第一章空间向量与立体几何模拟练习01-2025-2026学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 人教B高二上学期选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何模拟练习01 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．已知，下列可使非零向量、、组成的集合成为空间的一组基底的条件是（ ）。 A、 B、、、两两垂直 C、 D、 3．如图所示，在平行六面体中，点为直线与直线的交点，若、、，用、、表示，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知平面的法向量为、平面的法向量为，若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．在棱长为的正四面体中，（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．在三棱锥中，平面平面，、，、、，则的长为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．如图所示，正方体的棱长为，点为棱上一点，点为棱上一点，若直线平面，则线段与线段的长度之和为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在名著《九章算术》中指出“邪解立方得二堑堵”（堑堵是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱）。如图所示，立方体被平面分成两堑堵。若在堑堵中，点为线段上动点，直线与平面所成的角为，则的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则 B、若存在，使得，则 C、若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D、若与内任意直线所成的角均相等，则 10．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，点是棱的中点，点是直线与直线的交点。若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）。 A、当点为线段的中点时，直线平面 B、当点为线段的三等分点时，直线平面 C、在线段的延长线上，存在一点，使得直线平面 D、不存在点，使直线与平面垂直 11．已知空间单位向量、、两两之间的夹角均为，又、，则下列说法中正确的是 （ ）。 A、 B、 C、 D、 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知点为空间内任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足 （），则 。 13．如图所示，直三棱柱中，，，点是棱的中点，点是棱上的动点，，若直线平面，则线段的长为 。 14．菱形的边长为，，点为边的中点（如图1所示），将沿直线翻折至处（如图2所示），连接、，若四棱锥的体积为，点为的中点，则点到直线的距离为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）如图所示，直线垂直于梯形所在的平面，，点为线段的中点，，，四边形为矩形。 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 16．（本小题满分分）如图所示，在直三棱柱中，、、，点是棱上的一点，且，点是棱的中点。 （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值。 17．（本小题满分分）如图1所示，在中，，，、两点分别在、上，使 。现将沿折起得到四棱锥，在图2中。 （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正切值。 18．（本小题满分分）如图所示，平面，，， ，点、、分别为、、的中点。 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小（用弧度制表示）； （3）若为线段上的一点，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离。 19．（本小题满分分）如图所示，四棱锥的体积为，侧棱底面，底面为平行四边形，。 （1）求点到平面的距离； （2）设，二面角为，求直线与平面所成角的余弦值。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 人教B高二上学期选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何模拟练习01 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】点关于平面的对称点是，故选B。 2．已知，下列可使非零向量、、组成的集合成为空间的一组基底的条件是（ ）。 A、 B、、、两两垂直 C、 D、 【答案】B 【解析】由基底定义可知只有非零向量、、不共面时才能构成空间中的一组基底， A选项，，则、共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的， ∴与、共面，错， B选项，∵非零向量、、两两垂直，∴非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，对， C选项，由共面定理可知非零向量、、共面，错， D选项，∵，∴，∴由共面定理可知非零向量、、共面，错， 故选B。 3．如图所示，在平行六面体中，点为直线与直线的交点，若、、，用、、表示，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】，故选B。 4．已知平面的法向量为、平面的法向量为，若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】∵，∴，∴，∴，故选A。 5．在棱长为的正四面体中，（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】，故选C。 6．在三棱锥中，平面平面，、，、、，则的长为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】建立以为原点的空间直角坐标系，则，，， ∴，故选C。 7．如图所示，正方体的棱长为，点为棱上一点，点为棱上一点，若直线平面，则线段与线段的长度之和为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设、，则、、、， ∴、，∵平面， ∴， ∴与的长度之和为，故选B。 8．