精品解析：山东省聊城市东昌府区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题

山东省聊城市东昌府区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答卷密封线左边的空格内． 3．答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按要求答在答卷上，但不能用铅笔或红笔． 4．答案写在试题上无效． 5．一律不允许使用科学计算器． 愿你放松心情，放飞思维，充分发挥，争取交一份圆满的答卷． 一、选择题（本大题共10个小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数：，，，，，，其中无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个数有算术平方根，则其算术平方根一定是正数 B. 一个不等于0的实数的立方根的符号与这个数的符号相同 C. 如果，则 D. 由，可以得出 6. 如图，小亮在数轴上作，使得，，，再在正半轴上取点，使得，则点表示的数是（ ） A. 3.5 B. 3.7 C. D. 7. 已知关于的不等式组共有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. 随的增大而增大 D. 图象可能经过原点 9. 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 某次大型活动中，组委会用无人机航拍活动过程．已知无人机的上升速度和下降速度相同．无人机的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 无人机的上升速度是 B. 表示的数是3 C. 无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有9min D. 表示的数是15 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，只要求填写最后的结果） 11. 若，则的取值范围是______． 12. 在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，，点A绕点B逆时针旋转得到点，则的坐标是______． 13. 已知一次函数（，为常数，且），的部分对应值如下表所示，则不等式的解集为______． 0 1 2 14. 在菱形中，，，点M，N分别是上的动点，连接，点P，Q分别为的中点，则的最小值是______． 15. 如图，直线与直线相交，，点在内．用下面方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，如此继续，得到一系列点，，，，，若与重合，则的最小值为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：，并写出所有整数解． 17. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）平移，点的对应点，画出平移后对应的； （2）作出关于坐标原点成中心对称图形，并写出，的坐标； （3）在轴上是否存在一点使得和最小？若存在，求出点的坐标． 18. 如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． （1）试说明为等腰三角形； （2）若，，求的长． 19. 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》成功热播，推动了中国电影工业向更先进的方向发展，同时促进了文创市场的发展，某商店销售“哪吒”与“太乙真人”两种毛绒公仔的数量和金额如下表： “哪吒”毛绒公仔（个） “太乙真人”毛绒公仔（个） 金额（元） （1）该商店“哪吒”毛绒公仔和“太乙真人”毛绒公仔的销售单价是多少元？ （2）某游乐园为了庆祝“六一”儿童节，准备购买两种毛绒公仔共个，总费用不超过元，并且“哪吒”毛线公仔的个数小于“太乙真人”毛绒公仔个数的倍，则该游乐园有几种购买方案？ 21. 点中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点A，B，点为直线上一点，直线经过点． （1）求点的坐标和的值； （2）直线与轴交于，求的面积； （3）在平面直角坐标系中是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 在数学复习课上，同学们就平行四边形的判定与性质进行复习，如图，已知四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为边上的一个动点，连接并延长交于点，同学们就这个问题展开了讨论： 小颖：如图1，无论点在边上如何运动，线段都将平行四边形分成面积相等的两部分； 小亮提出疑问：如图2，若连接，，无论点在边上如何运动，四边形都是平行四边形，那么当点运动到什么位置时，四边形是矩形？ 大刚：如图3，若，则当点运动到中点时，四边形是菱形． 问题（1）小颖的说法正确吗？请说明理由． 问题（2）请你帮助小亮解决他的疑问？并写出推理过程． 问题（3）你同意大刚的说法吗？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省聊城市东昌府区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答卷密封线左边的空格内． 3．答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按要求答在答卷上，但不能用铅笔或红笔． 4．答案写在试题上无效． 5．一律不允许使用科学计算器． 愿你放松心情，放飞思维，充分发挥，争取交一份圆满的答卷． 一、选择题（本大题共10个小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意； B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意； D是既轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；   故选：D ． 2. 下列各数：，，，，，，其中无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，根据这个概念逐一判断即可． 【详解】解：其中是无理数的有，，共两个．   故选：A ． 3. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，原点的对称变换规则为：若原坐标为，则对称后的坐标为，即需将原坐标的横坐标和纵坐标均取相反数． 【详解】将代入规则，横坐标变为，纵坐标变为，因此的坐标为，对应选项B． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括加减、乘除及化简，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】选项A：二次根式加减需为同类根式（被开方数相同），而与不同类，无法合并，故A错误； 选项B：根据二次根式除法法则：，则，故B错误； 选项C：化简：，故C正确； 选项D： 根据算术平方根的非负性：，故D错误； 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一个数有算术平方根，则其算术平方根一定是正数 B. 一个不等于0的实数的立方根的符号与这个数的符号相同 C. 如果，则 D. 由，可以得出 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查算术平方根的定义，不等式的性质，逐一分析各选项的正确性，结合算术平方根、立方根的性质及不等式运算进行判断即可 【详解】解：A：算术平方根非负，但0的算术平方根为0，非正数，故错误； B：立方根符号与原数相同（如正数立方根为正，负数立方根为负），正确； C：由 得 ，故 ，错误； D：由，不等式两边都除以得出，错误； 故选：B 6. 