3.3立方根 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册浙教版（2024）

第3章 实数 3.3立方根 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 掌握立方根的概念，能准确阐述其定义。​ . 熟悉立方根的性质，会求一个数的立方根。​ . 明晰立方根与平方根的区别和联系，提升辨析能力。 . . . . 一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 三：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 考点一：立方根的概念理解 1．下列四种说法：①1的平方根是1；②的立方根是；③介于和之间的实数都是无理数；④是无理数．其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 2．下列计算或说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．的相反数是 C．2的立方根是8 D． 3．下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 4．下列各数中，是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 考点二：求一个数的立方根 5．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 考点三. 已知一个数的立方根，求这个数 9．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 10．若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 11．，则的值为（    　） A． B． C． D． 12．若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 考点四.立方根的实际应用 13．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间 14．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 15．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 16．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 考点五.与立方根有关的规律探索 17．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 18．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 19．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 20．已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 考点六.算术平方根与立方根的综合应用 21．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 22．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 23．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 24．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．27的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 2．下列实数（每两个1之间依次多一个0）中无理数的个数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在实数3.14，，，中，属于无理数的是（   ）． A．3.14 B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在实数，，，，8，0.10101001……（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 7．一个棱长为的正方体的体积为，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 9．的立方根是（   ） A． B． C． D． 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．计算： ． 12．已知和是某正数m的两个平方根，佳佳通过前面条件计算发现m的立方根为无理数，m的立方根为 ． 13．整数a满足，则整数a的值为 ． 14．在这4个数中最小数是 ． 15．若，则的立方根是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 实数 3.3立方根 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 掌握立方根的概念，能准确阐述其定义。​ . 熟悉立方根的性质，会求一个数的立方根。​ . 明晰立方根与平方根的区别和联系，提升辨析能力。 . . . . 一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 三：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 考点一：立方根的概念理解 1．下列四种说法：①1的平方根是1；②的立方根是；③介于和之间的实数都是无理数；④是无理数．其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根、有理数、无理数的概念的应用，区别有理数和无理数是解题关键．逐一分析四个说法的正确性，结合平方根、立方根、有理数与无理数的定义进行判断． 【详解】解：①：1的平方根是，故错误； ②：的立方根是，故正确； ③：，则与之间存在有理数，故错误； ④：是无理数，故正确． 综上，正确的说法是②④． 故选：D． 2．下列计算或说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．的相反数是 C．2的立方根是8 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根和立方根，解题关键是利用平方根和立方根的意义解题．逐一分析各选项的正确性，依据平方根、相反数、立方根及算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：A、0的平方根是0，因此0有平方根，故本选项不符合题意； B、的相反数是，而非本身，故本选项不符合题意； C、2的立方根是（），而8是2的立方（），C混淆了立方与立方根，故本选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义，表示4的非负平方根，即2，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：是5的算术平方根， 算术平方根是非负数，且满足，故A正确； 选项B：0的平方根和立方根都是0， 平方根和立方根的定义中，0的平方根和立方根均为0，故B正确； 选项C：的平方根是， ，而3的平方根应为，而非，的平方是9，属于的平方根混淆错误，故C错误； 选项D：是的一个平方根， ，9的平方根为，因此是9的一个平方根，故D正确； 故选C． 4．下列各数中，是无理数的是（    ） A．3.14 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，立方根和算术平方根的概念理解，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】A、3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数，故不符合题意； B、是分数形式，属于有理数，故不符合题意； C、表示5的立方根，其立方根无法表示为分数，属于无理数，故符合题意； D、，是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 考点二：求一个数的立方根 5．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：A. 是分数，属于有理数，故不符合题意； B. 是整数，属于有理数，故不符合题意； C. ，是整数，属于有理数，故不符合题意； D. 是无限不循环小数，属于无理数，故符合题意； 故选：D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根及算术平方根的运算，注意算术平方根为非负数．根据立方根及算术平方根的知识进行解答判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根等知识点，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义． 根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解： A.，而非，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意： 故选：D． 8．在下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多0个0）等形式．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，，是有理数，是无理数， 故选：D． 考点三. 已知一个数的立方根，求这个数 9．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：立方根是的数是， 故选：B． 10．若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 11．，则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 12．若的立方根是4，则的平方根是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，首先根据a的立方根是4求出a，然后根据平方根的定义求出a的平方根． 【详解】解：∵a的立方根是4， ∴， ∴a的平方根是：， 故选：A． 考点四.立方根的实际应用 13．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， 铁块的体积为， 铁块的棱长为， ， ， 铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 14．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 15．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 16．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 考点五.与立方根有关的规律探索 17．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 18．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 19．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 20．已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 考点六.算术平方根与立方根的综合应用 21．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 22．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 23．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 24．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 一、单选题 1．27的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的概念及计算．根据立方根的定义：若一个数的立方等于，则这个数称为的立方根，求解即可．熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴27的立方根是3． 故选：A． 2．下列实数（每两个1之间依次多一个0）中无理数的个数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根和立方根的概念理解，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：无理数有：（每两个1之间依次多一个0）， 故选：C． 3．在实数3.14，，，中，属于无理数的是（   ）． A．3.14 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，立方根的定义，先求出算术平方根，立方根的结果，再根据无理数的定义进行判断即可 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，负号不影响其性质，故是无理数，符合题意； C、 ，是整数，属于有理数，不符合题意； D、 = 2，是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：B 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、立方根、绝对值，解决本题的关键是根据平方根、立方根、绝对值的定义进行计算，根据计算结果进行判断． 【详解】解：A选项：， 故A选项正确； B选项：， ， ， 故B选项错误； C选项：， 故C选项错误； D选项：， 故D选项错误． 故选：A． 5．在实数，，，，8，0.10101001……（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等，开方开不尽的数，以及象0.1010010001…（每2个1之间依次多一个0），等有特定规律的数． 先计算，再根据无理数的定义逐一分析判定． 【详解】， 无理数有：，，0.10101001……（每2个1之间依次多一个0），共3个， 故选：B． 6．已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【答案】B 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动 3 位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动 1 位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， 故选：B． 7．一个棱长为的正方体的体积为，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键． 根据正方体的体积等于棱长的立方，即求216的立方根即可． 【详解】正方体的体积为 它的棱长为． 故选：B． 8．下列计算结果是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无线循环小数是解题的关键． 根据有理数和无理数的定义，只有选项A是有理数，其他选项均为无理数． 【详解】A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D不符合题意． 故选：A． 9．的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求立方根．根据立方根的定义和性质直接计算即可． 【详解】解： 故选：A 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根的定义可判定A；根据算术平方根的定义可判断B；根据实数的运算法则可判断C；根据实数的性质可判断D． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2、 填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 12．已知和是某正数m的两个平方根，佳佳通过前面条件计算发现m的立方根为无理数，m的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数，平方根，立方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 由平方根的性质可得，解得的值后代入中，再根据平方根的定义求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：和是某正数的两个平方根， ， 解得：， 则， 那么， 则的立方根为， 故答案为：． 13．整数a满足，则整数a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，先求出，结合，，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，a为整数， ∴， 故答案为：3． 14．在这4个数中最小数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，实数的大小比较，先整理，，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∵， ∴在这4个数中最小数是， 故答案为： 15．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$