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在名著《九章算术》中指出“邪解立方得二堑堵”（堑堵是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱）。如图所示，立方体被平面分成两堑堵。若在堑堵中，点为线段上动点，直线与平面所成的角为，则的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设立方体的棱长均为，以为原点建系， 设，（），则， ∴，，，∴， 又平面的法向量为，则， ∴，∴， 当时，， 当时，，∵，∴， ∴当时，，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则 B、若存在，使得，则 C、若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D、若与内任意直线所成的角均相等，则 【答案】BD 【解析】A选项，若，则或，错， B选项，若存在，使得，则，对， C选项，到的距离应为到内任意直线的距离的最小值，错， D选项，设直线与平面所成角为，则， ∵为直线与平面内任意直线所成角的最小值， 且直线与平面内任意直线所成角的最大值为， ∵与内任意直线所成的角均相等，则，即，对， 故选BD。 10．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，点是棱的中点，点是直线与直线的交点。若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）。 A、当点为线段的中点时，直线平面 B、当点为线段的三等分点时，直线平面 C、在线段的延长线上，存在一点，使得直线平面 D、不存在点，使直线与平面垂直 【答案】ABC 【解析】以为坐标原点，、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则、、、、， ∴、、、， 设平面的法向量为，则，即， 令，则、，∴， 设在直线上存在一点，使得平面，设， 设（），则， ∴、、，∴，∴， 若平面，则与共线，则，此时无解， ∴不存在点，使得平面，故选ABC。 11．已知空间单位向量、、两两之间的夹角均为，又、，则下列说法中正确的是 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】BC 【解析】∵单位向量、、两两夹角均为，∴，A选项错， ，B选项对， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴ ，C选项对， ∵， ∴， ∴，D选项错， 故选BC。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知点为空间内任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足 （），则 。 【答案】 【解析】∵，∴， ∵点为空间内任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴，∴。 13．如图所示，直三棱柱中，，，点是棱的中点，点是棱上的动点，，若直线平面，则线段的长为 。 【答案】 【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则、、、、， 设（），则、， ∵平面，∴， ∴，解得， ∴，。 14．菱形的边长为，，点为边的中点（如图1所示），将沿直线翻折至处（如图2所示），连接、，若四棱锥的体积为，点为的中点，则点到直线的距离为 。 【答案】 【解析】连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形， ∵为的中点，∴，∴、， ∵，、平面，∴平面， ∵菱形的边长为，∴、、， ∴直角梯形的面积为， 设四棱锥的高为，则，解得，∴，∴平面， ∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则、、，∴， ∴、， ∴点到直线的距离 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）如图所示，直线垂直于梯形所在的平面，，点为线段的中点，，，四边形为矩形。 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 【解析】（1）设，连接，∵四边形为矩形，∴为中点， 又∵为中点，∴， 2分 ∵平面，平面，∴平面； 3分 （2）由题意可知，、、相互垂直， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 4分 则、、、、， 5分 ∴、、， 6分 设平面的法向量为，则，即， 令，则、，∴， 8分 设直线与平面所成角的平面角为， ∴，∴； 10分 （3）由题意可知，，， 11分 又由（2）可知，平面的一个法向量为， ∴点到平面的距离。 13分 16．（本小题满分分）如图所示，在直三棱柱中，、、，点是棱上的一点，且，点是棱的中点。 （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值。 【解析】（1）∵直三棱柱中，、，∴，∴， ∴、、相互垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 3分 则、、、、、、、， ∴、、、， 5分 设平面的法向量为，则，即 令，则、，∴平面的法向量为， 7分 设平面法向量为，则，即， 令，则、，∴平面的法向量为， 9分 ∵，∴，∴平面平面； 11分 （2）由（1）可知平面的法向量为，， 12分 设直线与平面所成角的平面角为， 则， 14分 ∴，∴直线与平面所成角的正弦值为。 15分 17．（本小题满分分）如图1所示，在中，，，、两点分别在、上，使 。现将沿折起得到四棱锥，在图2中。 （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正切值。 【解析】（1）在图1的中，，∴，且，， ∵，∴，∴、， 2分 在中，，、，则， 在图2的中，、、， 满足，∴， 4分 ∵，、平面，∴平面； 5分 （2）解法一：由题意可知，、、相互垂直，以为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 7分 则、、、， 8分 、、、， 9分 设平面的法向量，则，即， 令，则、，∴， 11分 设平面的法向量为，则，即， 令，则、，∴， 13分 设平面与平面所成角为， 则， ∴，∴ 即平面与平面所成角的正切值为。 15分 解法二：过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 7分 由（1）可知平面，∵平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，则， ∴为平面与平面所成的角，设， 10分 在中，，、、， ∴、， 12分 在中，，、、， ∴，则， 14分 在中，， 即平面与平面所成角的正切值为。 