如图，小亮在数轴上作，使得，，，再在正半轴上取点，使得，则点表示的数是（ ） A. 3.5 B. 3.7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系及熟练运用勾股定理是解答此题的关键． 直接根据勾股定理，结合数轴即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点表示的数是， 故选：C． 7. 已知关于的不等式组共有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，解一元一次不等式组． 首先求出不等式组的解集，然后根据不等式有3个整数解，从而可以得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式有3个整数解， ∴不等式组的整数解为1，2，3， ∴， 故选：D． 8. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. 随的增大而增大 D. 图象可能经过原点 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数解析式中k及b的值进行判断即可 【详解】解：∵一次函数，函数图象经过第二象限，不经过第三象限， ∴函数图象经过第一，二，四象限，或经过第二，四象限，且函数图象随的增大而减小， ∴，故A，D选项正确；C选项错误； ∵一次函数的图象经过点， ∴，得，故B选项正确； 故选：C 9. 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知且，从而可证四边形是平行四边形，因为，所以，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据等腰三角形三线合一定理可证是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应角相等可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，设，则，，在中，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，解决本题的关键是找出全等三角形利用全等三角形的性质找边之间的关系． 10. 某次大型活动中，组委会用无人机航拍活动过程．已知无人机的上升速度和下降速度相同．无人机的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 无人机的上升速度是 B. 表示的数是3 C. 无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有9min D. 表示的数是15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息：根据函数图象的信息即可得到答案 【详解】解：由分钟图象可得，无人机上升的速度为：（米/分钟），故A正确； ，故B错误； 无人机在米高的上空停留的时间是：； 无人机在米高的上空停留的时间是：； ∴无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有， 故C正确； ，故D正确； 故选：B 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，只要求填写最后的结果） 11. 若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 12. 在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，，点A绕点B逆时针旋转得到点，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的旋转坐标变换，旋转的性质，连接，，过点作轴垂线，过点作轴垂线，交于点，过点作轴垂线，交于点，易知，，证明，可得，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作轴垂线，过点作轴垂线，交于点，过点作轴垂线，交于点， 则， ∵点A，B坐标分别为，， ∴， ∵点A绕点B逆时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标是． 故答案为：． 13. 已知一次函数（，为常数，且），的部分对应值如下表所示，则不等式的解集为______． 0 1 2 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求解，一元一次不等式的求解，求出一次函数的解析式是关键． 首先求出一次函数的解析式，然后列出不等式求解即可． 【详解】根据题意得，将，代入得， 解得 ∴ ∴ 解得 故答案为：． 14. 在菱形中，，，点M，N分别是上的动点，连接，点P，Q分别为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，垂线段的性质．连接，由是的中位线，得，当时，取最小值，取最小值．由此可解． 【详解】解：如图，连接， 点P，Q分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，取最小值，取最小值． 菱形中，，， ，， 当时，， ， ， 即的最小值是． 故答案为：． 15. 如图，直线与直线相交，，点在内．用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，如此继续，得到一系列点，，，，，若与重合，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故答案为：6． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】（1）；（2），整数解为：， 【解析】 【分析】此题考查了二次根式混合运算，零指数幂，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，计算二次根式的乘法和零指数幂，然后计算加减； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得， 由②得， 不等式组的解集为：，整数解为：． 17. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）平移，点的对应点，画出平移后对应的； （2）作出关于坐标原点成中心对称图形的，并写出，的坐标； （3）在轴上是否存在一点使得的和最小？若存在，求出点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2），，图见解析； （3）存在，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，中心对称作图，轴对称，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由的对应点，则需把向左平移个单位，向上平移个单位即可； （）分别作，，关于坐标原点成中心对称，，，然后连接即可； （）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，设直线的表达式为，将代入得直线的表达式为，然后由当时，即可求出点的坐标． 小问1详解】 解：由的对应点，则需把向左平移个单位，向上平移个单位，如图所示， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：分别作，，关于坐标原点成中心对称，，，如图， ∴即为所求，； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，如图， 设直线的表达式为，将代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴． 