不等式等价于恒成立. 因为，，所以，故为偶函数， 所以在上的值域等价于在上的值域. 因为在上恒成立，所以在上单调递增， 所以，即. 令， 则， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以， 因为恒成立，所以，即， 所以实数m的取值范围是. 17．证明见解析 求出,并判断在内单调递减,然后以为主元,要证，只需证，利用导数与函数单调性关系，即可证明. 由题意得，令 ，所以在内单调递减． 不妨设，要证， 只需证，，（以为主元）， 则． 因为单调递减，则, 所以在内单调递增，所以，则， 即，得证． 18．(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. (2). （1）求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调性，得到答案； （2）由（1）得出的最小值，得出，设，求导，即可求得实数的取值范围. （1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. 19．证明见解析 先证明和，然后利用放缩法证得不等式成立. 令， 所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增. 所以，所以， 对于，有， 整理得. ， 由， . 学科网（北京）股份有限公司 $$