15分 18．（本小题满分分）如图所示，平面，，， ，点、、分别为、、的中点。 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小（用弧度制表示）； （3）若为线段上的一点，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离。 【解析】（1）连接，由题意可知，∴四边形为平行四边形， ∵点、分别为、的中点，∴， 1分 ∵，，∴， ∵点为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴， 2分 又平面，平面，∴平面； 3分 （2）由题意可知，、、相互垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 4分 则、、、、、， 5分 ∴、、， 6分 设平面的法向量为，则，即， 令，则、，∴， 8分 设直线与平面所成角的平面角为， 则， 9分 又∵，∴； 10分 （3）设，（），∵、， ∴、、，∴，∴， 11分 ∵直线与平面所成的角为， ∴， 即，即，解得（舍去）或（可取）， 13分 ∴，∴， 14分 设平面的法向量为，、， 则，即，令，则、，∴， 16分 ∴点到平面的距离。 17分 19．（本小题满分分）如图所示，四棱锥的体积为，侧棱底面，底面为平行四边形，。 （1）求点到平面的距离； （2）设，二面角为，求直线与平面所成角的余弦值。 【解析】（1）四棱锥的体积为，底面为平行四边形，底面， ∴， ∴， 3分 在四棱锥中，设点到平面的距离为， ∴，解得，∴点到平面的距离为； 5分 （2）取的中点，连接，∵，∴，又二面角为， ∴平面平面，∵平面平面，平面，， ∴平面，∵平面，∴， 7分 ∵四边形为平行四边形，∴，∴， ∵平面，平面，∴， ∵，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 9分 又∵平面，∴、、相互垂直， ∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 10分 由（1）可知，∵、，∴， ∵为的中点，∴，∴， 由得， ∴，∴、、、、， ∴、、， 13分 设平面的法向量为，则，即， 令，则、，∴， 15分 设直线与平面所成角的平面角为，则， ∴。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 人教B高二上学期选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何模拟练习01 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．已知，下列可使非零向量、、组成的集合成为空间的一组基底的条件是（ ）。 A、 B、、、两两垂直 C、 D、 3．如图所示，在平行六面体中，点为直线与直线的交点，若、、，用、、表示，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知平面的法向量为、平面的法向量为，若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．在棱长为的正四面体中，（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．在三棱锥中，平面平面，、，、、，则的长为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．如图所示，正方体的棱长为，点为棱上一点，点为棱上一点，若直线平面，则线段与线段的长度之和为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在名著《九章算术》中指出“邪解立方得二堑堵”（堑堵是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱）。如图所示，立方体被平面分成两堑堵。若在堑堵中，点为线段上动点，直线与平面所成的角为，则的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则 B、若存在，使得，则 C、若，则到内任意直线的距离等于到的距离 D、若与内任意直线所成的角均相等，则 10．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，点是棱的中点，点是直线与直线的交点。若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）。 A、当点为线段的中点时，直线平面 B、当点为线段的三等分点时，直线平面 C、在线段的延长线上，存在一点，使得直线平面 D、不存在点，使直线与平面垂直 11．已知空间单位向量、、两两之间的夹角均为，又、，则下列说法中正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知点为空间内任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足 （），则 。 13．如图所示，直三棱柱中，，，点是棱的中点，点是棱上的动点，，若直线平面，则线段的长为 。 14．菱形的边长为，，点为边的中点（如图1所示），将沿直线翻折至处（如图2所示），连接、，若四棱锥的体积为，点为的中点，则点到直线的距离为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）如图所示，直线垂直于梯形所在的平面，，点为线段的中点，，，四边形为矩形。 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 16．（本小题满分分）如图所示，在直三棱柱中，、、，点是棱上的一点，且，点是棱的中点。 （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值。 17．（本小题满分分）如图1所示，在中，，，、两点分别在、上，使。现将沿折起得到四棱锥，在图2中。 （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正切值。 18．（本小题满分分）如图所示，平面，，， ，点、、分别为、、的中点。 （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小（用弧度制表示）； （3）若为线段上的一点，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离。 19．（本小题满分分）如图所示，四棱锥的体积为，侧棱底面，底面为平行四边形，。 （1）求点到平面的距离； （2）设，二面角为，求直线与平面所成角的余弦值。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 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