18. 如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． （1）试说明为等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：平分， ， 又， ， ， ， 为等腰三角形， 【小问2详解】 过点作， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ， 则的长为． 19. 在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． （1）若，，．求的周长； （2）若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1）25 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到，得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【小问1详解】 解：∵平分， ， 又， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长． 【小问2详解】 证明：由题意可知，为的中位线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》的成功热播，推动了中国电影工业向更先进的方向发展，同时促进了文创市场的发展，某商店销售“哪吒”与“太乙真人”两种毛绒公仔的数量和金额如下表： “哪吒”毛绒公仔（个） “太乙真人”毛绒公仔（个） 金额（元） （1）该商店“哪吒”毛绒公仔和“太乙真人”毛绒公仔的销售单价是多少元？ （2）某游乐园为了庆祝“六一”儿童节，准备购买两种毛绒公仔共个，总费用不超过元，并且“哪吒”毛线公仔的个数小于“太乙真人”毛绒公仔个数的倍，则该游乐园有几种购买方案？ 【答案】（1）“哪吒”毛绒公仔和“太乙真人”毛绒公仔的销售单价分别为元，元； （2）有五种购买方案，详见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设“哪吒”毛绒公仔和“太乙真人”毛绒公仔的销售单价分别为，元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设该游乐园购买“哪吒”毛绒公仔个，则购买“太乙真人”毛绒公仔个，根据题意得，然后解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设“哪吒”毛绒公仔和“太乙真人”毛绒公仔的销售单价分别为，元， 根据题意得，， 解得，， 答：该商店“哪吒”毛绒公仔和“太乙真人”毛绒公仔的销售单价分别为元，元； 【小问2详解】 解：设该游乐园购买“哪吒”毛绒公仔个，则购买“太乙真人”毛绒公仔个， 根据题意得，， 解得， 所以共有五种购买方案： 方案 “哪吒”毛绒公仔 “太乙真人”毛绒公仔 一 二 三 四 五 21. 点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． （1）如图，试判断的形状，并说明理由． （2）若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 【答案】（1）等边三角形，理由见解析 （2）四个点在一条直线上时，的和最小，理由见解析 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转可得，，即可证明； （2）由（1）可知为等边三角形，则，故，即可得当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 【小问1详解】 解：由题意可知由旋转得到， ， ， 又， 为等边三角形． 【小问2详解】 解：当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 理由：由（1）可知为等边三角形， ， ， 观察图可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点A，B，点为直线上一点，直线经过点． （1）求点的坐标和的值； （2）直线与轴交于，求的面积； （3）在平面直角坐标系中是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，的坐标为或或或或或 【解析】 【分析】（1）把代入可解得，故，把代入得； （2）求出，得，故，再根据，可得，从而得； （3）设，可得，当为直角顶点时，，即，可解得或；当为直角顶点时，，故，可得或；当是直角顶点时，，故，可得或． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：在中，令得，令得， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：在平面直角坐标系中存在点，使得是等腰直角三角形，理由如下： 设， ∵， ∴， 当为直角顶点时，， ， 解得或； ∴或； 当为直角顶点时，， ， 解得或， ∴或； 当是直角顶点时，， ， 解得或， ∴或； 综上所述，的坐标为或或或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及三角形面积，解方程，等腰直角三角形性质及应用，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 23. 在数学复习课上，同学们就平行四边形的判定与性质进行复习，如图，已知四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为边上的一个动点，连接并延长交于点，同学们就这个问题展开了讨论： 小颖：如图1，无论点在边上如何运动，线段都将平行四边形分成面积相等的两部分； 小亮提出疑问：如图2，若连接，，无论点在边上如何运动，四边形都是平行四边形，那么当点运动到什么位置时，四边形是矩形？ 大刚：如图3，若，则当点运动到中点时，四边形是菱形． 问题（1）小颖的说法正确吗？请说明理由． 问题（2）请你帮助小亮解决他的疑问？并写出推理过程． 问题（3）你同意大刚的说法吗？为什么？ 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）当时，四边形是矩形，理由见解析；（3）同意，理由见解析 【解析】 【分析】​（1）根据平行四边形对角线性质和平行线性质，通过证明关键三角形全等（和），推导面积相等关系； ​（2）因为四边形是平行四边形，添加直角条件（）通过垂直关系的转可以判定矩形； ​（3）当E运动至中点时，结合，利用平行四边形对角线垂直的性质推导菱形． 【详解】解：（1）正确． 理由：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 同理可证， ， ， ∴ 四边形面积 四边形面积， 把平行四边形分成两个面积相等的两部分； （2）当时，四边形BEDF矩形． 理由：由（1）可知， ， 又， 四边形BEDF都是平行四边形， 若，则， 四边形是矩形， （3）同意．理由如下： 由（1）可知， 当点是的中点时， ， 且， 四边形为平行四边形， ， ， ， 由（2）可知四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形性质与判定、三角形全等、矩形的定义、菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．理解平行四边形是中心对称图形，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$